1 Aussagenlogik und vollständige Induktion
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- Hildegard Steinmann
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1 Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS Aussagelogi ud vollstädige Idutio Die Mathemati basiert auf eier Reihe vo Axiome, d.h. auf mathematische Aussage, die als (offesichtlich? wahr ageomme werde, aus dee da mit Hilfe logischer Verüpfuge weitere Aussage als wahr erat werde. Beweise! Da eie geaue Darstellug der Axiome sehr aufwedig ist (dies wird vermutlich im. Semester im Modul LLogische Grudlageachgeholt, wolle wir us hier auf Aussage stütze die etwa aus dem Schuluterricht beat sid, ud diese we ötig ergäze. Was ist ei mathematischer Beweis? Sei B eie mathematische Aussage (wie etwa > 1 oder / Q. Wir wolle beweise, dass B wahr ist. Eie Aussage macht also ur Si, we ma die Frage ach wahr oder uwahr sivoll stelle a! Zum Beweis vo B fide eie bereichts als wahr erate Aussage A ud zeige A B (Aus A folgt B.Oft geligt dies icht i eiem Schritt, soder wir zeige eie Kette vo Folgeruge: A 1 A A 3... A l B Die Aussage A 1, A,... sid hier bei i der Regel logische Verüpfuge eier Vielzahl aderer Aussage. Wichtig: Eie Mathematische Aussage ist etweder wahr oder uwahr (iemals beides. Defiitio 1.1 (Verüpfuge vo Aussage, VB 1 Seie A, B Aussage. Wir defiiere: a Ud: A B ist wahr, geau da, we beide Aussage A ud B wahr sid. b Oder: A B ist wahr, geau da, we midestes eie der Aussage A, B wahr ist (also auch, we A ud B wahr ist. c Nicht: A ist wahr, geau da, we A icht wahr ist. d Folgt: A B ist wahr, geau da, we midestes eie der Aussage A B, A wahr ist (also A B wahr, geau da, we (A B ( A. 1 VB: wichtiges für das Voabelbuch 4 getext: Julia Wolters
2 Vorlesug WS Aalysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff e Äquivalez: A B ist geau da wahr, we A ud B beide wahr oder uwahr sid ( ist somit gleich bedeuted mit gdw. Es gilt: (A B [(A B (B A] [(A B ( A B] Die Verüfuge,,,,, lasse sich auch gut i eier Wahrheitstabelle veraschauliche: A B A B A B A B A B A w w w w w w f w f f w f f f f w f w w f w f f f f w w w Wir werde später fast ie die Zeiche,, beutze, soder fast immer die etsprechede Worte ud, oder ud icht. Wir beötige auch Versioe vo ud ud oder für Systeme vo Aussage. Defiitio 1. (VB Sei {A i i I} ei System vo Aussage (I ist beliebige Idexmege. Wir setze a Für alle: Die Aussage [ i I gilt A i ] ist wahr gdw alle Aussage A i wahr sid. b Es gibt: Die Aussage [ i I mit A i ] ist wahr gdw midestes eie der Aussage A i wahr ist. Beachte: ist eie Form für für viele Aussage ud ist Form für für viele Aussage! Oft fidet ma auch die Quatore A i ( i I gilt A i bzw. i I A i ( i I mit A i. i I Ich beutze dieses aber fast ie! Allei aus der Defiitio vo, etc. a ma scho eue Aussage bastel, z.b. A B A B ud (A B (A B Aus der Defiitio der Zeiche folgt, dass diese wahr sid. Ebeso gelte: A (B C (A B (A C geau da we getext: Julia Wolters 5
