Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug Aufgabe (3+3+= Pukte) a) Zeige Sie per Iduktio, dass für alle ( )!. Hiweis: Beutze Sie die aus der Vorlesug bekate Abschätzug (+) N. b) Utersuche Sie, ob der folgede Grezwert eistiert ud bereche Sie ih we möglich. lim ( + ). c) Bereche Sie de Kovergezradius der Potezreihe = ( + )!. Für welche R folgt daraus die Kovergez der Reihe? Hiweis: Schätze Sie die Koeffiziete ach obe ud ute ab. Sie müsse die Radpukte icht betrachte. Lösugsvorschlag a) Wir beweise die Aussage mit Hilfe eier Iduktio. Iduktiosafag (IA): Es gilt ( = )! = 7 < 79 = 3. Iduktiosschrit (IS): Die Behauptug gelte für ei N mit (Iduktiosvoraussetzug (IV)). Es folgt ( + ) ( + )! = ( + )! (IV) ( ) Hiweis ( + ) ( + ) = +.

2 b) Für alle N gilt + ( )( ) = = + ( = + + = + +. Somit eistiert der gesuchte Grezwert ud lautet. c) Es hadelt sich um eie Potezreihe mit Etwicklugspukt ud Koeffiziete a =! N. Es gilt = = a =. Nach dem Sadwichprizip gilt somit auch a für, womit der Kovergezradius der Potezreihe durch de Kehrwert davo, also, gegebe ist. Dies bedeutet, dass die Reihe auf (,) auf jede Fall kovergiert. Aufgabe (++= Pukte) a) Die Fuktio f : R R sei gegebe durch arcta ( ) f () =,,, =. Zeige Sie, dass f differezierbar auf R ist ud bereche Sie f. b) Zeige Sie, dass log() log(y) y,y [/, ) c) Gebe Sie die maimale Lösug des folgede Afagswertproblems a. y () = si()(y() + cos()), y() =. Lösugsvorschlag a) Außerhalb der Null ist f als Kompositio differezierbarer Fuktioe differezierbar ud es gilt mit Produkt- ud Ketteregel f () = arcta() + ( + (/) ) = arcta() +. Für die Differezierbarkeit i betrachte wir de Differezequotiete ud sehe, dass für f () f () = arcta()

3 gilt. Wege arcta() π ist f i differezierbar mit f () =. b) Die Fuktio g, defiiert durch g() = log() für alle (, ), ist differezierbar mit g () =. Nach dem Mittelwertsatz gilt für,y [, ), dass log() log(y) = g() g(y) = g (ξ) y = y ξ für ei ξ im Itervall zwische ud y. Ibesodere liegt also auch ξ i [, ), womit ud somit die Behauptug folgt. ξ = c) Es hadelt sich bei der Differetialgleichug um eie lieare Differetialgleichug erster Ordug. I der Notatio vo Satz. sei a : R R mit si() ud b : R R mit si()cos(). Es gilt A() := a(s) ds = si(s) ds = cos() sowie e A(s) b(s) ds = si(s)e cos(s) cos(s) P.I. = [ cos(s)e cos(s) ] s= si(s)e cos(s) ds = [( cos(s))e cos(s) ] s= = ( cos())ecos() für alle R. Nach dem Satz aus Abschitt.3 der Vorlesug ist y : R R mit y() = y e A() + e A() e A(s) b(s) ds = e cos() + ( cos()) für alle R die maimale Lösug des Afagswertproblems. Aufgabe 3 (5+(3+)= Pukte) a) Sei die Fuktio f : R R gegebe durch f () = cos(t)e t dt. Bereche Sie das Taylorpolyom T (f,) ud zeige Sie, dass f () (T (f,))() 3 (,log()]. b) Bereche Sie, falls eistet, die folgede Grezwerte. 3

