+ a 3 cos (3ωt) + b 3 sin (3ωt)
|
|
- Frieder Esser
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Fourier-Reihe Wir gehe aus vo eier gegebee periodische Fuktio f (t). Die Fuktio hat die Fudametalperiode ( Schwigugsdauer ) ud damit die Grud-Kreisfrequez ω = π. Zeit t Periode Die Fuktio f (t) soll zerlegt werde i ihre() kostate Mittelwert ( Kreisfrequez ) Grudschwigug (Kreisfrequez ω). Oberschwigug (Kreisfrequez ω). Oberschwigug (Kreisfrequez 3ω) usw. Das heißt, ma will die Fuktio i der folgede Form darstelle: f (t) = a + a cos (ωt) + b si (ωt) + a cos (ωt) + b si (ωt) + a 3 cos (3ωt) + b 3 si (3ωt) +... We wir eimal aehme, dass sich die periodische Fuktio f (t) tatsächlich i dieser Weise zerlege lässt, stellt sich sofort die Frage ach de richtige Koeffiziete. Wie bekommt ma a, a, a,... ud b, b,... heraus? Dazu stelle wir erst eimal fest: Die Fuktioe (kostat) cos(ωt) cos(ωt) cos(3ωt) cos(4ωt)... si(ωt) si(ωt) si(3ωt) si(4ωt)... bilde ei System orthogoaler Fuktioe, d.h. für je zwei verschiedee dieser Fuktioe g (t) h (t) gilt: g (t) h (t) dt = Warum a ud icht eifach a? Das ist der Preis für die da eiheitlichere Formel für die Berechug der Koeffiziete. Es geht atürlich aus aders ud wird auch oft so gemacht: Ma schreibt a dieser Stelle a. Da tauche die Koste aber i Form eies Soderfalls bei de Formel a aderer Stelle wieder auf. Die Kostate ist ud bleibt bei de Fourierreihe ei Soderfall.
2 Geauer gilt für zwei Fuktioe g (t) ud h (t) dieses Systems Folgedes falls g (t) h (t) g (t) h (t) dt = falls g (t) = h (t) falls g (t) = h (t) = Ma ka das mithilfe der folgede trigoometrische Formel, die sich umittelbar aus de Additiostheoreme ergebe, achreche: cos (x) cos (y) = (cos (x + y) + cos (x y)) Zum Beispiel g (t) = h (t) = si (ωt): si (x) si (y) = (cos (x y) cos (x + y)) si (x) cos (y) = (si (x + y) + si (x y)) g (t) h (t) dt = si (ωt) dt = (cos () cos (ωt)) dt = dt cos (ωt) dt = [t]t= t= = Der Grud, dass cos (ωt) dt = ist, liegt dari, dass sich das Itegral über vollstädige Periode des Kosius erstreckt. Im folgede Beispiel hat ma deselbe Effekt sogar zweimal. Zum Beispiel g (t) = si (ωt) ud h (t) = si (mωt) mit m : g (t) h (t) dt = si (ωt) si (mωt) dt = cos (( m) ωt) dt = cos (( + m) ωt) dt Zum Beispiel g (t) = h (t) = (OK dazu braucht s keie trigoometrische Formel): g (t) h (t) dt = dt = [t] t= t= Wie ka ma damit die Fourier-Koeffiziete bereche? Nehme wir zum Beispiel b, de Koeffiziete vo si (ωt). Um b zu bereche, itegriere wir f (t) si (ωt) über eie vollstädige Periode: f (t) si (ωt) dt = a si (ωt) dt = + a cos (ωt) si (ωt) dt + b + a cos (ωt) si (ωt) dt + b si (ωt) si (ωt) dt si (ωt) si (ωt) dt + a 3 cos (3ωt) si (ωt) dt + b 3 si (3ωt) si (ωt) dt +... Vo all diese Itegrale ist ur ei eiziges icht ull: si (ωt) si (ωt) dt =. Es ergibt sich f (t) si (ωt) dt = b ud folglich b = f (t) si (ωt) dt Auf aaloge Weise erhält auch sämtliche adere Koeffiziete.