3 Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS ud A (B C (A B (A C Beachte:, habe Vorrag vor ud!. Wir überprüfe z.b. die erste dieser Aussage mit Hilfe eier Wahrheitstafel: A B C A C A C B C A (B C (A B (A C w w w w w w w w w w f w f w w w w f w f w w w w w f f f f f f f f w w f f f f f f w f f f f f f f f w f f w f f f f f f f f f f Aus de letzte beide Spalte folgt also, dass A (B C geau da wahr ist, we auch (A B (A C wahr ist. Im Allgemeie sid die zu beweisede Aussage wesetlich omplexer ud icht mit Wahrheitstafel zu beweise! Wir wolle u ei erste Beispiel gebe: Beispiel 1.3 Sei N {1,, 3...} die Mege der atürliche Zahle. Für m, N sage wir > m, falls ei N existiert mit m +. Wir behaupte u die folgede Aussage: Sid, ml, r N, so gelte a Gilt > l ud m > r, so folgt + m > l + r, [d.h., m, l, r N gilt ( > l (m > r m + > l + r] b Gilt > l ud m > r, so folgt m > l r, [d.h., m, l, r N gilt ( > l (m > r m > l r] Beweis: a Da > l ud m > r folgt ach Defiitio für >, dass 1, N existiert mit l + 1, m r +. Aus de Recheregel i N folgt hieraus: + m (l (r + Assoziativgesetz, Kommuitativgesetz für + i N (l + r + ( 1 + (l + r + mit 1 + N Nach Defiitio für > folgt also + m > l + r. De Beweis vo b lasse wir als eifache Übugsaufgabe. 6 getext: Julia Wolters
4 Vorlesug WS Aalysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff Frage: Aus welche wahre Aussage habe wir us im obige Beispiel gestüzt? 1.4 (Methode des idirete Beweises (VB Sei wieder B eie Aussage, die wir beweise wolle. Beim idirete Beweis suche wir eie uwahre Aussage A ud zeige, dass die Aussage B A wahr ist. We dies geligt, so ist B eie wahre Aussage, da wir habe die Äquivalez ( B A ( A B ud ach Voraussetzug ist A eie wahre Aussage! [ Beweis vo ( B A ( A B durch Wahrheitstafel : A B A B B A A B w w f f w w w f f w w w f w w f w w f f w w f f Beispiel 1.5 (Pythagoras Erierug: ratioale Zahle, ud solche, die ma als Bruch mit Z, m N schreibe a. Wir schreibe Q für die Mege aller ratioale Zahle. m Behauptug: Es gilt die Aussage B : [ / Q ] (i Worte: ist eie ratioale Zahl. Wir ehme a, dass B wahr ist, also Q. Da existiert Z, m N mit. Wir wolle zeige, dass hieraus eie uwahre Aussage folgt! m Ist, so öe wir durch Kürze des Bruches erreiche, dass oder m ugerade m ist. Da folgt: ( ( m m Hieraus folgt: m. Isbesodere folgt gerade, ud da Produte zweiser ugerader Zahle wieder ugerade sid, muss auch gerade sei, d.h. es existiert ei l Z \ {0} mit l. Es folgt 4l m, also m l ud wie obe folgt, dass auch m gerade ist. Wir habe gezeigt: Q m N mit m gerade m ugerade }{{} Diese Aussage ist icht wahr! getext: Julia Wolters 7
5 Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS Für die Durchführug idireter Beweise ist es wichtig, Aussage orret zu vereie. Hier eiige Grudregel: Lemma 1.6 Es gelte a (A B A B b (A B A B c ( i I gilt A i i I mit A i d ( i I mit A i i I gilt A i Diese Regel folge leicht aus de Defiitioe! Beispiel 1.7 Sei (a eie Folge i R. Nach Defiitio heißt (a overget, falls gilt: Es existiert ei a R, so dass für alle 0ε R ei N N existiert mit a a < ε N. Wir wolle die Aussage (a ist overget orret vereie, d.h. wir wolle eie brauchbare Aussage fide, die zur Aussage [(a ist icht overget] äquivalet ist. Dazu formuliere wir zuächst die Defiitio vo Kovergez vo (a mit Hilfe vo ud, um da die Rege aus 1.6 azuwede: Es gilt: (a ist overget a R mit ( 0 < ε R gilt ( N N mit ( N gilt a a < ε Nach Regel c ud d i Lemma 1.6 gilt da: (a ist icht overget a R gilt ( 0 < ε R mit ( N N gilt ( N mit a a < ε I Worte: Für alle a R exisitert ei ε > 0, so dass für alle N N ei N existiert mit a