Musterlösung zur Musterprüfung 1 in Mathematik

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1 Musterlösug zur Musterprüfug i Mthemtik Diese Musterlösug ethält usführliche Lösuge zu lle Aufgbe der Musterprüfug i Mthemtik sowie Hiweise zum Selbstlere. Literturhiweise ) Bosch: Brückekurs Mthemtik, Oldebourg Verlg, Müche Dieses Buch beihltet fst lle Themegebiete der Mthemtikprüfug. Es ethält viele Beispiele ud Übugsufgbe mit Lösuge. ) Kusch: Mthemtik (Bd 4), Corelse Verlg, Berli Der.Bd ethält lles Wisseswerte zur Arithmetik ud Algebr. Seiteweise werde sehr übersichtlich Beispiele vorgerechet ud usführlich kommetiert. Ds Buch ethält Huderte vo Übugsufgbe, dere Lösuge i eiem etr Lösugsbuch zu fide sid. Der.Bd behdelt die Geometrie. Der 3. ud 4.Bd hbe die Differetil- ud Itegrlrechug zum Them. Auch hier werde seiteweise Beispiele vorgerechet ud usführlich kommetiert. Die Bücher ethlte ebeflls Huderte vo Übugsufgbe, dere Lösuge i etr Lösugsbücher zu fide sid. Diese Bücher sid icht ur für die Vorbereitug uf die Mthemtikprüfug geeiget, sie köe uch im Studium sehr hilfreich sei. Die gete Bücher gehöre zu de Stdrdwerke der Mthemtik ud köe i viele Hochschulbibliotheke usgeliehe werde.

2 Themebereich I Algebrische Umformuge I diesem Themebereich geht es um eifche lgebrische Umformuge wie z.b. Termumformuge Beispiel: 3 4y 5 y 3 3y 8 Berücksichtigug vo Miuszeiche vor Klmmer Beispiel: ( y 5) y 5 Ausmultipliziere vo Klmmer Beispiele: 3 (5 ) 5 6 ( 3 4) ( 4y) 6 y 8 6y Fktorisiere vo Terme / Ausklmmer Beispiel: 5 3y z (5 3y z)

3 Aufgbe 84 We m zwei Klmmer usmultipliziere will, d multipliziert m jede Term der erste Klmmer mit jedem Term der zweite Klmmer. ( 7 m) (8 ) / Jeder Term der erste Klmmer wird mit 8 7 m8 m jedem Term der zweite Klmmer multipliziert. 7 / zusmmefsse, es gilt Pukt- vor 7 8m m Strichrechug 56 / Mlpukte zwische Vrible (Buchstbe) dürfe weggelsse werde. Vrible werde üblicherweise lphbetisch sortiert, lso vor. Diese Sortierug ist ber icht zwiged otwedig. D.h. we Sie 7 sttt 7 schreibe, ist ds kei Fehler. Ausmultipliziere zweier Klmmer ( b) ( c d) c d bc bd

4 Aufgbe 85 Bei kompliziertere Terme mit mehrere Klmmer geht m häufig so vor, dss zuerst der iere Term vereifcht wird. [( 3) ( k )] 3( k 3) k / Zuerst werde die beide iere [ k k ( ) 3 k 3( )] 3( k 3) Klmmer usmultipliziert. k / zusmmefsse [ k 3k 6] 3( k 3) k / zusmmefsse [ k 6] 3( k 3) k / Nu köe die Zhle vor de Klmmer mit jedem Term i der Klmmer multipliziert werde. k k ( 6) 3 k 3( 3) / zusmmefsse k 3k 9 k / zusmmefsse k 5k Amerkug: We zwei Rechezeiche direkt hitereider stehe, d wird um ds zweite Rechezeiche ud der zugehörige Zhl / dem zugehörige Term eie Klmmer gesetzt. Beispiele: k ( ) k oder ( 6)

5 Themebereich II Bruchreche I diesem Themebereich geht es um die Grudlge der Bruchrechug. Es werde Ketisse über ds Erweiter ud Kürze vo Brüche, die Additio ud Subtrktio sowie über die Multipliktio ud Divisio geprüft. Bei der Additio ud Subtrktio ist druf zu chte, dss die zu verrechede Brüche eie gemeisme Neer besitze. Sollte dies icht der Fll sei, so müsse die Brüche uf eie gemeisme Neer, de sog. Hupteer, gebrcht werde. Beispiel: b c d d bd bc bd d bc bd Die Multipliktio vo Brüche ist demgegeüber wieder leichter, de hier gilt Zähler ml Zähler ud Neer ml Neer. Eie Erweiterug uf eie Hupteer ist icht erforderlich. Beispiel: b c d c bd Durch eie Bruch wird dividiert, idem mit dem Kehrwert multipliziert wird. Beispiel: b : c d b d c d bc

6 Aufgbe 86 I dieser Aufgbe solle gemischte Zhle ddiert ud subtrhiert werde. Eie gemischte Zhl besteht us der Summe eier gze Zhl ud eiem echte Bruch (echter Bruch: Zähler < Neer), wobei ds + -Zeiche weggelsse wird. Zur bessere Verrechug gemischter Zhle werde diese i uechte Brüche (uechter Bruch: Zähler > Neer) umgewdelt. Beispiele: / umwdel der gemischte Zhle i uechte Brüche / Brüche werde ddiert oder subtrhiert, i dem die Brüche uf de Hupteer gebrcht werde. Der Hupteer ist ds kleiste gemeisme Vielfche ller Neer. Ds kleiste gemeisme Vielfche vo ; 4 ud 0 ist 0. / Die Zähler werde u ddiert oder subtrhiert, der Neer bleibt erhlte. / usreche 77 / Ds Ergebis ist ei uechter Bruch ud k deshlb wieder i eie gemischte Zhl umgewdelt werde.

