Skriptum zur ANALYSIS 1

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1 Skriptum zur ANALYSIS 1 Güter Lettl WS 2017/ Grudbegriffe der Megelehre ud der Logik 1.1 Naive Megelehre [Sch-St 4.1] Defiitio eier Mege ach Georg Cator ( ):,,Eie Mege M ist eie Zusammefassug bestimmter, wohluterschiedeer Objekte userer Aschauug oder useres Dekes (welche die Elemete vo M geat werde) zu eiem Gaze. Ist M eie Mege ud a ei Objekt, so gilt etweder a M (,,a ist Elemet vo M,,,a liegt i M ) oder a / M (,,a ist kei Elemet vo M,,,a gehört icht zu M ). Relatioe zwische Mege: M ud N seie beliebige Mege. Gleichheit: M = N M ud N heiße gleich geau da, we sie dieselbe Elemete ethalte. M N M ud N sid icht gleich. Teilmege: M N M ist eie Teilmege vo N (ist i N ethalte) geau da, we jedes Elemet vo M auch zu N gehört. (adere Notatioe: M N, M N) M N M ist eie echte Teilmege vo N geau da, we M N ud M N erfüllt sid. M N M ist keie Teilmege vo N (adere Notatioe: M N). Operatioe mit Mege: M ud N seie beliebige Mege. Der Durchschitt vo M ud N, M N, ist die Mege, die aus geau jee Elemete besteht, die sowohl zu M als auch zu N gehöre. M ud N heiße (zueiader) disjukt (oder: elemetfremd), we M N = gilt. Die Vereiigug vo M ud N, M N, ist die Mege, die aus geau jee Objekte besteht, die Elemete vo M oder vo N (oder vo beide) sid. Die Differez vo M ud N, M \ N, ist die Mege derjeiger Elemete vo M, welche icht zu N gehöre. 1

2 2 Das (kartesische) Produkt (oder die Produktmege) vo M ud N, M N besitzt als Elemete geau alle geordete Paare (a, b), für welche a M ud b N gilt. M N = {(a, b) a M ud b N}. Beispiel 1: a) Lese Sie ach, wie i Ihrem Mittelschullehrbuch (9. Schulstufe) der Begriff der Mege ud die Megeoperatioe eigeführt wurde. Löse Sie eiige Beispiele zu diesem Thema. b) Überlege Sie sich, dass folgede 3 Mege gleich sid: {3, 1, 3, 2, 2, 1, 1}, {1, 2, 3}, {x N 2x < 7}. Beispiel 2: Wie viele Elemete besitze die folgede Mege, welche dieser Mege sid gleich, welche sid Teilmege eier adere? {1, 2, 3}, {2, 2, 1, 3, 2}, {1, 2, {3}}, {1, {1}}, {1, 1}, {1, {1}, {1, 1}}. Hiweis: Die Mege {1, {2, 3}} hat geau 2 Elemete, ämlich die Zahl 1 ud die Mege {2, 3}. Beispiel 3: a) Gebe Sie für M = {1, 2, 3, 4} ud N = {a, b} die Produktmege M N a! Gilt M N = N M? b) Gebe Sie kokrete Beispiele für Mege M ud N a, sodass M \ N N \ M bzw. M N = N gelte. Defiitio 1. Es sei M eie beliebige Mege. a) Ethält M kei Elemet, so heißt M,,die leere Mege. Schreibweise: M = {} =. b) Für eie Mege M heißt P(M) = {A A M} die Potezmege vo M (= die Mege aller Teilmege vo M). Satz 1. a) Es gibt ur eie leere Mege. b) Für jede Mege M gilt: M. Beispiel 4: Welche der folgede Aussage sid wahr bzw. falsch bzw.,,usi (mit jeweiliger Begrüdug): {1, 3} P({1, 2, 3, 4}), {1, 3} P({1, 2, 3, 4}), {{1}, {1, 3}} P({1, 2, 3, 4}), {1, 5, 10} P(N), 17 P(N), P(N) P(Z)?

3 3 1.2 Aussagelogik ud Beweise [Sch-St ] Eie (mathematische oder logische) Aussage ist etweder wahr oder falsch. Eie (mathematische oder logische) Aussageform (oder Prädikat) ethält eie (oder mehrere) freie Variable (= Ubestimmte). Durch Eisetze kokreter Werte für die Variable etsteht aus eier Aussageform eie Aussage, die da etweder wahr oder falsch ist. Operatioe mit Aussage (= logische Verküpfuge): Für das Folgede seie A ud B (beliebige) Aussage. (1) Negatio: A (,,icht A,,,o A ) ist die Aussage, die geau da wahr ist, we A falsch ist. (2) Kojuktio: A B (,,A ud B ) ist die Aussage, die geau da wahr ist, we sowohl A als auch B wahr sid. (3) Disjuktio: A B (,,A oder B ) ist die Aussage, die geau da wahr ist, we A wahr ist oder B wahr ist (oder beide wahr sid). (4) Implikatio: A B (,,aus A folgt B, A impliziert B,,,B ist otwedig für A,,,A ist hireiched für B ) ist die Aussage, die geau da wahr ist, we A falsch ist oder B wahr ist. (5) Äquivalez: A B (,,A ud B sid (logisch) gleichwertig,,,a gilt geau da, we B gilt,,,a ist otwedig ud hireiched für B ) ist die Aussage, die geau da wahr ist, we A ud B etweder beide wahr oder beide falsch sid. Logische Quatore: Es seie M eie Mege ud A(x) eie Aussageform, die für beliebige Elemete x M (für,,die Ubestimmte x ) formuliert ist. Die Aussage x M: A(x) ist wahr geau da, we für alle Elemete x M die Aussage A(x) wahr ist. Die Aussage x M: A(x) ist wahr geau da, we es ei Elemet x M gibt, für das die Aussage A(x) wahr ist. Defiitio 2 (Megerelatioe ud -operatioe mit logische Symbole). Es seie M ud N beliebige Mege. Wir defiiere: a) (M N) def x M: x N (M = N) def ( ( x M: x N) ( x N: x M) ) ( ) (M N) (N M) b) M N = {x x M x N} M N = {x x M x N} M \ N = {x M x / N}