a ε. Das richtige Vereie mathematischer Aussage ist icht immer leicht! Häufig gemachter Fehler: Die Vereiug eier Aussage wird mit dem Gegeteil eier Aussage gleichgesetzt. Beispiel: Sei A die Aussage: Alle Mesche öe fliege. Eie solche Aussage wird häufig vereit durch (Alle Mesche öe icht fliege. Nach 1.6 c ist die richtige Vereiug aber: Es gibt (midestes eie Mesche, der icht fliege a. Wir omme u zu eiem wichtige Beweisprizip, das us machmal erlaubt, uedlich viele Aussage gleichzeitig zu beweise. Wir setzte voraus, dass die atürliche Zahle N {1,, 3...} ud N 0 N {0} ud die Recheregel auf N beat sid. Wichtigste 8 getext: Julia Wolters
6 Vorlesug WS Aalysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff Eigeschaft vo N ist, dass für jede Zahl N geau ei Nachfolger + 1 N existiert, ud we wir mit 1 starte, so durchlaufe wir mit 1,, 3,...,, + 1,... jede atürliche Zahl geau eimal (Peao Axiom. 1.8 (Prizip der vollstädige Idutio Für alle N sei A eie Aussage. Ferer gelte: I1 (Idutiosafag A 1 ist wahr I (Idutiosschluss Für alle N gilt: A A +1 Da ist jede der Aussage A wahr. Die Idee ist atürliche lar: Um zu sehe, dass A wahr ist, betrachte wir die Schlussette A 1 A... A 1 A Da A 1 wahr ist, ud da mit I alle Pfeile wahr sid, ist da auch A wahr. Beispiel 1.9 Sid 1,... l Zahle, so setze wir ( + 1 i also i i i1 (: A Beweis durch vollstädige Idutio: I1 1 : 1 i1 1 (1 + 1 i 1, also ist A 1 wahr. I Wir zeige für alle N : A A +1. Sei also fest gewählt ud A sei wahr (ist A icht wahr, so ist ichts zu zeige. da da die Aussage A A +1 immer wahr ist!. Da folgt: +1 i1 A wahr ( i + ( + 1 i1 ( ( + 1 ( ( + 1 ( + 1 ( + ( + 1 (( getext: Julia Wolters 9
7 Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS d.h. die Aussage A +1 ist auch wahr! Damit ist der Schritt A A +1 N bewiese! I1 I Formel gilt für alle N! Bemerug: Die Aahme A ist wahr im Schritt I et ma auch Idutiosaahme! Es ist aürlich im Beweis stehts zu ezeiche, wo die Aahme eigeht! 1.10 (Wichtig! Das Prizip der vollstädige Idutio futioiert auch, we ei 0 Z ud Aussage A 0, A 0 +1, A 0 +,... habe. Da müsse wir zeige: I1 A 0 ist wahr. I 0 gilt: A A +1, wir erhalte da die Schlussette A 0 A A 1 A... Beispiel 1.11 (Geometrische Summe, VB Für eie beliebiege (reelle Zahl x ud N 0 setzte x 0 : 1 ud x : x...x }{{} -mal Da gilt für alle N 0 ud für alle 1 x R: x i 1 x+1 1 x i0 Beweis durch vollstädige Idutio: I1 0 : 0 i0 xi x 0 def 1 ud 1 x0+1 1 x 1 x 1 x 1 I + 1: Sei 0 gegebe ud die Formel sei wahr für. Da folgt für + 1: ( +1 x i x i + x +1 i0 also folgt die Aussage für + 1! Aahme i0 1 x +1 1 x + x+1 1 x +1 + (1 x x x+1 1 x 1 x +1 + x x+1 x x+ 1 x x+ 1 x 1 x 10 getext: Julia Wolters
8 Vorlesug WS Aalysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 1.1 Das Idutiosprizip wird oft auch für sogeate reursive Defiitioe geutzt, um z.b. so etwas wie x : x...x }{{} zu vermeide! mal Beispiel: Wir defiiere x 0 : 1, ud ist x bereits defiiert für 0, so defiiere wir x (x x. Beispiel: Wir defiiere 0! : 1 ud ist! für N 0 bereits defiiert, so setzte wir ( + 1! ( + 1!! Defiitio 1.13 (Biomialoeffiziet Für, N 0 setzte (!, falls!(! ud ( ( : 0, falls >. Die Zahle heiße Biomialeoffiziete. Beachte: Sid 1, so gilt ( ( 1...( + 1 ( Lemma 1.14 (Pascalsche Dreiec Für alle 1 gilt ( ( 1 ( Dies bedeutet, dass die Biomialoeffiziete im sogeate Pascalsche Dreiec ageordet werde öe: Es gilt immer: ( ( 0 1 Beweis: Ist, so liefert Eisetzte auf beide Seite: (! 1 ud ( 1 (!0! Sei also 1. Da gilt: ( 1 1 ( 1 + ( 1! ( 1!(! + ( 1!!( 1! ( ( 1!!(!!!(! 1 + ( 1! + ( ( 1!( 1! getext: Julia Wolters 11