7 Aufgbe 87 Zwei Brüche werde dividiert, i dem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweite Bruches multipliziert wird. 8 : 3 / mit dem Kehrwert des zweite Bruches multipliziere 3 8 / Brüche werde multipliziert, i dem Zähler ml Zähler ud Neer ml Neer gerechet wird. 38 / zusmmefsse 4 4 / kürze Brüche werde gekürzt, i dem der Zähler ud der 4 : 4 4 : 4 / vereifche Neer durch die gleiche Zhl (oder Vrible) dividiert werde.

8 Themebereich III Eifche Berechuge I diesem Themebereich geht es um ds Kopfreche. Eifche Aufgbe, bei dee uf Regel wie Pukt- vor Strichrechug gechtet werde muss, solle gelöst werde. Ebeso köe Klmmer, eifche Wurzel oder Poteze ethlte sei. Beispiele: ( 43) 3( )

9 Aufgbe 88 Für diese Aufgbe ist die Ketis der gägigste Qudrtwurzel wichtig. So gilt z.b.: 0 0, de , de 4, de 4, de Des Weitere muss bei dieser Aufgbe uf die wichtige Regel Pukt- vor Strichrechug gechtet werde. ) ( 8 / usreche der Wurzel ) ( 9 / Pukt- vor Strichrechug 8 / usreche 9 Vorzeicheregel: y y y y y y y y y y y y y y y y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y y y y y y y y y y y y y y y y : ) ( : : ) ( : : ) ( : : ) ( : ) ( ) ( ) ( ) (

10 Aufgbe 89 Bei dieser Aufgbe ist die wichtige Regel Pukt- vor Strichrechug zu bechte. 56: : / Pukt- vor Strichrechug 4 35 / usreche 0 Amerkuge Bei reier Puktrechug wird üblicherweise vo liks ch rechts gerechet. Beispiel: 5 4: (54) : 70: 35 Es dürfe ber uch Rechevorteile geutzt werde, dmit die Zwischeergebisse möglichst us iedrige ud dher besser im Kopf zu rechede Zhle bestehe. Beispiel: 5 4 : 5(4: ) 57 35

11 Themebereich IV Geometrie I diesem Themebereich geht es um grudlegede Berechuge zu geometrische Figure wie z.b. Qudrt, Rechteck, Dreieck, Kreis ud gerde Prisme (z.b. Quder). Dzu ist die Ketis der folgede Formel erforderlich: Qudrt mit der Seiteläge Flächeihlt: A Q Umfg: U Q 4 Rechteck mit de Seiteläge ud b Flächeihlt: A R b Umfg: U R b Dreieck mit de Seiteläge, b ud c Flächeihlt: A D g h Umfg: U D b c Wobei g eie der drei Seite ist ud h die zugehörige Höhe. Kreis mit dem Rdius r Flächeihlt: A K r Umfg: U K r Wobei 3 gelte soll. Prisme mit der Grudfläche G ud der Höhe h Volume: V P G h Oberfläche: G M O P Wobei M die Mtelfläche ist. Quder mit de Kteläge, b ud c Volume: V Q b c Oberfläche: ( b c bc) O Q Außerdem köe i diesem Themebereich Aufgbe zur Awedug des Stzes vo Pythgors gestellt werde. Dzu fidet sich eie usführliche Erklärug i de folgede Musterlösuge.

12 Aufgbe 90 Für die Lösug dieser Aufgbe werde die folgede Formel beötigt: Flächeihlt eies Qudrtes mit der Seiteläge : A Q Flächeihlt eies Kreises mit dem Rdius r : A K r ist die sogete Kreiszhl ud irrtiol, d.h. es hdelt sich um eie Dezimlzhl (Kommzhl), die ch dem Komm icht edet ud uch icht periodisch ist. Die erste Stelle vo lute: 3, D für die Berechug der Prüfugsufgbe kei Tscherecher zugelsse ist, wird mit eiem gerudete Wert gerechet: 3. Die Seiteläge des Qudrtes ist: 0cm. Drus folgt für de Rdius des Kreises: r 5cm. Somit ergibt sich für de Flächeihlt des Qudrtes: Für de Flächeihlt des Kreises ergibt sich: A Q A k ( 0cm) 00cm. 3(5cm) 75cm. Der Abfll beträgt dmit: A Q AK 5cm.

13 Aufgbe 9 Bei der Lösug dieser Aufgbe hilft zuächst eiml eie kleie Skizze: C A B Auf rechtwiklige Dreiecke lässt sich der Stz des Pythgors wede: Die Summe der Qudrte über de Kthete ist gleich dem Qudrt über der Hypoteuse. Wobei die Kthete die Seite sid, die dem rechte Wikel liege. Die Hypoteuse ist die Seite, die gegeüber vom rechte Wikel liegt. I dieser Aufgbe sid lso Hypoteuse. ud AC 4cm die Kthete ud BC ist die AB 3cm Somit lutet der Stz des Pythgors für dieses Dreieck: ( AB) ( AC) ( BC ) ( 3cm) (4cm) ( BC 9cm 6cm ( BC 5cm ( BC 5 cm BC ) ) ) Amerkug: Der Stz des Pythgors besteht us eier Gleichug, die umgeformt werde k ud i die Zhle eigesetzt werde köe. Zwische diese Gleichuge werde Äquivlezpfeile gesetzt, die gebe, dss die Umformuge/Berechuge vo Zeile zu Zeile äquivlet (gleichwertig) zueider sid.