3 Fourier-Reihe-Etwicklug f (t) = a + (a cos (ωt) + b si (ωt)) Dabei ist ω = π die Grud-Kreisfrequez der periodische Fuktio f (t) mit Fudametalperiode. Die Fourier-Koeffiziete sid a = a = b = f (t) dt f (t) cos (ωt) dt f (t) si (ωt) dt Die Itegrale müsse sich dabei über irgedeie vollstädige Fudametalperiode erstrecke, z.b. geht auch +/... dt. / Ist f (t) eie ugerade Fuktio (f ( t) = f (t)), so gilt = a = a = a =... ud ma hat eie Fourier-Sius-Reihe: f (t) = b si (ωt) + b si (ωt) +... Ist f (t) eie gerade Fuktio (f ( t) = f (t)), so gilt = b = b =... ud ma hat eie Fourier-Kosius-Reihe: f (t) = a + a cos (ωt) + a cos (ωt) +... Beispiel Sägezahfuktio (Kippschwigug) f (t) = t für π < t < +π, periodisch fortgesetzt für t außerhalb dieses Bereichs. Die Periode ist = π, ud ω =. π π π 3π 4π 5π 6π t Es hadelt sich um eie ugerade Fuktio: alle Fourier-Kosius-Koeffiziete a i sid ull. Welche Wert die Fuktio a de Sprugstelle habe soll, habe wir uter de isch falle lasse. Die Fourier-Reihe vo f (t) liefert a Sprugstelle sowieso immer de Mittelwert der Grezwerte vo liks ud vo rechts der Sprugstelle, d.h. de Wert auf halber Höhe des Sprugs. Für usere Sägezahfuktio hieße das: = f ( π) = = f (π) = f (3π) = f (5π) =...
4 Wir bereche die Sius-Koeffiziete: b = / / π f (t) si (t) dt = π t si (t) dt π = [ π t cos (t) = ( π cos (π) π = cos (π) = ( ) = π cos (t) dt π }{{} = ) ( π) cos ( ( π)) ] t=+π t= π { für =, 3, 5,... für =, 4, 6,... Es ergibt sich die Fourier-Siusreihe der Sägezahfuktio: f (t) = (si (t) si (t) + si (3t) ) si (4t) Die Grafike zeige die Näheruge, die ma erhält, we ma die Fourier-Reihe ach dem -te erm abbricht. Zwar wird f (t) i immer weitere Bereiche immer besser approximiert. Die maximale Abweichug wird jedoch icht kleier, kozetriert sich aber zuehmed i der Nähe der Sprugstelle (sog. Gibbssches Phäome). =8 / / / / 3 3 = 6 / / / / 3 3 =4 =3 / / / / 3 3
5 < t < Beispiel Rechteck-Schwigug f (t) = < t < + + < t < + periodisch fortgesetzt. Periode: = 4, Kreisfr.: ω = π = π t Diese Fuktio ist gerade. Die Fourier-Reihe hat keie Sius-erme. Bereche wir a i. a = / f (t) dt = f (t) dt = dt = / [t]t=+ t= = Der Mittelwert vo f (t) ist offesichtlich, ud a ist i der at der doppelte Mittelwert. a k = / f (t) cos (ωt) dt / = f (t) cos (ωt) dt = = cos (ωt) dt [ ] t=+ si(ωt) ω t= = (si (ω) si ( ω)) ω = π = Es ergibt sich die folgede Fourier-Kosiusreihe (mit ω = π ): f (t) = + π = (si (ω) + si (ω)) si ( ) π π { ± für ugerades π für gerades cos (ωt) cos (3ωt) + cos (5ωt) cos (7ωt) ±... 3π 5π 7π = = =4 =