9 Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS Satz 1.15 (Biomische Formel Für alle x, y R ud N 0 gilt: (x + y 0 ( x y Beweis durch vollstädige Idutio ach : I1 0 : (x + y 0 1 ud 0 ( 0 0 x y 0 ( 0 0 x 0 y 0 1. I Die Formel sei wahr für gegebee 0. Da folgt daraus (x + y +1 (x + y (x + y ( ( x y (x + y Aahme 0 ( ( x +1 y + x y ( ( x y +1 + x y +1 Idex i erster Summe um eie Stelle verschobe 1.14 Also gilt die Formel für ( x +1 y 0 + x [( + 1 x y + y +1 ( ( + 1 ( + 1 x +1 y ( + 1 x y +1 0 ( ] x y +1 + x y +1 + ( 0 x 0 y +1 0 ( x 0 y getext: Julia Wolters
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Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik
Lösungen der Übungsaufgaben II
Mathemati für die erste Semester (. Auflage): Lösuge der Übugsaufgabe II C. Zerbe, E. Osser, W. Müceheim 7 0 49 4. Ma bereche die Biomialoeffiziete,,,. 8 7 7! 74 7!(7 )! 4 0 49 ; 4; 98 8 8 4. Ma beweise
Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dr. T. Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge
Nennenswertes zur Stetigkeit
Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit
Mathematische Randbemerkungen 1. Binomialkoeffizienten
Mathematische Radbemeruge Biomialoeffiiete Der biomische Lehrsat ist eies der etrale Resultate der Aalysis I meier Vorlesug über Differetial- ud Itegralrechug habe ich ih daher gleich u Begi ausführlich
Kapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
- 18 - (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) Kapitel 3: Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit Wird bei der Durchführug eies stochastische Experimets bekat, daß ei Ereigis A eigetrete
Perkolation (WS 2014) Übungsblatt 2
Istitut für Stochasti Prof. Dr. G. Last Dipl.-Math. S. Ziesche Perolatio WS 04 Übugsblatt Aufgabe Zeige Sie für T, dass θ 0 p ud χ 0 p stetig auf [0, ] sid, we ma als Wertebereich R + { } zulässt. Lösug:
Kapitel 4: Stationäre Prozesse
Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud
6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum
Irrationalität und Transzendenz. 1 Algebraische Zahlen
Vortrag im Rahme des Prosemiars zur Aalysis, 12.6.26 Marti Woitalla Der Vortrag beschäftigt sich mit dem Thema, welche Zahle als Lösug eies Polyoms i Q[X] auftrete öe. Außer de ratioale Zahle x a =, a
AUFGABEN. Verständnisfragen
AUFGABEN Gelegetlich ethalte die Aufgabe mehr Agabe, als für die Lösug erforderlich sid. Bei eiige adere dagege werde Date aus dem Allgemeiwisse, aus adere Quelle oder sivolle Schätzuge beötigt. eifache
Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09
Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht
4-1 Elementare Zahlentheorie
4-1 Elemetare Zahletheorie 4. Dirichlet s Satz über Primzahle i arithmetische Progressioe. Satz (Dirichlet 1837). Seie a, k atürliche Zahle. Sid die Zahle a, k teilerfremd, so gibt es uedlich viele Primzahle
Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37
Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.