14 Themebereich V Liere Gleichuge ud Gleichuge, die sich uf liere Gleichuge zurückführe lsse I diesem Themebereich wird ds Löse lierer Gleichuge ud Gleichuge, die sich uf liere Gleichuge zurückführe lsse, überprüft. Hierbei köe zum eie Gleichuge vorgegebe sei, die zu löse sid. Zum dere köe ber uch Tetufgbe gestellt werde, zu dee d eie pssede Gleichug ufgestellt ud evetuell uch gelöst werde soll. Bei Tetufgbe empfiehlt sich eie Aufteilug des Tetes i eizele Abschitte. Ei usführliches Beispiel dzu fidet sich i der folgede Musterlösug.

15 Aufgbe 9 Um diese Aufgbe zu löse, ist es zweckmäßig, de Tet i seie Bestdteile zu zerlege. Dividiert m de sechste Teil eier Zhl durch 5 ud subtrhiert vom Ergebis, so erhält m ds Dreifche der Zhl vermehrt um 0. Der sechste Teil eier Zhl ist 6. Dividiert m de sechste Teil eier Zhl durch 5 ud subtrhiert vom Ergebis, so erhält m ds Dreifche der Zhl vermehrt um 0. Divisio durch 5 bedeutet : Dividiert m de sechste Teil eier Zhl durch 5 ud subtrhiert vom Ergebis, so erhält m ds Dreifche der Zhl vermehrt um 0. Subtrktio vo ergibt 6 5. Dividiert m de sechste Teil eier Zhl durch 5 ud subtrhiert vom Ergebis, so erhält m ds Dreifche der Zhl vermehrt um 0. Ds Komm ud die Formulierug so erhält m symbolisiert ds Gleichzeiche 6 5. Dividiert m de sechste Teil eier Zhl durch 5 ud subtrhiert vom Ergebis, so erhält m ds Dreifche der Zhl vermehrt um 0. Ds Dreifche der Zhl ergäzt die Gleichug zu Dividiert m de sechste Teil eier Zhl durch 5 ud subtrhiert vom Ergebis, so erhält m ds Dreifche der Zhl vermehrt um 0. Vermehrt um 0 vervollstädigt die gesuchte Gleichug

16 Aufgbe 93 Diese Gleichug k zuächst uf der like Seite vereifcht werde. 5 0 ( ) 8 / usmultipliziere der Klmmer / zusmmefsse / / Wichtig ist, dss die 4 uf beide Seite der 3 / : 3 Gleichug ddiert wird. 3 : 3 : 3 / Auch hier muss uf beide Seite durch 3 geteilt werde. 4

17 Themebereich VI Liere Gleichugssysteme I diesem Themebereich geht es um liere Gleichugssysteme mit zwei Ubekte. Auch hier k sowohl ei lieres Gleichugssystem vorgegebe sei, ls uch eie Tetufgbe gestellt werde, us der ei pssedes lieres Gleichugssystem ufgestellt werde soll. Für ds Löse lierer Gleichugssysteme stehe verschiedee Lösugsverfhre zur Verfügug. Diese Verfhre werde i der folgede Musterlösug drgestellt. Tetufgbe köe i eizele Bestdteile zerlegt werde, um so die verschiedee Gleichuge ufstelle zu köe. Auch hierzu fidet sich im Folgede ei usführliches Beispiel.

18 Aufgbe 94 Liere Gleichugssysteme lsse sich mit Hilfe verschiedeer Verfhre löse. Dzu gehöre z.b. ds Gleichsetzugs-, Eisetzugs- ud Additiosverfhre. Je chdem, wie ds Gleichugssystem ufgebut ist, ist ds eie oder dere Verfhre für die Lösug des Systems güstiger. Nch dem Eisetzugsverfhre ergibt sich der folgede Lösugsweg: 3 4y 8 6 8y 38 / : 3 4y 8 3 4y 9 / Die 4 9 4y 9 4y 8 3 4y y 9 y der rechte Gleichug köe u für die der like Gleichug eigesetzt werde. / zusmmefsse der like Gleichug Die like Gleichug besteht us der flsche Aussge 9 8 ud dieses bedeutet, dss ds liere Gleichugssystem keie Lösug besitzt. Ds heißt, es eistiere keie Zhle die gleichzeitig beide Gleichuge des Systems erfülle. 3 Nch dem Gleichsetzugsverfhre ergibt sich der folgede Lösugsweg: 3 4y 8 / 4y 6 8y 38 / : 3 8 4y y / Die jeweils rechte Seite der Gleichuge köe u gleichgesetzt werde. 8 4y 4y 9 / 4y 3 4y y 9 Die like Gleichug besteht us der flsche Aussge 9 8 ud dmit besitzt ds liere Gleichugssystem keie Lösug.

