Zahlenfolgen. Zahlenfolgen

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1 Zahlefolge Eie Zahlefolge a besteht aus Zahle a,a,a 3,a 4,a 5,... Die eizele Zahle eier Folge heiße Glieder oder Terme. Beispiele für Zahlefolge sid die atürliche Zahle: , die gerade Zahle: , die Quadratzahle: , die Zweierpoteze: , die Primzahle: ud eie alterierede Folge: Zahlefolge Formal gesehe ist eie Zahlefolge f eie Zuordug der Mege IN der atürliche Zahle zu eier adere Zahlemege A: f: a mit IN ud a A IR Zahlefolge aus ratioale Zahle sid z.b Zahlefolge aus irratioale Zahle sid z.b.... ud π π π 3 π 4 π 5 π 6 π 7 π 8 π ,... ud Wegeer Math/5_Reihe_k Mittwoch :38:55

2 Zahlefolge Häufig geligt es, eie Formel für jedes Glied a eier Zahlefolge a azugebe. Diese lautet für die atürliche Zahle: a =, für die gerade Zahle: a =, für die Quadratzahle: a =, für die Zweierpoteze: a = ud für die alterierede Folge : a = - +. Für die Primzahle hat bisher iemad eie Formel gefude ud es ist ziemlich sicher, dass es keie gibt. 3 Zahlefolge Auch für die agegebee Folge aus ratioale ud irratioale Zahle lasse sich Formel otiere: a = a = 0 a = - a =! = - a = 0 π - 0 (! = , sprich: -Fakultät, es wird festgelegt, dass 0! = gilt.) Alle diese Folge strebe für wachsedes eiem Grezwert zu. 4

3 Mooto steigede ud fallede Folge Ist jedes Glied a eier Folge (größer) größer oder gleich bzw. (kleier) kleier oder gleich seiem Vorgäger a -, so heißt diese Folge (streg) mooto steiged bzw. falled. Ist die Differez zweier aufeiaderfolgeder Glieder eier Zahlefolge kostat, so spricht ma vo eier arithmetische Folge. Die Folge der gerade Zahle ist z.b. eie streg mooto steigede arithmetische Folge. 5 Arithmetische Folge Die Quadratzahle habe keie kostate Differez, aber die Differez der Differeze ist kostat. So eie Folge heißt da arithmetische Folge zweiter Ordug. Dritter, vierter, füfter, etc. Ordug bedeutet da, dass die dritte, vierte, füfte, etc. Differezefolge kostat ist. 6

4 Geometrische Folge Ei Zahlefolge heißt geometrische Folge, we der Quotiet q=a + /a zweier aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist. Die Zweierpoteze stelle eie geometrische Folge dar aber auch die agegebee alterierede Folge Grezwerte vo Folge Eie Zahl a IR heißt Grezwert eier Folge a,a,a 3,..., we es zu jeder reelle Zahl ε>0 ei IN gibt, so dass gilt a - a < ε Der Begriff Grezwert ka auch och aders defiiert werde: Zu jeder reelle Zahl ε>0 gibt es ei N IN, so dass für alle m, IN mit m, N gilt a m - a < ε Der Vorteil dieser vom Mathematiker Augusti-Louis Cauchy ( ) eigeführte Defiitio ist, dass ma de Grezwert icht agebe muss. Es muss ur sicher sei, dass alle weiter "hite" stehede Terme beliebig dicht beieiader stehe. Arithmetische Folge mit eier Differez verschiede vo Null habe keie Grezwert. Geometrische Folge, für dere Quotiet q gilt 0 < q <, habe de Grezwert 0. Eie solche Folge wird Nullfolge geat. 8

5 Summe vo Folge Eie Summe vo Glieder eier arithmetische Folge (erster Ordug) lässt sich folgedermaße bereche (d=a i+ -a i ): a i = a + a + a a i= = a + (d+a ) + ( d+a ) ( d+a ) = a + d + d d = a + d i i= = a + d (+) = (a + d + ) 9 Summe vo Folge Eie Summe vo Glieder eier geometrische Folge lässt sich folgedermaße bereche (q=a i+ /a i ): a i = a + a + a a i= = a + (q a ) + (q a ) (q - a ) = a (+q+q +...+q - ) = a -q -q Es gilt: (+q+q +...+q - ) (-q)=-q 0

6 Reihe Zu jeder Folge lässt sich ihre Summefolge bilde. Eie uedliche Summe der Glieder eier Zahlefolge heißt Reihe. We eie Reihe eie reelle Zahl als Grezwert hat, bezeichet ma diese als koverget, aderfalls, we die Reihe also über alle Geze wächst, et ma sie diverget. Beispiele für Reihe: -- i= - = = π 4 Diese Reihe ist uter dem Name Leibizsche Reihe bekat geworde (Gottfried Wilhelm Leibiz (646-76)). Er geschrieb dazu: "Deus umeri impari gaudet!" ("Gott erfreut sich der ugerade Zahle!"). Weitere Beispiele: Reihe i = = i= Diese Reihe wird Harmoische Reihe geat. Sie ist diverget. Koverget dagege ist: i = i=

7 Grezwerte Geometrische Reihe vo Folge mit eiem Quotiete q < sid koverget. Ihr Grezwert lässt sich mit Hilfe der Summeformel bereche: lim a i = lim a -q -q = a -q Δx 0 i= Δx 0 Der Grezwert vo q für q < ist 0. Die Reihe aus der Folge der reziproke Zweierpoteze lässt sich z.b. mit Hilfe dieser Formel bereche: lim Δx 0 i=0 = = i -/ 3