Beweistechniken Vollständige Induktion - Beispiele, Erweiterungen und Übungen
Beweistechike Vollstädige Iduktio - Beispiele, Erweiteruge ud Übuge Alex Chmelitzki 15. März 005 1 Starke Iduktio Eie etwas abgewadelte Form der Iduktio ist die sogeate starke Iduktio. Bei dieser Spielart
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
4. Der Weierstraßsche Approximationssatz
H.J. Oberle Approximatio WS 213/14 4. Der Weierstraßsche Approximatiossatz Wir gebe i diesem Abschitt eie ostrutive Beweis des Weierstraßsche Approximatiossatzes, der mit de so geate Berstei-Polyome (Felix
ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 00 PROF. DR. AMILLO DE LELLIS Aufgabe. Etscheide Sie für folgede Folge (wobei N \ {0}), ob diese koverget sid, ud bereche sie gegebeefalls ihre
Bernsteinpolynome Vortrag zum Proseminar zur Analysis, Malte Milatz
Bersteipolyome Vortrag zum Prosemiar zur Aalysis, 6. 10. 2010 Malte Milatz I diesem Vortrag wird der bereits im Sript zur Aalysis ii zitierte Approximatiossatz vo Weierstraß mithilfe der Bersteipolyome
6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
n=0 f(x) = log(1 + x) = n=1
Potez - Reihe Machmal ist es praktisch eie Fuktio f() mir Hilfe ihrer Potezreihe auszudrücke. Eie Potezreihe um de Etwicklugspukt 0 sieht im Allgemeie so aus a ( 0 ) Fuktioe, für die eie Potezreihe eistiert,
3 Die natürlichen Zahlen
3 Die atürliche Zahle Die atürliche Zahle hat der liebe Gott gemacht, alles adere ist Meschewer L Kroecer 1 1 Axiome für die atürliche Zahle Die atürliche Zahle a ma als eie Mege mit bestimmte Eigeschafte
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I
Aufgabe ud Lösuge Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 2008/2009 Übug am 09.2.2008 Übug 8 Eileitug Es soll och eimal auf die agebotee Sprechstude higewiese werde, sowie auf mögliche
Aufgaben zur vollständigen Induktion
c 7 by Raier Müller - Aufgabe zur vollstädige Idutio We ichts aderes agegebe ist, da gelte die Behauptuge für IN {; ; ;...}. A) Teilbareit: ) ist gerade (d.h. durch teilbar). ) ist durch teilbar. ) ist
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,
Einige wichtige Ungleichungen
Eiige wichtige Ugleichuge Has-Gert Gräbe, Leipzig http://www.iformatik.ui-leipzig.de/~graebe 1. Februar 1997 Ziel dieser kurze Note ist es, eiige wichtige Ugleichuge, die i verschiedee Olympiadeaufgabe
Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik
Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog M. Sc. Adreas Hirsch WS 204/5 24.0.204 Höhere Mathematik I (Aalysis) für die Fachrichtug Iformatik Lösugsvorschlag
Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach!
Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarlad.de Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud
4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat
O. Forster: Eiführug i die Zahletheorie 4. Die Mege der Primzahle. Bertrads Postulat 4.1. Satz (Euklid. Es gibt uedlich viele Primzahle. Beweis. Wir zeige, dass es zu jeder edliche Mege p 1, p 2,..., p
Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen
. Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.
1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.
1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio:
Übungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 12/13) Serie 10
Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Mathematik Prof. A. Griewak Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jase Übugsaufgabe zur Vorlesug ANALYSIS I (WS 2/3) Serie 0 Musterlösug S.
Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln
6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel
Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.
Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c
Zahlenlehre 1. Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik (Carl Friedrich Gauß)
Die Mathematik ist die Köigi der Wisseschafte ud die Zahletheorie ist die Köigi der Mathematik (Carl Friedrich Gauß) Zahlelehre. Termi, Wie 04 Mag. a Dagmar Kerschbaumer Letzter Termi Eiführug i die Zahletheorie
1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch
Ma zeige, daß IR, d i ), i,, metrische Räume sid, we für x x,, x ), y y,, y ) IR die Abstadsfuktioe durch d x, y) x y, d x, y) x y ), d x, y) max x y gegebe sid Lösug: Ma muß für alle drei Fuktio d i x,
Folgen und Reihen. 23. Mai 2002
Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2
Kreisabbildungen. S 1 f S 1. Beispiele: (1) f = id, F = id,
Kreisabbilduge Im Folgede sehe wir us eie gaz spezielle Klasse vo dyamische Systeme a: Abbilduge auf dem Kreis. Diese sid eifach geug, so dass wir sie och recht leicht aalysiere köe, habe aber adererseits
Grundkurs Mathematik II
Prof. Dr. H. Breer Osabrück SS 2017 Grudkurs Mathematik II Vorlesug 48 Itervallschachteluge Eie weitere Möglichkeit, reelle Zahle zu beschreibe, eizuführe, zu approximiere ud recherisch zu hadhabe, wird
Normierte Vektorräume
Normierte Vektorräume Wir betrachte im Folgede ur Vektorräume über R 1. Sei also V ei Vektorraum. Wir möchte Metrike auf V betrachte, die im folgede Sie mit der Vektorraumstruktur verträglich sid:, y,
5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge
Fundamentale Prinzipien der Kombinatorik und elementare Abzählkoeffizienten Wolfram Koepf
Fudametale Prizipie der Kombiatori ud elemetare Abzähloeffiziete Wolfram Koepf Die abzählede Kombiatori beschäftigt sich vor allem mit der Auswahl eier Teilmege, die ma häufig eie Stichprobe et (aus Wahrscheilicheitsrechug
5 Folgen. 5.1 Konvergenz von Folgen. Definition: Zu jedem 0 existiert ein N so, daß. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt
Prof. Dr. Berd Dreseler 5 Folge 5.1 Kovergez vo Folge Defiitio: Eie Folge a heißt koverge t, we es eie Zahl a mit folgeder Eigeschaft gibt: Zu jedem 0 existiert ei N so, daß a a für alle > N Die Zahl a
5 Stationäre Prozesse (Version Januar 2012)
5 Statioäre Prozesse (Versio Jauar 2012) 5.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud defiiere, wa eie
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg bei der Klausur.
Klausur zur Vorlesug Aalysis I Bo, de. Februar 009 Prof. Dr. W. Müller Dr. A. Wotze Nachame, Vorame: Matrielummer: Nummer der Übugsgruppe: A Drehe Sie diese Zettel bitte erst auf Aufforderug um. Sollte
Kombinatorik und Polynommultiplikation
Kombiatorik ud Polyommultiplikatio 3 Vorträge für Schüler SS 2004 W Pleske RWTH Aache, Lehrstuhl B für Mathematik 3 Eiige Zählprizipie ud Ausblicke Wir habe bislag gesehe, was die Multiomialkoeffiziete
Aufgaben zur Analysis I
Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.