4 4 c) Es sei I eie ichtleere Mege, ud für jedes i I sei M i eie Mege. (Ma sagt da:,,(m i ) i I ist eie Familie vo Mege, die mit der (Idex-)Mege I idiziert ist. ) Da heiße M i = {x i I : x M i } i I die Durchschittsmege der Megefamilie (M i ) i I ud M i = {x i I : x M i } die Vereiigugsmege der Megefamilie (M i ) i I. i I Beispiel 5: a) Gegebe sid die Mege M = {1, 3} ud N = {1, 2, 3, 4}. Welche der folgede Aussage sid wahr bzw. falsch bzw.,,usi (mit jeweiliger Begrüdug)? M N, N M, M = N, M N, {2, 3} N, 2 M, 3 N, {3} M, {2} N. b) Gebe Sie M N, M N, M \ N ud N \ M a! Satz 2 (Recheregel für Megeoperatioe). Für (beliebige) Mege A, B ud C gelte die folgede Aussage: (1) Kommutativgesetze: (2) Assoziativgesetze: A B = B A A (B C) = (A B) C (3) Distributivgesetze: A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (4) De Morga sche Regel: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) Beispiel 6: Skizziere Sie die Recheregel vo Satz 2 mit Hilfe vo Ve-Diagramme. Defiitio 3. Eie Mege M heißt edlich, we es ei N 0 gibt, sodass gilt: M hat geau (verschiedee) Elemete. Wir schreibe da #M = ud ee die Elemetazahl (= Kardialität, Mächtigkeit) vo M. Ist die Mege M icht edlich, so heißt M uedlich (ud wir schreibe #M = ).

5 5 1.3 Vollstädige Iduktio ud Rekursio [Sch-St 2.5,2.3; Kö 1] Prizip der vollstädige Iduktio: Es sei 0 Z eie gaze Zahl ud N = { Z 0 }. Für jedes N sei eie Aussage A() formuliert. Sid (I1) A( 0 ) ud (I2) N : A() A( + 1) wahre Aussage, so gilt A() für alle N. Bemerkug: Statt (I2) ist auch folgede Variate erlaubt: (I2 ) N : (A( 0 ) A( 0 + 1)... A()) A( + 1). Satz 3 (Miimumprizip). Jede icht leere Teilmege A vo N 0 besitzt ei Miimum (= kleistes Elemet; d. h. m A, sodass a A : m a; Schreibweise: m = mi(a)). Rekursive Defiitio (= Kostruktio durch vollstädige Iduktio): Es sei 0 Z ud N = { Z 0 }. Um eie mathematische Begriff E() für alle N zu defiiere, geügt es: (R1) E( 0 ) zu defiiere ud (R2) N: E( + 1) mit Hilfe vo E() zu defiiere [bzw. (R2 ) N: E( + 1) mit Hilfe vo E(), E( 1),..., E( 0 ) zu defiiere]. Beispiel 7: Es sei k N. Schreibe Sie (2k) mit Hilfe des Produktsymbols, ud gebe Sie de Wert dieses Produkts mit Hilfe der,,fakultät a. Beispiel 8: Schreibe Sie k 1 k Summe gleich k k j=1 1 j? mit Hilfe des Summesymbols a. Ist diese Satz 4. Für N ist die Azahl aller mögliche Aorduge ( =,,Permutatioe ) vo verschiedee Objekte! Defiitio 4. Für, k N 0 wird der Biomialkoeffiziet ( k), sprich,, über k, defiiert durch: ( )! falls 0 k = k! ( k)!. k 0 falls < k Offesichtlich gilt für 0 k : ( ) ( k = k).

6 6 Satz 5. Für, k N 0 gilt: ( ) i) = k i + 1 ( 1)( 2)... ( k + 1) = k i=1 i k! ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 ii) = + ud N 0 k + 1 k + 1 k k iii) Eie edliche Mege M mit Elemete besitzt geau ( k) Teilmege mit k Elemete. Beispiel 9: a) Wie viele 3-elemetige Teilmege besitzt die Mege {A, B, C, D, E}? Gebe Sie alle a! b) Wie viele verschiedee Lottosechser gibt es bei,,6 aus 45? Vergleiche Sie diese Zahl mit der Eiwoherzahl Österreichs! Satz 6 (Biomischer Lehrsatz). Für (beliebige) Zahle a, b ud N gilt: (a + b) = i=0 ( ) a i b i = a + i ( ) a 1 b + 1 ( ) ( ) a 2 b ab 1 + b. 2 1 Beispiel 10: Multipliziere Sie mit Hilfe des Biomische Lehrsatzes aus: ( 1 2 2x 3 )3, (2a + 3b) 5, (4 4) 7. Korollar. a) Für N 0 gilt: i=0 ( ) = 2. i b) Ist M eie edliche Mege mit #M = N 0, so gilt #P(M) = 2.