19 Aufgbe 95 Zu dieser Tetufgbe lsse sich zwei liere Gleichuge ufstelle. Eie Gleichug heißt lier, we die Vrible höchstes erste Grdes sid. Die erste Gleichug ergibt sich us der Azhl der Köpfe. Sowohl ei Huh ls uch ei Hse hbe jeweils eie Kopf. We Hüher ud y Hse zusmme 8 Köpfe hbe, lutet die Gleichug: y 8 Die zweite Gleichug ergibt sich us der Azhl der Füße. Normlerweise ht ei Huh zwei Füße ud ei Hse vier Füße. We Hüher ud y Hse zusmme 88 Füße hbe, lutet die Gleichug: 4y 88 Beide Gleichuge zusmme bilde ei lieres Gleichugssystem, dss z.b. mit dem Additiosverfhre gelöst werde k. y 8 / () 4y 88 y 56 4y 88 Additio der beide Gleichuge y 3 / : 4y 88 y 6 / eisetze i die zweite Gleichug / ch uflöse y 6 Der Fuchs ht lso Hüher ud 6 Hse gestohle. Amerkug: Ds ist ds logische ud. Es gibt, dss die beide Gleichuge zusmme- gehöre ud ei System bilde.

20 Themebereich VII Löse vo qudrtische Gleichuge I diesem Themebereich geht es um ds Löse qudrtischer Gleichuge. Hierfür stehe verschiedee Lösugsverfhre zur Verfügug, vo dee eiige i de Musterlösuge drgestellt werde. Auch hier köte es sei, dss leichte Tetufgbe, die ds Aufstelle ud Löse eier qudrtische Gleichug erforder, gestellt werde.

21 Aufgbe 96 Für ds Löse qudrtischer Gleichuge stehe verschiedee Lösugsverfhre zur Verfügug. Dzu gehöre z.b. die qudrtische Ergäzug ud die pq-formel, die eie Zusmmefssug der qudrtische Ergäzug drstellt. Je chdem, wie die qudrtische Gleichug ufgebut ist, k uch der Stz vo Viet oder eie biomische Formel zur Lösug der Gleichug beutzt werde. Um etscheide zu köe, welche Lösugsmethode m schellste zum Ziel führt, werde zuächst lle Ausdrücke uf eie Seite der Gleichug gebrcht. Im Aschluss dr ist es sivoll, dss vor dem ichts mehr steht, lso weder ei Miuszeiche och eie Zhl. Dmit erhält m die sogete Normlform eier qudrtische Gleichug: p q 0. Tipp, flls Usicherheit dhigehed besteht, welche Lösugsmethode m schellste zum Ziel führt: Mit Hilfe der pq-formel lässt sich eie qudrtische Gleichug immer löse!. Lösug mit Hilfe eier biomische Formel 4 / 4 0 / : 0 / Hierbei hdelt es sich um die.biomische Formel. ( ) 0 / 0 / {}

22 .Lösug mit Hilfe der pq-formel 4 / 4 0 / : 0 / Hierbei hdelt es sich um die Normlform eier qudrtische Gleichug p q 0 mit p ud q. p p ( ), / pq-formel: q,, 0,, {}

23 Aufgbe 97 Diese qudrtische Gleichug k direkt ch ufgelöst werde. Es ist kei besoderes Lösugsverfhre erforderlich. ( 7) 9 ( 7) 0 / / / {4;0} Amerkug: Ds ist ds mthemtische oder. Es wird verwedet, we etweder die eie oder die dere Aussge gelte soll. D 7 i der obige Gleichug icht gleichzeitig gleich 3 ud gleich 3 sei k, wird es zwische die beide Aussge geschriebe. Ddurch wird uch verdeutlicht, dss es zwei Lösuge gibt.

24 Themebereich VIII Löse vo Ugleichuge I diesem Themebereich wird ds Löse vo Ugleichuge überprüft. Grudsätzlich köe Ugleichuge wie Gleichuge gelöst werde. Es sid jedoch zwei Besoderheite bei der Lösug vo Ugleichuge zu bechte: ) Bei der Multipliktio oder Divisio eier Ugleichug mit eier egtive Zhl ädert sich die Reltio. Beispiel: 3 / () 3 ) We der Kehrwert eier Ugleichug gebildet wird, ädert sich die Reltio. Beispiel: / Kehrwert der Ugleichug / 4, 4

25 Aufgbe 98 4 > 3 / zusmmefsse 8 > 3 / : 8 > 4 / > <

26 Aufgbe 99 Die sekrechte Striche um de Term 8 werde ls Betrgsstriche bezeichet. Der Term 8 heißt der Betrg vo 8 ud bedeutet, dss ds Ergebis vo diesem Ausdruck ubhägig dvo, welche Zhl für eigesetzt wird - immer positiv ist. Beispiele: Für 5 gilt: Für 0 gilt: Für 3 gilt: Für 0 gilt: 0 8. Für gilt: D lso immer 8 > 0 gilt, ist die Ugleichug 8 < 8 icht lösbr. Es gibt keie Zhle, die für eigesetzt werde köe, so dss ds Ergebis des Betrges kleier ls 8 wird. {}

27 Themebereich IX Poteze ud Wurzel Für diese Themebereich ist die Ketis der Potezgesetze vo Bedeutug: m m m m m m m b b ) ( m m m b b m m ) ( Außerdem köe die folgede Umschreibregel hilfreich sei: m m

28 Aufgbe / m m / kürze des Epoete 3 5 / zusmmefsse 3 4 Weiter k hier icht zusmmegefsst werde, d die Potezgesetze ur für Puktrechug ber icht für Strichrechug gelte.

