1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung

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1 Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt für Folge so impliziert diese, z.b. i Aalogie zu Lemma 6.6.9, falls ei Grezübergag eier Fuktio f(, y) vo 0 gleimchmäßig bezüglich y passiert ud alle iterierte Grezwerte eistiere (wir beötige hier die vollstädigkeit des Bildraumes) gilt: 0 y y0 f(, y) = y y0 0 f(, y) Ei Beispiel für die Awedug solcher Vertauschuge ist die Berechug der Ableitug eier reelle Fuktio g : R R. Ma stellt de Differezequotiete als Fuktio i zwei Variable dar: f(, y) = g( + y) g(). y dg Will ma u 0 () ausreche, ka ma bei gleichmäßiger Kovergez vo f(, y) eifach y 0 f( 0, y) bereche. Die Gleichmäßigkeit ist d der Fall, we die Fuktio g i eier Umgebug vo 0 stetig differezierbar ist. Solche Vertauschugssätze werde Ihe i de ächste Semester implizit oder eplizit immer wieder uterkomme. Die Utersuchug der gleichmäßige Kovergez eier stetige Fuktioefolge ka uter Umstäde mit Hilfe der Grezfuktio etschiede werde. Dazu verwedet ma de Satz 6.6. aus dem Skriptum, dass die gleichmäßige Kovergez die Stetigkeit erhält. Liegt also puktweise eie icht stetige Grezfuktio vor, kovergiert die Fuktioefolge i keier Umgebug der Ustetigkeitsstelle gleichmäßig. Adererseits sid die Grezfuktio ud auch fast alle Folgeglieder stetig ud beschräkt so kovergiert die Fuktioefolge gleichmäßig, gege die Grezfuktio. Somit folgt bei eier stetige Fuktioefolge mit eier, auf eiem kompakte Itervall, stetige Grezfuktio, die gleichmäßige Kovergez auf diesem Itervall. Ist ma sich icht sicher ka ma immer och das ǫ Kriterium achprüfe: Für gleichmäßige Kovergez eier Fuktioefolge f : (M, d) (M, d ) gege eie Grezfuktio f lautet es: ǫ > 0 N N M > N : d (f (), f()) < ǫ

2 Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite 2 Im Falle der icht gleichmäßige Kovergez egiere wir de logische Ausdruck ud erhalte: ǫ > 0 N N M > N : d (f (), f()) > ǫ. Beispiel Es ist puktweise ud gleichmäßige Kovergez der folgede Fuktioefolge zu utersuche: (a) Für R sei f () = BH a: Die Fuktioefolge f ist gleichmäßig koverget gege die Fuktio 0. Beweis : Um die puktweise Kovergezfuktio berechet sich für festes R. R N : 0 < Daraus folgt sofort R : f () = 0. Ausserdem gilt X ǫ > 0 N N > N : < < ǫ ǫ > 0 N N X > N : < ǫ ud damit die gleichmäßige Kovergez. (b) Für [0, ] sei f () =. + 2 BH { b: Die Fuktioefolge f kovergiert puktweise gege f() = : (0, ]. Da die Fuktio icht stetig ist, gilt f 0 : = 0 kovergiert icht gleichmäßig auf [0, ]. Beweis : Für alle [0,] ud alle N gilt + 2 = + 2 Wir köe also vorerst für festes 0 ud de Recheregel für Folge schreibe. Im Falle = 0 +2 = ( )+ 2 = gilt für alle N, f () = 0. Daher gilt dort f (0) = 0.

3 Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite 3 Die puktweise { Grezfuktio ergibt sich also zu f () = f() = : 0 0 : = 0. Wir sehe f() ist a 0 icht stetig, da 0+ =. Die Divergez gege erket ma schell aus der Tatsache, dass f() auf (0,) mooto falled ist, also < y f() > f(y) gilt, ud die Folge f( ) = gege kovergiert. Somit folgt mit der Erketis der Eileitug, dass die Fuktioefolge icht gleichmäßig kovergiert. We ma de Beweis direkt mit dem ǫ Kriterium führe will fidet ma für ǫ = 2 ud beliebiges N N die Stelle y = N+, sodass für = N + gilt y y N+2 > 2 = ǫ. (N+)2 = +y2 4. Beispiel Ma zeige mit Hilfe der Potezreihedarstellug vo ep eiige Eigeschafte für beliebiges N. BH : + ep() = + Beweis : Für de Grezübergag sid ur aus eier Umgebug wichtig wir schräke us dabei auf R + ei. Wir schätze ab für > 0: ep() = i=0 i i! kost = i i! + ( + )! + i=0 i=+2 i i! ( + )! ep() da alle auftretede Summade postiv sid. Damit gilt + + (+)! = +. BH 2: ep() = 0 Beweis : Es gilt für < 0 die Beziehug = ud damit ep() ( ) ep( ) = ( ) ep( ) Da aber laut Skriptum Satz ep( ) = ep() ud (siehe Seite 0) 0 f() = a 0 f() = a auch für a = + gilt, folgt: ( ) ep( ) = = 0 ( ) ep() BH 3: y 0+ y(ly) = 0