6 Die Parseval sche Gleichug (f (t)) dt = a + ( ( a + b) + a + b) +... ( = a + a + b) (Itegratio über irgedeie vollstädige Periode) Beispiel Welche mometae ud welche durchschittliche Leistug setzt ei Spaugssigal u (t) = 6, V +, V si (t), V si (t) über eiem Widerstad R = 5Ω frei? Die mometae Leistug ergibt sich aus dem Produkt vo mometaer Spaug u (t) ud Stromstärke i (t) zum Zeitpukt t. Nach dem Ohmsche Gesetz gilt u (t) = R i (t) oder i (t) = u (t). Also habe wir als mometae Leistug R p (t) = u (t) i (t) = (u (t)) R Die mittlere Leistug ergibt sich, idem wir die mometae Leistug über eie Periode itegriere ud durch die Läge der Periode teile. Die mittlere Leistug ist also p = p (t) dt = R (u (t)) dt = R (u (t)) dt = ( 5Ω (,V) + (, V) + (, V) ) = Ω 77V = 7, 7AV = 7, 7W wobei wir vo dritter zu vierter Zeile die Parseval sche Gleichug beutzt habe. Beispiel Noch eimal Sägezah: f (t) = t für π < t < +π, π-periodisch fortgesetzt. Wir habe obe ausgerechet, dass f (t) = ( ) + si (t) = si (t) si (t) + si (3t) si (4t) ± Die Parseval sche Gleichug sagt, weil hier alle a = sid: / (f (t)) dt = b Wir bereche die like Seite: / / (f (t)) dt = π π π / t dt = [ t 3 π 3 ] t=+π t= π = ( ) π 3 π 3 π3 = 3 3 π
7 Die rechte Seite ergibt Ergebis: oder b = ( ) = 3 π = 4 = π 6 4 = 4 Dieses Reihebeispiel war im Kapitel Reihe am Afag des Semesters och übriggebliebe. Mit der Parseval sche Gleichug habe wir jetzt die Summe berechet. (Wie so oft war Leohard Euler der Erste, der die Reihesumme berechete.)
Übungen mit dem Applet Fourier-Reihen
Fourier-Reihe 1 Übuge mit dem Applet Fourier-Reihe 1 Mathematischer Hitergrud... Übuge mit dem Applet... 3.1 Eifluss der Azahl ud der Sprugstelle...3. Eifluss vo y-verschiebug ud Amplitude...4.3 Eifluss
MehrHöhere Analysis. Lösungen zu Aufgabenblatt 6. Die Funktion f sei auf ( π, π] definiert durch f(x) = x und wird 2π-periodisch fortgesetzt.
Fachbereich Iformatik Sommersemester 8 Prof. Dr. Peter Becker Höhere Aalysis Lösuge zu Aufgabeblatt 6 Aufgabe (Fourierreihe) 3+5 Pukte Die Fuktio f sei auf (, π] defiiert durch f(x) x ud wird π-periodisch
MehrFunktionenreihen. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Fuktioereihe Erst durch Newto wurde die Theorie uedlicher Reihe zu eiem eigestädige Forschugsgebiet i der Mathematik, das da i Britaie besodere Beachtug ud weitere Etwicklug durch Brook Taylor ud Coli
Mehr6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum
Mehr= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen.