29 Aufgbe 0 Für diese Aufgbe wird die Ketis der Kubikwurzel beötigt. 3 So ist z.b., de de de / bereche der Kubikwurzel / Potezgesetz: 6 m m / zusmmefsse / kürze 0

30 Themebereich X Eifche Zis- ud Ziseszisrechug Aufgbe zur Zis- ud Ziseszisrechug lsse sich etweder mit Hilfe vo Formel oder über eie Dreistz löse. Um Ziseszisrechug hdelt es sich, we Zise, die m Ede eies Jhres gut geschriebe werde, uf dem Koto verbleibe. Die Zise erhöhe dmit ds Afgskpitl für ds druf folgede Jhr. Die Formel lutet: K K 0 q K gibt ds Gesmtkpitl ch Jhre. K ist ds Afgskpitl. 0 q p 00 ist der Aufzisugsfktor. p ist der Zisstz i Prozet. ist die Lufzeit i Jhre. Für die eifche Zisrechug gelte die folgede Formel: Z p K 00 Mit Hilfe dieser Formel lsse sich die Zise für ei K p t Jhr bereche. Z Mit Hilfe dieser Formel lsse sich die Zise für t Tge bereche. Z gibt die Zise, K steht für ds Kpitl, p für de Zisstz i Prozet ud t für die Azhl der Tge. Diese Formel köe uch ch K, p oder t umgestellt werde. Hiweis: I der Zisrechug wird jeder Mot mit 30 Tge gerechet! Die Lösug über eie Dreistz wird i de Musterlösuge drgestellt.

31 Aufgbe 0 Aufgbe zur Zisrechug lsse sich sowohl mit Hilfe vo etsprechede Formel ls uch mit Hilfe eies Dreistzes löse. I mche Fälle reicht sogr ei Zweistz.. Lösug mit Hilfe der Ziseszisformel D die.000,00 für zwei Jhre gelegt werde solle ud i diesem Zeitrum kei Geld bgehobe werde soll, hdelt es sich hierbei um Ziseszisrechug. Ds heißt, die Zise, die ch eiem Jhr vo der Bk gut geschriebe werde, werde icht vom Kude bgehobe, soder für ds zweite Jhr de.000,00 zugerechet ud mit verzist. K K 0 q K gibt ds Gesmtkpitl ch Jhre. K ist ds Afgskpitl. 0 q p 00 ist der Aufzisugsfktor. p ist der Zisstz i Prozet. ist die Lufzeit i Jhre. Gegebe ist: K 0.000,00 0 p 0% q, 00 Jhre Gesucht ist: K K, lso der Betrg, um de sich ds Afgskpitl vermehrt ht. 0 K K 0 K q K Lösug: 0 0 K 000,00,.000,00 K 0.000,00,.000,00.0,00.000,00 0,00

32 . Lösug i mehrere kleie Schritte über eie Zweistz Schritt : Berechug der Zise ch eiem Jhr (Zweistz) 00%.000,00 :0 :0 0% 00,00 Schritt : Berechug des Kpitls m Ede des.jhres.000,00 00,00.00,00 Schritt 3: Berechug der Zise für ds.jhr (Zweistz) 00%.00,00 :0 :0 0% 0,00 Schritt 4: Berechug der gesmte Zise für ds. ud.jhr 00,00 0,00 0,00

33 Aufgbe 03. Lösug mit Hilfe eier Formel K 00 Z K ist ds Kpitl. p Z sid die Zise für ei Jhr. p ist der Zisstz i Prozet. Gegebe ist: Z 40,00 p 3% Gesucht ist: Lösug: K K 00 Z p 00 K 40,00 3 K 8.000,00. Lösug mit Hilfe eies Dreistzes 3% 40,00 :3 :3 % 80,00 00% 8.000,00 Hiweis: Ds Kpitl etspricht 00%. Dmit beträgt ds gesuchte Kpitl 8.000,00.

34 Themebereich XI Prozetrechug Aufgbe zur Prozetrechug lsse sich etweder mit der Hilfe vo Formel oder über eie Dreistz löse. Die Formel lute für de Prozetwert PW: PW p G 00, für de Grudwert G: G 00 PW p, PW G für de Prozetstz p: p 00. Sowohl die Awedug der Formel ls uch die Lösug über eie Dreistz werde i de folgede Musterlösuge drgestellt.

35 Aufgbe 04 Auch die Aufgbe zur Prozetrechug lsse sich sowohl mit Formel ls uch mit eiem Dreistz löse.. Lösug mit Hilfe eier Formel PW p 00 p ist der Prozetstz. G PW ist der Prozetwert. G ist der Grudwert. Gegebe ist: G 6, 3 Millirde Bkote (lle gedruckte Bkote) PW,89 Millirde 0 - Scheie (bsoluter Ateil der 0 - Scheie) Gesucht ist: p PW G Lösug: p 00,89Millirde 00 6,3Millirde,89 p 00 6,3 p / kürze der Millirde 89 p 6,3 p 30%. Lösug mit Hilfe eies Dreistzes :0 6,3Millirde 00% :0 Hiweis: Alle gedruckte Bkote 0,63Millirde 0% etspreche 00%.,89Millirde 30%

36 Aufgbe 05. Lösug mit Hilfe eier Formel PW p 00 p ist der Prozetstz. G Gegebe ist: G 000,00 ( ist der lte Preis) PW ist der Prozetwert. G ist der Grudwert. Achtug: Die 640,00 gebe de eue Preis ud icht die Preissekug. D ber ch der Höhe der Preissekug i Prozet gefrgt ist, muss zuächst usgerechet werde, wie viel die Preissekug beträgt: PW 000,00 640,00 360,00 (ist die Preissekug) Gesucht ist: p PW G Lösug: p ,00 p ,00 p 36%. Lösug mit Hilfe eies Dreistzes.000,00 00% :00 :00 0,00 % 360,00 36%

