Lösungen zur Nachklausur zur Analysis einer Variablen F. Merkl

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1 Lösuge zur Nachlausur zur Aalysis eier Variable F. Merl Die folgede Teilaufgabe baue teilweise aufeiader auf. Sie dürfe die Ergebisse vorhergeheder Teilaufgabe auch da verwede, we Sie diese icht gelöst habe. (a Es seie R ud N. Defiiere Sie im utestehede Feld de Biomialoeffiziete (. Sie dürfe dabei eie Defiitio mit eier eizige Formel oder alterativ eie Reursiosvorschrift agebe. Defiitio vo ( : ( :=! ( +. Alterativ reursiv: Reursiosafag: ( ( :=, Reursiosschritt: ( + := ( + oder leicht variiert auch: + := ( + für N. (b Beweise Sie im utestehede Feld die folgede Formel für alle N : ( ( = (4 ( Beweis der Formel (: Vollstädige Idutio über. Idutiosafag, = : ( ( = = (4 Idutiosvoraussetzug: Es sei N gegebe, ud es gelte die Formel ( für dieses. Idutiosschritt: Zu zeige ist: ( ( ( + = ( Hierzu reche wir: ( + ( + = [( + + ] + ( +! = + ( + ( + [( + + ] ( +! + = 4( + + = 4( + + Das war zu zeige.! ( =3 [ l + ] (geürzt, Ideshift = l + l= (ochmal Def. des Biomialoeffiziete (Def. des Biomialoeffiziete (Fatore zu =, abgespalte, Fator zu = + erweitert = 4( + ( + (4 (I.V. verwedet = (4 + ( + ( = (4 + (Reursiosgleichug für Biomialoeffiziete verwedet + (c Beweise Sie im utestehede Feld, dass die Potezreihe f(z = = ( z ( für alle z C mit z < 4 i C overgiert. Der Kovergezradius der biomische Reihe soll bei diesem Beweis icht als beat vorausgesetzt werde.

2 Beweis: Es gilt für N ach der biomische Formel also für z < 4 : ( = ( ( = ( + = 4 z (4 z Die Potezreihe f(z wird also durch die wege 4 z < i R overgete geometrische Reihe (4 z = majorisiert ud ist daher selbst i C overget. Alterative: Für N gilt ach der Rechug i (a: also für z < /4: ( ( + = 4( ( 4( + + ( = 4 ( ( ( + z + 4 z + z. Wege 4 z < (gleichmäßig i overgiert die Potezreihe für f(z daher ach dem Quotieteriterium. (d Gebe Sie die Formel für die biomische Reihe a. Quatifiziere Sie auch alle dari frei vorommede Variable. Gemeit ist die uedliche biomische Reihe, icht die biomische Formel. Biomische Reihe: ( + s = = ( s für < < ud s C. (e Welche Wert besitzt die Potezreihe f(z aus Formel ( i Teilaufgabe (c für z R mit z < 4? Schreibe Sie die Atwort i möglichst vereifachter Form i das folgede Feld. Bei dieser Teilaufgabe ist eie Begrüdug verlagt. (, f(z = ( 4z / für z R mit z < 4 (3 (f Formuliere Sie im utestehede Feld de Satz vo der mootoe Kovergez für Reihe. Satz vo der mootoe Kovergez für Reihe: Es sei (a (i,i N eie Doppelfolge i [, + ], so daß für alle i N die Folge (a (i N mooto steigt. Da folgt lim a (i = lim, (4 i= wobei die Grezwerte i [, + ] zu verstehe sid. a(i i= (g Welche Wert i R {+, } besitzt die folgede Reihe? A := Schreibe Sie de Wert i möglichst vereifachter Form i das folgede Feld: Beweise Sie Ihre Atwort im folgede Feld: = ( 4 (5 A = + (6 Beweis der Formel (6: Wir wähle irgedeie moto steigede Folge (z N mit Werte i [, 4 [ mit lim z = 4, zum