Wurzelgesetze Gesetzmäßigkeite Grudlage Das Wurzelziehe (oder Radiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Daher sid die Wurzelgesetze de Potezgesetze sehr ählich. Die Wurzel aus eier positive Zahl ergibt
MehrD-HEST, Mathematik III HS 2015 Prof. Dr. E. W. Farkas R. Bourquin und M. Sprecher. Lösung 1
D-HEST, Mathematik III HS 15 Prof. Dr. E. W. Farkas R. Bourqui ud M. Sprecher Lösug 1 Das erste Kapitel der Vorlesug behadelt die Theorie der Fourier-Reihe. Bearbeite Sie bitte folgede Frage olie bis Diestag,
Mehrn=0 f(x) = log(1 + x) = n=1
Potez - Reihe Machmal ist es praktisch eie Fuktio f() mir Hilfe ihrer Potezreihe auszudrücke. Eie Potezreihe um de Etwicklugspukt 0 sieht im Allgemeie so aus a ( 0 ) Fuktioe, für die eie Potezreihe eistiert,
MehrEs gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden
Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem
MehrKlassische Theoretische Physik I WS 2013/2014
Karlsruher Istitut für Techologie www.tkm.kit.edu/lehre/ Klassische Theoretische Physik I WS 3/4 Prof. Dr. J. Schmalia Blatt 7 Dr. P. P. Orth Abgabe ud Besprechug 3..3. Tayloretwicklug I 5 + 5 + 5 + 5
MehrWallis-Produkt, Gammafunktion und n-dimensionale Kugeln
Wallis-Produkt, Gammafuktio ud -dimesioale Kugel Thomas Peters Thomas Mathe-Seite www.mathe-seite.de 6. Oktober 3 Das Ziel dieses Artikels ist es, Formel für das Volume ud die Oberfläche vo -dimesioale
MehrSTUDIENMATERIAL Teil 9 für Studenten der Elektrotechnik/Informationstechnik UNENDLICHE REIHEN
Techische Uiversität Chemitz Fakultät für Mathematik Zahlereihe STUDIENMATERIAL Teil 9 für Studete der Elektrotechik/Iformatiostechik UNENDLICHE REIHEN Utersuche für folgede uedliche Reihe jeweils die
MehrFit in Mathe. April Klassenstufe 10 Wurzelfunktionen
Thema Fit i Mathe Musterlösuge 1 April Klassestufe 10 Wurzelfuktioe Uter der -te Wurzel eier icht-egative Zahl (i Zeiche: ) versteht ma die icht-egative Zahl, die mal mit sich selber multipliziert, die
MehrLGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018
LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
Mehr10 Aussagen mit Quantoren und
0 Aussage mit Quatore ud 0.6. Eisatz vo (bereits bekater) Eistezaussage Bisher hatte wir Eistezbeweise geführt, idem wir ei passedes Objekt agegebe habe ( Setze... ). Stattdesse ka ma auch auf bereits
Mehr1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome
1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg
Mehr6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
MehrNennenswertes zur Stetigkeit
Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit
Mehr5.7. Aufgaben zu Folgen
5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils
MehrZusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud -ugleichuge 6 Für Eperte 9 Polyomgleichuge ud -ugleichuge Defiitio: Ei Term
MehrKonvergenzradius von Taylorreihen
HTBLA Neufelde Peter Fischer pe.fischer@at.u Kovergezradius vo Taylorreihe Mathematische / Fachliche Ihalte i Stichworte: Taylorreihe, Kovergezradius, bestädige Kovergez Kurzzusammefassug Zuerst wird der
MehrZusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
MehrEinheitswurzeln und Polynome
Eiheitswurzel ud Polyome Axel Schüler, Mathematisches Istitut, Uiv. Leipzig mailto:schueler@mathematik.ui-leipzig.de Grüheide, 1.3.2000 Kojugatio ud Betrag Spiegelt ma eie komplexe Zahl z = a+b i a der
Mehr4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt
MehrAnalysis 1 für Informatiker und Statistiker Beispielslösungen, Woche 13
Mathematisches Istitut der LMU WS 016/17 Prof. Dr. S. Morozov Olie am: Dr. H. Hogreve 1. 01. 017 Aalysis 1 für Iformatiker ud Statistiker Beispielslösuge, Woche 1 1.1 (a Um festzustelle, ob die utestehede
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathemati PROF DRDR JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathemati für Iformatier I Witersemester 2003/2004 Aufgabeblatt 8 12 Dezember