37 Themebereich XII Verstädis vo Grphe (ohe trigoometrische Fuktioe, Logrithmus- ud Epoetilfuktio) I diesem Themebereich werde Aufgbe zum Verstädis vo Grphe gestellt. Dbei k es sich z.b. um die folgede Aufgbetype hdel: Es solle Aussge über ds Aussehe/ de Grphe eier bestimmte Fuktio getroffe werde. Eiem Grphe soll die etsprechede Fuktiosgleichug zugeordet werde. Eiem Schverhlt us eier Tetufgbe soll ei psseder Grph zugeordet werde. Für die Lösug dieser Aufgbe werde überwieged Ketisse über liere Fuktioe (Gerde) ud qudrtische Fuktioe (Prbel) beötigt.

38 Aufgbe 06 Bei dieser Aufgbe ist die Prbel i der sogete Scheitelpuktform gegebe. Die llgemeie Scheitelpuktform lutet: y ( y0 0) Aus der Scheitelpuktform k der Scheitelpukt direkt bgelese werde. Der Scheitelpukt lutet: S ( 0, y0) Der Scheitelpukt der Prbel ( ) IV. Qudrte. y lutet somit S (, ). Dieser Pukt liegt im

39 Aufgbe 07 D die Zeit i Stude ud y de Treibstoff im Tk i Liter gibt, lässt sich us dem Stz: Ihr Tk ist mit 600 Liter vollgefüllt. folger, dss zum Zeitpukt =0 Stude der Tk mit y=600 Liter gefüllt ist. Dher k die Lösug d icht richtig sei. Aus der Aussge: Die Diesellokomotive verbrucht Treibstoff lässt sich folger, dss der Grph flled verlufe muss. Dmit k uch die Lösug b icht richtig sei. Bei der Lösug ist der Grph uch für egtive gezeichet. Negtive Werte bedeute hier eie egtive Azhl vo Stude, ws völlig usiig ist. Also ist uch Lösug icht richtig. Übrig bleibt ur die Lösug c. Zur Kotrolle k hier über die Bedeutug des Puktes (,0) chgedcht werde. = Stude ud y=0 Liter bedeutet, dss ch Stude der vollgefüllte Tk der Lokomotive leer ist (y=0). D zu Begi 600 Liter im Tk wre ud die Lokomotive 50 Liter pro Stude verbrucht, k folgedermße gerechet werde: 600 Liter : 50 Liter/Stude = Stude. Ds heißt, der Tk ist ch zwölf Stude leer ud somit ist die Lösug c richtig.

40 Themebereich XIII Whrscheilichkeitsrechug I diesem Themebereich geht es um Grudketisse der Whrscheilichkeitsrechug ud Kombitorik. Es geht uter derem um ei- ud mehrstufige Zufllseperimete, Bumdigrmme, Whrscheilichkeite, Erwrtugswerte ud Fkultäte.

41 Aufgbe 08 Die Lösug dieser Aufgbe erfordert die Ketis der sogete Fkultät: Für lle türliche Zhle ist ( ) Zhle vo bis defiiert. Gelese wird! ls Fkultät.! ls ds Produkt der türliche Beispiele: 7! ! We füf verschiedee Mthemtikbücher i uterschiedlicher Reihefolge i ei Regl gestellt werde solle, d gibt es für ds erste Buch füf Plätze im Regl zur freie Auswhl, für ds zweite Buch bleibe d och vier Plätze im Regl zur freie Auswhl übrig, d ds erste Buch bereits eie Pltz belegt, für ds dritte Buch sid d och drei Plätze im Regl zur freie Auswhl übrig, für ds vierte Buch stehe d och zwei Plätze im Regl zur freie Auswhl zur Verfügug ud für ds füfte ud letzte Buch ist d ur och ei Pltz im Regl frei. Mthemtisch usgedrückt bedeutet dies, es gibt ! verschiedee Möglichkeite, füf Mthemtikbücher i uterschiedlicher Reihefolge i ei Reglfch zu stelle.

42 Aufgbe 09 Für die Whrscheilichkeit eies gewüschte Ereigisses gilt: ( ) Zur Verschulichug des Schverhltes k ei sogetes Bumdigrmm verwedet werde: Zhl Zhl Kopf Zhl Kopf Kopf.Wurf.Wurf Beim.Wurf k Zhl oder Kopf obe liege. Beim.Wurf k d wiederum Zhl oder Kopf obe liege. Isgesmt gibt es lso vier Kombitiosmöglichkeite: ( Zhl / Zhl ), ( Zhl / Kopf ), ( Kopf / Zhl ), ( Kopf / Kopf) Nur eie vo vier Möglichkeite liefert ds gewüschte Ergebis, dss zweiml Zhl obe liegt. Dmit gilt für die gesuchte Whrscheilichkeit P ( Zhl / Zhl) 4

43 Themebereich XIV Grudketisse der trigoometrische Fuktioe I diesem Themebereich geht es isbesodere um die Sius-, Kosius- ud Tgesfuktio. Geprüft werde Ketisse über die trigoometrische Fuktioe im rechtwiklige Dreieck, die Nullstelle der Sius- ud Kosiusfuktioe sowie eifche Symmetrieeigeschfte. Außerdem wird die Fähigkeit erwrtet, Wikel vom Grdmß i ds Bogemß umzureche ud umgekehrt. Im rechtwiklige Dreieck gelte die folgede trigoometrische Beziehuge: Gegekthete si Hypoteuse cos Akthete Hypoteuse Gegekthete t Akthete Für die Umrechug vo Wikel vom Grdmß i ds Bogemß ud umgekehrt k die folgede Formel verwedet werde: 360

44 Aufgbe 60 Nullstelle sid die Stelle, dee der Grph der Fuktio die wgerechte Achse scheidet oder berührt. Aus dem Grphe der Kosiusfuktio lsse sich die gesuchte Nullstelle der Fuktio blese. Die Kosiusfuktio besitzt im Itervll die Nullstelle 90 ud 70.