3 Beispiel z = 4 (. Da ist für jedes N die Folge (( z mooto steiged mit ichtegative Werte ud gege ( N 4 overget. Aus dem Satz vo der mootoe Kovergez ud Formel (3 folgt: A = lim = ( z = lim = da 4z für ud / + für. ( z = lim ( 4z / = +,. Es sei (f N eie Folge vo Abbilduge f : R R ud f : R R eie weitere Abbildug. Es gelte: R ε > m N m : f ( f( < ε (7 (a Mit welchem mathematische Begriff wird die Aussage (7 beat? Schreibe Sie die Atwort i das folgede Feld: Aussage (7 : f overgiert für putweise gege f. (b Beweise Sie im utestehede Feld: Erfüllt die Folge (f N die Aussage ε > δ > N R y R : [ y < δ f ( f (y < ε] (8 ud gilt die Aussage (7, so folgt: ε > δ > R y R : [ y < δ f( f(y < ε] (9 Achte Sie beim Beweis besoders auf eie logisch orrete Darstellug, isbesodere auf de orrete Umgag mit Quatore ud die Eiführug freier Variable i der richtige Reihefolge. Beweis der Impliatio Aussage (8 Aussage (7 Aussage (9 : Wir ehme die Aussage (8 ud (7 a. Nu sei ε > gegebe. Wir wähle zu ɛ Verwedug der Aahme (8 ei δ >, so dass gilt: N R y R : [ y < δ f ( f (y < ε 3 ] = ɛ/3 uter (A Nu seie, y R mit y < δ gegebe. Zu zeige ist u: f( f(y < ε Wir wähle zu ud ɛ = ɛ/3 uter Verwedug der Aahme (7 ei m N, so dass gilt: m : f ( f( < ε 3 (A Ebeso wähle wir zu y ud ɛ = ɛ/3 uter Verwedug der Aahme (7 ei m y N, so dass gilt: m y : f (y f(y < ε 3 (Ay Nu setze wir = ma{, y } N. Wege Aussage (A ud y < δ schließe wir ud mit de Aussage (A ud (Ay schließe wir f ( f (y < ε 3, f ( f( < ε 3 ud f (y f(y < ε 3. Mit der Dreiecsugleichug folgt die Behauptug: f( f(y f ( f( + f ( f (y + f (y f(y < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε

4 (c Mit welchem mathematische Begriff wird die Aussage (9 beat? Schreibe Sie die Atwort i das folgede Feld: Aussage (9 : f ist gleichmäßig stetig 3. 3(a Formuliere Sie im utestehede Feld eie Versio des Haupsatzes der Differetial- ud Itegralrechug. Dazu gehört auch die Darstellug der Voraussetzuge des Satzes. Hauptsatz der Differetial- ud Itegralrechug: Erste Versio: Es sei f : [a, b] R stetig. Da ist F : [a, b] R, F ( = a f(t dt differezierbar (eiseitig differezierbar am Rad ud es gilt F = f. Alterative: Zweite Versio: Es sei F : [a, b] R stetig differezierbar, d.h differezierbar mit stetiger Ableitug (eiseitig differezierbar am Rad. Da gilt: 3(b Bereche Sie b a F ( d = F (b F (a. f( := d ep( dt d ep( log t ( für >. Schreibe Sie das Ergebis ohe Itegralzeiche i möglichst vereifachter Form i das folgede Feld: f( = e e Begrüde Sie Ihr Ergebis ( im folgede Feld: Es sei F :], + [ R eie Stammfutio vo / log t, t >. Isbesodere gilt F (t = / log t. Nach dem Hauptsatz (zweite Versio gilt für R: ud daher ep( ep( dt log t = F (e F (e ( d ep( d ep( dt log t = F (e de d F (e de d = e log e e log e = e e 4. 4(a Stelle Sie si für R im folgede Feld ( als Liearombiatio i C vo Werte der omplee Epoetialfutio dar. si = ei e i i ( 4(b Es sei Z. Es bezeiche i die imagiäre Eiheit i C. Welche Wert besitzt das Itegral i der achfolgede Formel (3? Schreibe Sie die Atwort soweit wie möglich vereifacht i die Atwortfelder i Formel (3. Uterscheide Sie dabei zwei Fälle. ep(i d = { π, falls =, falls Z \ {}. (3 Es ist eie Begrüdug zu Formel (3 verlagt. Platz für Rechuge zu Formel (3:

5 Begrüdug vo Formel (3 (icht verlagt:. Fall: =. Hier ist der Itegrad ostat gleich, ud es folgt ep(i d =. Fall: Z \. Hier gilt [ ep(i ep(i d = i ] π = d = π. = ep(πi i = i =. 4(c Es sei eie ugerade atürliche Zahl. Welche Wert besitzt das Itegral i der achfolgede Formel (4? Schreibe Sie die Atwort soweit wie möglich vereifacht i das Atwortfeld i Formel (4. si( si d = π (4 Hiweis: Es ist hier zwecmäßig, de Sius mit der omplee Epoetialfutio darzustelle ud da de Itegrade mit eier geometrische Summe auszudrüce. Begrüde Sie Ihr Ergebis i Formel (4 im folgede Feld: Begrüdug vo Formel (4: Es gilt für < < π: Es folgt: si( si = ei e i e i e i = e i( ei e i = ei( e i = = e i(+ = si( si d = e i(+ d = = = e i(+ d = π {+=} = π, wobei wir Formel (3 verwedet habe, sowie die Tatsache, dass für geau ei {,..., } gilt: + =, weil eie ugerade atürliche Zahl ist. 5. 5(a Es sei f : I R eie beliebig oft differezierbare Futio, defiiert auf eiem offee Itervall I. Weiter seie, y I ud m N gegebe. Formuliere Sie im utestehede Feld (5 die Taylorformel für f(y bei Etwiclug um die Stelle bis zur Ordug m. Gebe Sie auch im Feld (6 eie quatitative Darstellug des zugehörige Restglieds a. Ladausymbole gelte hier icht als quatitative, soder ur als qualitative Darstellug. Taylorformel: quatitative Restglieddarstellug: R m, f(y = f(y = y für ei geeigetes ξ zwische ud y. 5(b Beweise Sie im utestehede Feld, dass für alle N gilt: m = = f ( ( (y + R m, f(y (5! f (m+ (t (y t m dt = f (m+ (ξ m! (m +! (y m+ (6 log( + + log (7 Hiweis: Es wird empfohle, die Logarithmusfutio mit der Taylorformel um die Stelle = bis zur Ordug m = zu etwicel, a der Stelle y = + auszuwerte ud das Restglied abzuschätze. Beweis der Formel (7: Für f(y = log y, y > folgt: f (y = /y, f (y = /y ud daher mit der Taylorformel für, y > : log y = log + y (y ξ

6 mit geeigetem ξ zwische y ud. Im Spezialfall y = +, = folgt: für geeigetes ξ [, + ]. Aders geschriebe: Nu gilt für solch ei ξ [, + ]: also die Behauptug (7. log( + = log + ξ ξ = log( + + log ξ, 5(c Beweise Sie im utestehede Feld, dass die durch C := log( + + (8 defiierte Folge (C N i R overgiert. Hiweis: Es ist sivoll, hier die Formel (7 zu verwede. Kovergezbeweis: Gegebe N, schreibe wir log( + i der folgede Form: Es folgt: log( + = log( + + log = C = [ log( + + log ]. [ log( + + log ] (9 Der -te Summad i dieser Summe ist ach Formel (7 ichtegativ ud durch Isbesodere majorisiert die i R overgete Reihe beschrät. die Reihe ζ( = < = [ log( + + log ]. Die letzte Reihe overgiert daher ebefalls i R. Wege Formel (9 bedeutet das geau die Kovergez der Folge (C N i R.