8.3. Komplexe Zahlen

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1 8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse Elemete bezüglich der Additio zur Eiführug der egtive Zhle ud dmit zur Erweiterug uf die Mege der gze Zhle.. Auf de gze Zhle führte der Wusch ch iverse Elemete bezüglich der Multipliktio zur Eiführug der Bruchzhle ud dmit zur Erweiterug uf die Mege der rtiole Zhle. Auch der Körper der rtiole Zhle weist ber och Uvollstädigkeite uf: 8... Teile durch die Null Es gibt zum eutrle Elemet 0 der Additio kei iverses Elemet 0 der Multipliktio. Die Schwierigkeite ergebe sich drus, dss 0 uedlich groß sei müsste: 0. D die Uedlichkeit ber ziemlich ubestimmt ist, sid uch die Ergebisse beim Reche mit ubestimmt, d.h. icht mehr wohl defiiert. Z.B. erhält m us der Gleichug 0 de Widerspruch 0 (0 + 0) D wohl defiierte Rechuge mit uedlich große Zhle icht möglich sid, wird i der Körperdefiitio uch kei iverses Elemet der Null bezüglich der Multipliktio verlgt. Übuge: Aufgbe zu komplee Zhle Nr. Gibt m de Aspruch uf ekte Rechuge uf ud beschräkt sich uf (topologische) Abstdsbetrchtuge, so lässt sich der uedlich weit etferte Rd oder Abschluss der rtiole oder Zhle llerdigs ttsächlich beschreibe. Die eifchste Versio ist die Aledroff-Kompktifizierug durch Hizufügug eies eizige uedlich fere Puktes. Wege seier Ubestimmtheit k m mit diesem Pukt ber icht reche ud die Aledroff-Kompktifizierug ist uch keie Eibettug, d.h., stetige ubeschräkte Fuktioe lsse sich icht immer stetig i diese Pukt fortsetze. Die ächst bessere Beschreibug der Uedlichkeit durch die Stoe-Čech-Kompktifizierug ist ber scho so bstrkt ud beötigt so viele uedlich große Zhle, dss sie für die Aweder der Mthemtik prktisch keie Bedeutug besitzt. Außerdem sid mit de uedlich weit etferte Zhle uf dem Rd wieder keie ekte Rechuge mehr möglich: die Stoe-Čech-Kompktifizierug ist ebeflls kei Körper. Die eifchste Stoe-Čech-Kompktifizierug der türliche Zhle ht Elemete, wobei lleie scho Elemete besitzt! 8... Wurzel positiver Zhle Die rtiole Zhle sid icht lgebrisch bgeschlosse: Qudrtische Gleichuge mit rtiole Zhle hbe Lösuge mit Wurzel, die keie rtiole Zhle mehr sid. Beispiel: b Die Lösug der Gleichug ist keie rtiole Zhl. Beweis: b Gäbe es ämlich eie gekürzte Bruch mit zwei teilerfremde gze Zhle ud b, so dss b, so folgte b. Der Fktor wäre lso i ud dmit i ethlte. Wege der b Teilerfremdheit wäre er d ber icht i b ethlte. Ds Produkt ethält lso ur geu eiml de Fktor. I der Qudrtzhl müsse ber lle Fktore doppelt uftrete. Die Ahme führt lso zu eiem offesichtliche Widerspruch ud ist demch flsch. Um u doch mit Wurzel reche zu köe, gibt m de Aspruch bsoluter Ektheit uf ud versucht es äherugsweise z.b. mit dem folgede, scho de Sumerer (000 v. Chr.) bekte Verfhre:

2 Stz: Die Folge ( ) mit + ( + ) ud 0 liefert rtiole Zhle, die mit beliebiger Geuigkeit herkomme: für oder i Limesschreibweise lim. Für jede och so kleie Fehlertolerz ε > 0 gibt es ei, so dss die Abweichug < ε ist. Beweis:. Die Folge ist ch ute beschräkt: > für lle : + ( + ). biomische Formel biomische Formel ( ) > 0 D dies für lle gilt, k m uch schreibe > 0 bzw. > für lle.. Die Folge ist streg mooto flled: + < für lle : + ( + ). biomische Formel ( + + ) usmultipliziere + + > bzw. > wege. < + +. Ds bedeutet + < für lle.. Für jede och so kleie Fehlertolerz ε > 0 gibt es ei, so dss die Abweichug < ε ist: Wege + ( ) uf gleiche Neer brige folgt + < d Qudrte immer positiv sid, ist ( ( ) > wege. ) ( ) ist streg mooto flled mit < < wege. ud. 8 < 8.

3 . Die Abweichug schrumpft lso mit jedem Schritt epoetiell um de Fktor 8 : < 8 Für 8 < ε < 8 < < ε l(8) < l(ε) > l ε ist d uch < l8 8 + < ε, qed. Die Wurzel beliebiger positiver rtioler Zhle lsse sich durch etsprechede Folge (oder uch mittels Itervllschchtelug) i beliebiger Geuigkeit äher: lim mit + ( + ) ud 0. Alle Folgeglieder sid rtiole Zhle, ber der Grezwert lim selbst ist uerreichbr. Es lässt sich ber zeige, dss m mit diese bstrkte Grezwerte geuso reche k wie mit rtiole Zhle. M et diese Grezwerte vo kovergete (Cuchy-)Folge rtioler Zhle dher uch irrtiole Zhle. Sie lsse sich ls icht bbrechede ud ichtperiodische Dezimlzhle drstelle. Die rtiole Zhle werde durch die irrtiole Zhle zur Mege der reelle Zhle erweitert. D m mit irrtiole Zhle geuso reche k wie mit rtiole Zhle, sid die reelle Zhle ttsächlich wieder ei Körper! (Sie sid sogr ei topologisch vollstädiger Körper, d.h., sie ethlte icht ur die Grezwerte rtioler Cuchy-Folge soder uch die Grezwerte reeller Cuchy-Folge.) Ds Reche mit Wurzel i Form vo irrtiole Grezwerte wird llerdigs erkuft mit eier Aufweichug der Wohldefiiertheit (vergleiche 8...): Niemd wird jemls de geue Wert vo wisse oder bereche köe. Für prktische Zwecke reicht die übliche Näherug des Tscherechers uf 0 Nchkommstelle ber völlig us. Übuge: Aufgbe zu komplee Zhle Nr Wurzel egtiver Zhle Die reelle Zhle sid ber leider immer och icht lgebrisch bgeschlosse, d sich Wurzel egtiver reeller Zhle icht wieder ls reelle Zhle drstelle lsse. Z.B. ht die Gleichug keie reelle Lösug. Die Lösug dieses Problems ist ber mit Abstd die eifchste ud wurde lge vor der Kompktifizierug ud Vervollstädigug der rtiole Zhle u.. vo Leohrd Euler (707 78) etdeckt: Er führte die imgiäre Zhl i : ei ud zeigt, dss sich dmit (fst, siehe 8..) ugehidert ch de gewohte Regel reche lässt:. Summe mit Wurzel lsse sich icht weiter zusmmefsse: i muss so stehe bleibe!. Produkte lsse sich zusmmefsse: i. Teilweises Wurzelziehe: i. Neer rtiol mche: i