45 Aufgbe 6 Für die Umwdlug vom Grdmß i ds Bogemß ud umgekehrt k die folgede Beziehug verwedet werde: 360 Diese Beziehug gibt, dss sich der Wikel (im Grdmß) zu Bogeläge (im Bogemß) zu. 360 geuso verhält, wie die Für ergibt sich 360 / vereifche der rechte Seite / Durch eie Bruch wird geteilt, idem mit dem Kehrwert multipliziert wird. / kürze vo / 360

46 Themebereich XV Logrithme Für die Lösug der Aufgbe i diesem Themebereich sollte zuächst eiml Klrheit drüber bestehe, ws uter dem Begriff Logrithmus zu verstehe ist. Des Weitere wird die Ketis der Recheregel für Logrithme erwrtet. Mit Hilfe dieser Regel solle logrithmische Terme zusmmegefsst oder zerlegt werde. Außerdem köe Aufgbe zum Löse eifcher logrithmischer oder epoetieller Gleichuge gestellt werde. Defiitio: Die Epoetilgleichug heißt Logrithmus vo b zur Bsis. b besitzt für, b > 0 ud die Lösug log ( b) ud Recheregel für Logrithme: log log log ( u) log ( u) log ( u w ) wlog ( v) log ( v) log ( u) ( u v) u v Besodere Logrithme: log log ( ) () 0

47 Aufgbe 6 Für die Lösug dieser Aufgbe ist die Ketis der Recheregel für Logrithme erforderlich: log log log ( u) log ( u) log ( u w ) wlog ( v) log ( v) log ( u) ( u v) u v log b / Zur Verdeutlichug der Recheregel werde Klmmer um ds Argumet gesetzt. log ( b ) / Awedug der erste Recheregel log ( u) log ( v) log ( u v) log ( ) log ( b ) / Awedug der dritte Recheregel log ( u log ( ) log ( b) / log ( ) log ( b) w ) wlog ( u), d

48 Aufgbe 63 Die Epoetilgleichug heißt Logrithmus vo b zur Bsis. b besitzt für, b > 0 ud die Lösug log ( b) ud Die Lösug der Gleichug lutet dher log (). Die Klmmer um ds Argumet drf uch weggelsse werde. Die Lösug lutet d log.

49 Themebereich XVI Verstädis vo Grphe (iklusive trigoometrische Fuktioe, Logrithmus- ud Epoetilfuktio) I diesem Themebereich werde Aufgbe zum Verstädis vo Grphe gestellt. Dbei k es sich z.b. um die folgede Aufgbetype hdel: Es solle Aussge über ds Aussehe/ de Grphe eier bestimmte Fuktio getroffe werde. Eiem Grphe soll die etsprechede Fuktiosgleichug zugeordet werde. Eiem Schverhlt us eier Tetufgbe soll ei psseder Grph zugeordet werde.

50 Aufgbe 64 Bei der bgebildete Fuktio hdelt es sich um eie hrmoische Schwigug, die i der llgemeie Form y A cos( ) drgestellt werde k. Ds A wird ls Amplitude bezeichet ud der Betrg vo A gibt die Streckug oder Stuchug des Grphe im Vergleich zur Grudfuktio y cos(). We A >, d ist der Grph der Fuktio mit dem Fktor A gestreckt. We A <, d ist der Grph der Fuktio mit dem Fktor A gestucht. Die Periodeläge p der Fuktio errechet sich us der Formel p. Die Periodeläge gibt, uf welchem Bereich der Grph der Fuktio eie vollstädige Schwigug durchläuft. Die Grudfuktio y cos() besitzt zum Beispiel die Amplitude p. A ud die Periodeläge Aus dem drgestellte Grphe lässt sich blese, dss die Amplitude A ud die Periodeläge p 3,4 beträgt. Dmit k die Lösug usgeschlosse werde, d die Amplitude dort A ist. Mit Hilfe der Formel für die Periodeläge k Alph berechet werde: p / p / : p / Bei dem bgebildete Grphe ist p. p Die richtige Lösug ist lso d.

51 Aufgbe 65 Bei der Fuktio Epoete steht. f ( ) 5 5 hdelt es sich um eie Epoetilfuktio, d die Vrible im Am leichteste lässt sich der richtige Grph fide, we mrkte Pukte des Grphe betrchtet werde. Isbesodere die Schittpukte mit de Achse köe sehr ufschlussreich sei. Alle Schittpukte mit der y-achse hbe gemeism, dss die -Koordite ull ist. Dmit k die zugehörige y-koordite berechet werde. y f (0) Lösug c ud d sid uszuschließe, d bei Lösug c die y-koordite 5 beträgt ud bei Lösug d ist y ei Wert kpp über ull. Alle Schittpukte mit der -Achse hbe gemeism, dss die y-koordite ull ist. Abbildug zeigt keie Schittpukt mit der -Achse. Deshlb k och keie Aussge drüber getroffe werde, ob richtig oder flsch ist. Abbildug b besitzt eie Schittpukt mit der -Achse der Stelle =. We Lösug b richtig sei soll, d muss y f ( ) 0 sei. Überprüfug: y f () Die richtige Lösug ist b.