4 ) si() (i) lim. +( + cos() (ii) lim. Lösugsvorschlag a) Die Fuktio f ist beliebig oft differezierbar ud ach dem Hauptsatz der Differetial- ud Itegralrechug gilt f () = cos()e sowie f () = (cos() si())e, f () = si()e, Per Defiitio ist das gesuchte Taylorpolyom gegebe durch (T (f,))() = f () + f () + f () = +. Für die Fehlerabschätzgug gilt ach Vorlesug f () (T (f,))() = 3! f (ξ) 3 für ξ zwische ud. ist (,log()], so gilt dies demach isbesodere auch für ξ. Wir maimiere f über das Itervall (,log()]. Der Sius ist im Betrag durch Eis beschräkt, die Epoetialfuktio ist mooto wachsed ud deshalb durch e log() = beschräkt. Isgesamt folgt also f (ξ) = ud somit für (,log()]. f () (T (f,))() = 3! 3 = 3 b) (i) Für > gilt per Defiitio ( ) si() = e si()log( ) = e si()log(). Da die Epoetialfuktio stetig ist, betrachte wir zuächst de Epoete. Es gilt mit der Regel vo de L Hospital lim si()log() = lim + + = lim + log() L H = (si()) si () cos() L H = lim + lim + (si()) cos() si() cos() cos() si() =.

5 Somit folgt Alterativ schreibe wir ) si() lim = e +( = si()log() = si() log() ud mit dem bekate Grezwert des erste Ausdrucks ( ) ud log() L H lim log() = lim = lim = lim = ud somit schließlich dasselbe Ergebis wie obe. (ii) Es gilt Wege ( > ) folgt lim cos() = ud somit + cos() lim = lim + cos(). cos() + cos() lim =. Aufgabe ((3+)+5= Pukte) a) (i) Bereche Sie das Itegral π ( + )(5e si()) d. (ii) Überprüfe Sie, ob das ueigetliche Itegral e d eistiert. Hiweis: Nutze Sie die Potezreihedarstellug der Epoetialfuktio. b) Die Matrize A α R 3 3 (α R) sowie die Vektore b,c R 3 seie gegebe durch A α =, b =, c =. α 5 (i) Für welche Werte vo α ist A α = b lösbar? Gebe Sie, we möglich, ei α R a, sodass die Gleichug A α = b eie Lösug der Form = (,, ) besitzt. (ii) Bereche Sie die Lösugsmege der Gleichug A = c. 5

6 Lösugsvorschlag a) (i) Mit partieller Itegratio folgt π ( + )(5e si()) d P.I. = [( + )(5e + cos())] π π = 5e + cos() d = [( + )(5e + cos()) (5e + si())] π = = [(5e + cos()) + cos() si())] π = = 5π e π = 5π e π 3 (ii) Per Defiitio des ueigetliche Riemaitegrals gilt e e d = lim ε ε d. Für > gilt e =! = = =!, da alle Summade positiv sid. Somit gilt wege der Mootoie des Itegrals ε e ε d d = log(ε). ε Somit eistiert das ueigetliche Itegral aus der Aufgabestellug icht. b) Wir begie damit, die erweiterte Matri (A α b c) so weit wie möglich umzuforme, ohe spezielle Werte für α eizusetze oder auszuschließe. Es gilt α 5 + α + α + (i) Da ei Gleichugssystem geau da lösbar ist, we die Matri ud die erweiterte Matri deselbe Rag habe, ist dies hier für A α = b geau für α der Fall. I

7 diesem Falle forme wir weiter um. + α + α+ + ( ) + α+ α+ α+ 7 5 (α+) α+ α+ + ( ) ( ) Der Vektor rechts ist u die eideutige Lösug des Gleichugssystems. Soll dieser drei gleiche Eiträge habe, muss isbesodere der zweite mit dem dritte Eitrag übereistimme, also α + = α + = α + α = 5. Setze wir α = 5 i de Vektor ei, sehe wir, dass sich tatsächlich der Vektor (,,) ergibt. (ii) Mit der Umformug vom Begi ud α = forme wir A = c weiter um. + ( ) 5 7 ( ) Mit dem ( )-Trick bzw. dem Aufstelle der sich ergebede Gleichuge erhalte wir schließlich de Lösugsraum vo A = c mit { 7 5 } + t, t R. 7