4 Die reelle Zhle werde durch die imgiäre Zhle bi mit y zu de komplee Zhle erweitert. D sich die Summe eier reelle Zhl ud eier Wurzel icht weiter zusmmefsse lässt, hbe lle komplee Zhle die Form z + bi eier Summe us eiem Relteil Re(z) ud eiem Imgiärteil b Im(z) mit, b. Beim Reche verwedet m die gewohte Regel ud ordet ds Ergebis wieder ch Relteil ud Imgiärteil. Bei Multipliktio ud Divisio wird dzu die Eigeschft i beutzt:. Additio: ( + b i) + ( + b i) ( + ) + (b + y )i.. Subtrktio: ( + b i) ( + b i) ( ) + (b y )i.. Multipliktio: ( + b i) ( + b i) ( b b ) + ( b + b )i.. Divisio: Um de Neer wurzelfrei zu mche, erweitert m mit der komple kojugierte Zhl z bi ud utzt die. biomische Formel: bi + bi ( + bi)( bi) Übuge: Aufgbe zu komplee Zhle Nr. bi + b + b bi + b Beispiel: z Bereche de Ausdruck z + für z i, z + i ud z i. z Lösug: z z + i + + i Neer wurzelfrei mche durch Erweiter mit z i z i (+ i)( + i) i + ( i)( + i) ( ) + (8 + 6)i i + + usmultipliziere ud orde Rel- ud Imgiärteil tree i i zusmmefsse, 0,i Übuge: Aufgbe zu komplee Zhle Nr Die Mehrdeutigkeit der komplee Wurzel. Die Verwedug der Eulersche Schreibweise für die imgiäre Eiheit i setzt die Eideutigkeit des Rdizieres ls Umkehrug des Qudrieres vorus: i ( ) ( ). Beim Rdiziere muss i Erierug behlte werde, us welcher der beide mögliche reelle Wurzel + oder ds Qudrt ( ) ursprüglich etstde wr! I der bisher übliche Weise würde die Etstehugsgeschichte eier Zhl beim Rdiziere ber icht weiter bechtet werde ud m rechete eifch: i ( ) ( )! Um lso die Eulersche Schreibweise i ugestrft verwede zu köe, muss m i der Lge sei, für jede komplee Zhl z zu etscheide, ob sie ds Qudrt zwei egtiver oder zweier positiver Wurzel ist, d.h., ob z ζ oder ob z ( ζ) für ei ζ. Ds ist ttsächlich möglich durch die die Auffächerug der komplee Zhleebee (siehe 8.) i eie doppelt so große Riemsche Fläche (siehe 8.5), i der u jede bisherige komplee Zhl z zweiml erscheit ls z + ζ oder z ( ζ) für ei gemeismes ζ.? ( ) ( ) + (+)

5 Möchte m sich die Erweiterug der komplee Zhle uf die etsprechede Riemsche Fläche erspre, so muss m uf die Eulersche Defiitio i verzichte ud die imgiäre Eiheit idirekt defiiere mittels i :. Wurzel egtiver reeller Zhle mit > 0 leitet m d icht wie i 8.. us der Eulersche Defiitio her mittels ( ) i soder defiiert eifch : i. Ob m die für lle prktische Rechuge usreichede Gleichuge i ud : i u eifch defiiert oder uter Rückgriff uf Riemsche Fläche us der Eulersche Defiitio i herleitet, ist letztlich Geschmckssche ud für die Pris uerheblich! Übuge: Aufgbe zu komplee Zhle Nr Qudrtische Gleichuge Beispiel : Gib die Lösugsmege der Gleichug z z uf der Grudmege Lösug Mit der p-q-formel erhält m z / ± ± i. der komplee Zhle. Beispiel : Gib die Lösugsmege der Gleichug z ( + i)z + (7 i) 0 uf der Grudmege. Lösug Mit der p-q-formel erhält m z / + i ± ( + i) (7 i) + i ± ( + i ) ( i) + i ± 7i. der komplee Zhle Gemäß der Forderug ch lgebrische Abgeschlosseheit sollte es möglich sei, uch Wurzel mit komplee Rdikde wie z.b. 7i wieder ls komplee Zhle drzustelle. Diese ud viele dere Rechuge werde durch die geometrische Deutug der komplee Zhle i der komplee Zhleebee ud die Verwedug vo Polrkoordite strk vereifcht ud dher i Abschitt 8. behdelt. Übuge: Aufgbe zu komplee Zhle Nr. 6 5