MehrNumerische Integration (s. auch Applet auf
Numerische Itegratio (s. auch Applet auf www.mathematik.ch) Voraussetzuge ud Zielsetzug Voraussetzug: Eie Fuktio f sei auf dem abgeschlossee Itervall I = [a,b] stetig. b Gesucht: Bestimmtes Itegral J =
MehrFolgen und Reihen. 23. Mai 2002
Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2
MehrBeweis des ausgezeichneten numerischen Theorems über die Koeffizienten der Binomialpotenzen
Beweis des ausgezeichete umerische Theorems über die Koeffiziete der Biomialpoteze Leohard Euler p We dieser Charakter q die Koeffiziete der Potez x q bezeichet, der aus der Etwicklug des Bioms + x p etsteht,
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1
Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für
MehrKAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen
KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele
MehrKonvergenz von Fourier-Reihen
Kovergez vo Fourier-Reihe Ausarbeitug zum Semiar zur Fourieraalysis, 3..27 obias Reimes Diese Ausarbeitug beschäftigt sich mit der Kovergez vo Fourier-Reihe. Hierzu werde im erste Abschitt eiige Vorbemerkuge
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
Mehr1 Integrationsmethoden
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffma WS 3/4 4..4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Iformatik Itegratiosmethode. Saalübug (4..4) Aufgabe Bereche
MehrNormierte Vektorräume
Normierte Vektorräume Wir betrachte im Folgede ur Vektorräume über R 1. Sei also V ei Vektorraum. Wir möchte Metrike auf V betrachte, die im folgede Sie mit der Vektorraumstruktur verträglich sid:, y,
MehrIndex. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17
Folge, Reihe Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4
MehrA 5 A 3. Geschlossenes Polygon mit 8 Eckpunkten
Has Walser, [0100708a] Polgofläche Aregug: [Beder 010] 1 Worum es geht Es werde verschiedee Formel zur Berechug des Flächeihaltes eies eifach geschlossee Polgos A 1 A A diskutiert. Dabei zeigt sich, dass
MehrÜbungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w
Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die
MehrGaußsches Integral und Stirling-Formel
Gaußsches Itegral ud Stirlig-Formel Lemma. Gaußsches Itegral Es gilt für alle a > : e ax dx π a Beweis: Wir reche: e dx ax e ax dx e ay dy e ax e ay dx dy mit dem Satz vo Fubii e ax +y dx dy. Nu verwede
MehrEulersche Summationsformel
Eulersche Summatiosformel ei Prosemiarvortrag Sve Grützmacher Betreut vo Dr. Kaste Cotets Vorwort Die eifache Formel 3 Die allgemeie Formel 5 4 Awedug 7 VORWORT Vorwort Dieser Prosemiarvortrag beschäftigt
MehrAnalysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:
MehrÜbungen zur Analysis I WS 2008/2009
Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge
MehrSystemtheorie. Vorlesung 18: Spektren periodischer Signale. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Systemtheorie Vorlesug 8: Spektre periodischer Sigale Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma Spektre vo Sigale Eiführug Sigale köe auf uterschiedliche Arte beschriebe werde Zeitbereich
MehrZusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
MehrTransformator. n Windungen
echische iversität Dresde stitut für Ker- ud eilchephysik R. Schwierz V/5/29 Grudpraktikum Physik Versuch R rasformator rasformatore werde i viele ereiche der Elektrotechik ud Elektroik eigesetzt. Für
Mehr5-1 Elementare Zahlentheorie
5- Elemetare Zahletheorie 5 Noch eimal: Zahletheoretische Fuktioe 5 Der Rig Φ als Rig der formale Dirichlet-Reihe! Erierug: Ei Polyom mit Koeffiziete i eiem Körper K ist ach Defiitio ichts aderes als eie
MehrGanzrationale Funktionen
Gazratioale Fuktioe 9. Defiitio gazratioaler Fuktioe Im Folgede werde ebe lieare ud quadratische Fuktioe auch solche betrachtet, bei dee die Variable i der dritte, vierte oder auch i eier och höhere Potez