4 Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite 4 Beweis : Da für de rechtsseitige Grezwert ur positive y relevat sid, köe wir die Bijektivität vo ep : R R + ausütze ud für alle y ei eideutiges fide, sodass y = ep() gilt. Wir schreibe mit l = ep ud ep() 0 : y(l y 0+ y) = ep()(l ep() 0+ ep()) = ep() = 0 ach Behauptug Beispiel Sei P der Raum der 2π periodische Fuktioe vo R C ud T der eidimesioale Torus, also der Eiheitskreis i der komplee Ebee. Mit C(T, C) bezeiche wir die stetige Fuktioe vo T ach C. Es ist schell achzuprüfe, dass P ud C(T, C) Vektorräume sid, we ma Additio ud Skalarmultiplikatio puktweise erklärt. Wir wolle de Zusammehag zwische de beide Vektorräume studiere. Ja wir wolle sogar zeige, dass die beide Vektorräume isomorph sid. Wir gebe zuerst eie Beweisskizze: Der wesetliche Pukt dieses Beispiels ist, dass die Abbildug ep i ei Homeomorphismus vo (0, 2π) i de Eiheitskreis ohe de Pukt + 0i ist. Diese Abbildug ist aber stetig auf gaz R also auch isbesodere auf [0, 2π). Adererseits ka ma die Zusammesetzug der Umkehrabbildug mit eier Fuktio f aus P stetig auf T fortgesetze, da f(0) = f(2π) gilt. Wir werde jedoch ur beweise, dass die Zusammesetzug der Umkehrfuktio ep mit eier Fuktio aus P auf gaz T stetig ist. Hat ma das erreicht ist das Beispiel gelöst, de wir setze zusamme: Sei f P ud ep : T [0, 2π) die Umkehrabbildug, da gilt f = f ep ep ist stetig ud f ep etspricht dem eideutige g C(T, C). Umgekehrt gilt für ei gegebees g, dass g = g ep ep stetig ud das eideutige f P gegebe durch f = g ep ist. Die Zuordug φ : g g ep ist ei Homomorphismus der beide Vektorräume, da offesichtlich gilt ud φ(g + h) = (g + h) ep = g ep +h ep φ(λh) = (λh) ep = λh ep Die ausgesparte Beweisdetails werde ochmals i eie lesbare Beweis zusammegefasst:

5 Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite 5 Beweis : Wie aus der Vorlesug bekat bildet ep(it) die Mege R stetig auf T = {z C : z = } ab. Schräkt ma ep(it) auf t [0,2π) ei, so ist diese Fuktio da sogar bijektiv. Ist u f : T C stetig, so ist auch g : R C mit g(t) := f(ep(it)) als Zusammesetzug stetiger Fuktioe stetig. Auerdem folgt aus ep(it + 2iπl) = ep(it) für t R, l Z, dass g 2π-periodisch ist. Nu sei umgekehrt g : R C stetig ud 2π periodisch. Wir suche ei f : T C mit g(t) := f(ep(it)). Ist z T, so gibt es ei eideutiges t [0,2π) mit ep(it) = z. Wir setze f(z) := g(t), ud erhalte damit eie Fuktio f : T C mit f(ep(it)) = f(z) = g(t) für alle t [0,2π). Wir wolle u och zeige, dass f bei alle z T stetig ist. Dazu geügt es, z z f(z ) f(z) für jede Folge (z ) i T achzuweise. Sei also (z ) eie gege z kovergete Folge aus T. Um f(z ) f(z) zu zeige, geügt es ach Bemerkug 3.2. zu zeige, dass jede Teilfolge (f(z (l) )) l N vo (f(z )) N wiederum eie Teilfolge (f(z (l(k)) )) k N hat, die gege f(z) kovergiert. Sei also (f(z (l) )) l N eie Teilfolge. Nu sei t (l) die eideutige Zahl aus [0,2π), sodass ep(it (l) ) = z (l). Da [0,2π] kompakt ist, gibt es eie gege ei t [0,2π] kovergete Teilfolge (t (l(k)) ) k N vo (t (l) ) l N. Wege der Stetigkeit vo t ep(it) folgt z (l(k)) = ep(it (l(k)) ) ep(it) für k. Adererseits kovergiert (z (l(k)) ) k N gege z. Also folgt z = ep(it). Wege der Stetigkeit vo g folgt auerdem f(z (l(k)) ) = g(t (l(k)) ) g(t) für k. Ist t [0,2π), so folgt aus der Defiitio vo f, dass f(z) = f(ep(it)) = g(t). Ist t = 2π, so folgt wege z = ep(it) = ud wege der 2π-Periodizität f(z) = f() = f(ep(i0)) = g(0) = g(2π) = g(t). I jedem Fall kovergiert (f(z (l(k)) )) k N gege f(z).