Mehr3 Vergleich zweier unverbundener Stichproben
3 Vergleich zweier uverbudeer Stichprobe 3. Der Zweistichprobe t-test Es wird vorausgesetzt, dass die beide Teilstichprobe x, x,..., x ud y, y,..., y jeweils aus (voeiader uabhägige) ormalverteilte Grudgesamtheite
MehrLösungsskizzen Mathematik für Informatiker 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartmann
Lösugssizze Mathemati für Iformatier 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartma Verstädisfrage 1. We Sie die Berechug des Biomialoeffiziete mit Hilfe vo Satz 4.5 i eiem Programm durchführe wolle stoße Sie schell
MehrLösungsvorschlag zur 2. Hausübung in Analysis II im SS 12
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK, CAMPUS ESSEN Prof. Dr. Patrizio Neff 0.04.0 Lösugsvorschlag zur. Hausübug i Aalysis II im SS Hausaufgabe (8 Pute): Bereche Sie für die Futio f : R! R; f() : ep( ) a der Stelle
Mehr11. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 9/./3. Jauar Gruppeübug Aufgabe G Itegratio) Bereche
Mehr4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
Mehr3 Grenzwerte. 3.1 Grenzwerte von Folgen
03-grezwerte.cdf 3 Grezwerte 3. Grezwerte vo Folge Kovergez Mache Folge zeige ei spezielles Verhalte, we der Idex sehr groß wird. Sie äher sich eier bestimmte Zahl. Betrachte wir zum Beispiel die Folge
MehrGrundbegriffe der Differentialrechnung
Wirtschaftswisseschaftliches Zetrum Uiversität Basel Mathematik für Ökoome 1 Dr. Thomas Zehrt Grudbegriffe der Differetialrechug Referez: Gauglhofer, M. ud Müller, H.: Mathematik für Ökoome, Bad 1, 17.
Mehra ist die nichtnegative Lösung der Gleichung a 0 a, b 0 : a 0 und b > 0 Beispiele:
Zahle. Die Quadratwurzel Die Quadratwurzel a heißt Radikad Beachte: 0 = 0 a ist die ichtegative Lösug der Gleichug = a, wobei a 0. 4 Ei Teil der Quadratwurzel sid ratioale Zahle (bspw. 6, 0, 09, ), adere
MehrMusterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09
Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht
Mehr4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
Mehrn gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
Mehrn (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =
Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:
MehrNachtrag. Alternatives Buch zum Satz von Fermat 1999 bei amazon nur noch gebraucht
Nachtrag Alteratives Buch zum Satz vo Fermat 1999 bei amazo ur och gebraucht 1 Uedliche (Zahle-) Mege 2 Wiederholug Steuer Bei eiem Eikomme vo ud eiem Steuersatz vo 33% müsse Sie Steuer zahle. Da werde
MehrEinige spezielle Funktionen: exp, ln, sin, cos.
76 Kapitel 5 Eiige spezielle Fuktioe: exp, l, si, cos. 5.1 Expoetialfuktio ud Logarithmus Die überaus wichtige Expoetialfuktio soll u etwas geauer diskutiert werde. Die ursprügliche Defiitio.0 ist für
MehrZahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
MehrLösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015
Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie
MehrStochastisches Integral
Kapitel 11 Stochastisches Itegral Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 1 / 2 Lerziele Wieer Prozess ud Browsche Bewegug Stochastisches Itegral Stochastische Differetialgleichug
MehrÜbungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen
Taylor-Etwickug vo Fuktioe Übuge mit dem Applet Taylor-Etwickug vo Fuktioe Ziele des Applets... Mathematischer Hitergrud... 3 Vorschläge für Übuge... 3 3. Siusfuktio si(...3 3. Cosiusfuktio cos(...4 3.3
Mehrc B Analytische Geometrie
KITL 9 alytische Geometrie Gerade arameterdarstellug eier Gerade ie Gerade g ist bestimmt durch eie Richtug, gegebe durch eie Vektor c, c 0, ud eie ukt, der auf der Gerade liegt Ma et de ufpukt i ukt X
Mehr1 Analysis T1 Übungsblatt 1
Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.
MehrKomplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind:
KAPITEL 1 Komplexe Zahle Lerziele dieses Abschitts sid: (1) Aalytische ud geometrische Darstellug komplexer Zahle, () Grudrechearte fur komplexe Zahle, (3) Kojugatio ud Betrag komplexer Zahle, (4) Losug
MehrReihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel
Zahlefolge Teil 3 Reihe Reihe Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Datei Nr. 4003 (Neu bearbeitet ud erweitert) Jui 005 Friedrich W. Buckel Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt Defiitio eier Reihe
MehrAnalysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze
Gruppeübug Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8 Übug, Lösugsskizze G 4 (Zum warm werde). Begrüde die vo Physiker beliebte Näheruge si(x) x, cos(x) ud ta(x) x für kleie x R. Dies folgt direkt aus der Tayloretwicklug
MehrMichael Buhlmann Mathematik > Analysis > Newtonverfahren
Michael Buhlma Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre Eie Abbildug {a }: N -> R, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuordet, heißt (uedliche (Zahle- Folge: -> a oder {a } εn, a das -te Folgeglied.
Mehr1. Zahlenfolgen und Reihen
. Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,
MehrBeispiellösungen zu Blatt 105
µ κ Mathematisches Istitut Georg-August-Uiversität Göttige Aufgabe 1 Beispiellösuge zu Blatt 105 Alva liebt Advetskaleder. Aber sie hat keie Lust, die Türe vo 1 bis i der ormale Reihefolge zu öffe. Daher
MehrHans Walser, [ a] Approximation der Zykloide Idee: R. W., F.
Has Walser, [2229a] Approximatio der Zykloide Idee: R. W., F. Abrolle eies regelmäßige -Ecks Wir rolle ei regelmäßiges -Eck auf eier Gerade ab ud verfolge de Weg eies partikuläre Eckpuktes. Beim Dreieck
MehrIndizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5
FU Berli: WiSe 13-14 (Aalysis 1 - Lehr.) Übugsaufgabe Zettel 9 Aufgabe 37 Idiziere Sie die folgede Summe ud Produte gemäß der Vorgabe um ud schreibe Sie sie eimal explizit aus: 5 (a) + 1) 0( Lösug. Die
Mehr6. Fourier-Transformation
6. Fourier-rasformatio Wir betrachte zuächst eie periodische Fuktio: f t+ f t. (6- Die Idee ist, das sie sich durch eie Überlagerug periodischer, harmoischer Schwiguge darstelle lässt. Aalogie: ( + cos(
MehrDarstellung periodischer Funktionen durch Fouriersche Reihen
Aus Fuschau 6-8/957. Digitalisiert 9/6 vo Eie Grud für http://www.radiomuseum.org mit freudlicher Geehmigug der Fuschau-Redatio. Die atuelle Ausgabe der FUNKSCHAU fide Sie uter http://www.fuschau.de (Im
MehrKlausur 1 über Folgen
www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;
Mehr$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,
Mehr8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8.1 Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: lim 1 w k 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k 2 3
MehrKAPITEL 3. Zahlenreihen. 3.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen... 80
KAPITEL 3 Zahlereihe 3. Geometrische Reihe......................... 7 3.2 Kovergezkriterie......................... 72 3.3 Absolut kovergete Reihe.................... 80 Lerziele 3 Eigeschafte der geometrische
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr A Müller-Rettkowski Dr T Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum
MehrLösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Patrizio Neff Christia Thiel 4.04.04 Lösugsvorschlag zu de Hausaufgabe der. Übug Aufgabe : (6 Pukte Bereche Sie für die Fuktio f : R R, f( : ep( a der Stelle 0 0 das Taylorpolyom
MehrHandout. Instationäre Wärmeleitung. ka t. kat V. ktg D. Mit dem Körperfaktor G = bzw. = folgt. ktga. ktg = D. λkörper. ktga. kdfog. Mit = + folgt.
T T T T k ex t ρcv D G Mit dem Körerfaktor G bzw. folgt V V D kt ρc V ktg ρc D Körer Körer Mit a bzw. ρc folgt ρc a ktg ρc D ktga D Körer at at Mit Fo bzw. D Fo folgt D D ktga D Körer kdfog Körer Mit +
Mehr8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8. Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: w lim + = k = 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k
MehrProbeklausur zur Analysis I WS 11/12 Prof. Dr. G. Wang Dr. A. Magni. Beginn: 8:15 Uhr. Name:...Vorname:... Matr.Nr.:...Studiengang:...
Probeklausur zur Aalysis I WS / Prof. Dr. G. Wag 3.. Dr. A. Magi Begi: 8:5 Uhr Ede: Name:..........................Vorame:............................ Matr.Nr.:........................Studiegag:.........................
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7
MehrTutorium Mathematik ITB1(B), WI1(B)
Tutorium Mathematik ITB(B), WI(B) Aufgabeblatt F Aufgabe zum Kapitel Fuktioe Prof Dr Peter Plappert Fachbereich Grudlage Aufgabe : Bestimme Sie jeweils de maimal mögliche Defiitiosbereich D ma a) f ( =
MehrEinführung in die Grenzwerte
Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der
MehrDenition 27: Die Fakultät ist eine Folge f : N N mit f(1) := 1 und f(n + 1) := (n + 1) f(n) für alle n N. Wir schreiben n! := f(n) für diese Folge.
Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok, WWU Müster Fachbereich Mathematik ud Iformatik 22.9.20 Ÿ3.2 Folge ud Summe (Fortsetzug) Eie wichtige Möglichkeit, wie ma Zahlefolge deiere ka, ist die über eie
MehrEinführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD.
ZAHLENFOLGEN Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Datei Nr. 400 SW Das komplette Mauskript befidet sich auf der Mathematik - CD Friedrich Buckel Februar 00 Iteratsgymasium Schloß Torgelow Ihalt Eiführede
Mehrn=1 b n, deren Summe n=1 (a n + b n ) eine konvergente Reihe ist. Die Aussage ist WAHR, ein mögliches Beispiel sind die divergenten Reihen 1
ANALYSIS WS 08/09 Vorlesug: Prof. Dr. P. Ullrich Übuge: Dr. I. Kharif/ Dr. M. Steihauer 9. ÜBUNGSBLATT- LÖSUNGSHINWEISE/Ergebisse Die folgede Bearbeituge sid - zum Teil - keie ausführliche Musterlösuge,
MehrKAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...
KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 7..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 5. Übugsblatt Aufgabe
Mehr4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat
O. Forster: Eiführug i die Zahletheorie 4. Die Mege der Primzahle. Bertrads Postulat 4.1. Satz (Euklid. Es gibt uedlich viele Primzahle. Beweis. Wir zeige, dass es zu jeder edliche Mege p 1, p 2,..., p
MehrZahlenfolgen. Zahlenfolgen
Zahlefolge Eie Zahlefolge a besteht aus Zahle a,a,a 3,a 4,a 5,... Die eizele Zahle eier Folge heiße Glieder oder Terme. Beispiele für Zahlefolge sid die atürliche Zahle: 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5..., die gerade
MehrVorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium Lösungen 2: Binomialreihen, Exponential- und Logarithmusfunktion
Uiversität Zürich, 3. September 0 Vorurs Grudlage für das Mathematistudium Lösuge : Biomialreihe, Expoetial- ud Logarithmusfutio Lösug zu Aufgabe Seie x, y > 0 ud a > 0. Da gilt: a log a z z für alle z
MehrÜbungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8
Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 8 032203 Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir
Mehr3. Anwendungen der Differentialrechnung
Talorsche Formel ud Mittelwertsatz 4 Aweduge der Differetialrechug Talorsche Formel ud Mittelwertsatz Die Gleichug der Tagete = f ( ( a die Kurve = f( im Pukt (, liefert eie grobe Näherug für die Fuktio
MehrBildverbesserung. Operationen im Frequenzraum
Bildverbesserug Operatioe im Frequezraum Begriffsdefiitioe Der Ortsraum ist die übliche Repräsetatio vo Bilder. Jedem Bildpukt ist eie bestimmte Koordiate eideutig zugeordet. Der dazu duale Raum ist der
Mehr