52 Themebereich XVII Grezwerte I diesem Themebereich werde grudlegede Ketisse über Grezwerte vo Folge ud Fuktioe erwrtet. Isbesodere solle Aussge über ds Verhlte eier Folge/ Fuktio im Uedliche bzw. eier kokrete Stelle getroffe werde. Eie Uterscheidug i liks- ud rechtsseitige Grezwerte wird ber icht erwrtet. Auch die Grezwertregel vo Beroulli ud de L Hospitl sid hier icht prüfugsrelevt.

53 Aufgbe 66 lim Bei der Lösug dieser Aufgbe köe die folgede Überleguge hilfreich sei: ist eie Zhl, die größer ls ist. ist eie Zhl, die zwische 0 ud liegt. ist eie Zhl, die zwische - ud 0 liegt. Für dürfe usschließlich türliche Zhle (positive gze Zhle) eigesetzt werde, d es sich bei dem gegebee Term um eie Folge hdelt. Eie Zhl, die egtiv ist ud mit eier türliche Zhl poteziert wird, wechselt ihr Vorzeiche, je chdem, ob der Epoet gerde oder ugerde ist. Beispiele: ( 3) 9 3, ( 3) 7, ( 3) 4 5 8, ( 3) 43 Eie Zhl, die zwische - ud 0 liegt ud mit eier immer größer werdede türliche Zhl poteziert wird, ähert sich immer mehr ull. Beispiele: ( 0,) 0, 0 3, ( 0,) 0, 00, ( 0,) 4 0, ( 0,) 0,0000, ( 0,) 6 0, 00000, Auf Grud dieser Überleguge lutet die Lösug: lim 0

54 Aufgbe 67 lim / Der Grezwert k vom Zähler ud Neer getret berechet werde. lim lim ( 3 4) (5 4 3 ) / Sowohl der Zähler ls uch der Neer ethlte eie gzrtiole Term. Bei gzrtiole Terme etscheidet ds mit dem höchste Epoete über ds Verhlte im Uedliche. Dher gilt für de Zähler lim ( 3 4) ud für de Neer lim (5 4 3 ) Zusmme gefsst lässt sich schreibe:. lim Der Ausdruck lim wird ls ubestimmter Ausdruck bezeichet, d dieser Stelle och icht gesgt werde k, ws ds Ergebis dieses Ausdrucks ist. Um ds Ergebis bestimme zu köe, sid Umformuge erforderlich. Ds mit dem höchste Epoete wird sowohl im Zähler ls uch im Neer usgeklmmert. / kürze vo 3

55 lim / Die Brüche 4 5 ud 3 bezeichet, d sie für werde ls Nullfolge gege ull strebe. Übrig bleibe die im Zähler ud die -4 im Neer.

56 Themebereich XVIII Grudketisse der Differetilrechug I diesem Themebereich werde folgede Grudketisse der Differetilrechug erwrtet: Ws ist eie Ableitug ud ws k mit ihrer Hilfe berechet werde? Berechug eifcher Ableituge (ohe Produkt-, Quotiete- ud Ketteregel) Berechug vo Etremstelle eifcher Fuktioe

57 Aufgbe 68 Für die Ableitug ) ( ' f eier Potezfuktio f ) ( gilt: f ) ( ) '( f Um die Fuktio f ) ( bleite zu köe, wird die Fuktio mit Hilfe der Regel m m umgeschriebe: ) ( f Die Ableitug lutet d: ) '( f Negtive Epoete werde mit Hilfe der Regel umgeschriebe: ) '( f Auch Brüche im Epoete werde umgeschriebe m m : f ) '(

58 Aufgbe 69 Mit Hilfe der Ableitug eier Fuktio k die Steigug der Fuktio eier bestimmte Stelle berechet werde. Bei der gegebee Fuktio hdelt es sich um eie Differez vo Potezfuktioe. Für die Ableitug eier Potezfuktio gilt: f ( ) f '( ) Die Ableitug der gegebee Fuktio lutet: f ( ) f '( ) 3 4 Die Steigug der Stelle etspricht der erste Ableitug dieser Stelle: f '() 0

59 Themebereich XIX Grudketisse der Itegrlrechug I diesem Themebereich solle eifche Aufgbe zur Itegrlrechug gelöst werde. Die Berechug vo Flächeihlte k Bestdteil dieser Aufgbe sei. Es werde jedoch keie spezielle Verfhre wie z.b. Substitutio, prtielle Itegrtio oder Prtilbruchzerlegug erwrtet.

60 Aufgbe 70 Für die Berechug des Itegrls k die folgede Formel verwedet werde: d c Bevor diese Formel gewedet werde k, muss die Fuktio so umgeschriebe werde, dss ds icht mehr im Neer des Bruches steht. Hierzu wird die Umschreibregel beutzt. ( ) d / umschreibe: ( ) d / itegriere: d c ( ) c / zusmmefsse ( ) c / egtive Epoete wieder zu positive Epoete umschreibe: ( ) c Die richtige Lösug ist c.

61 Aufgbe 7 Für die Berechug des Flächeihltes, de die Fuktio mit der -Achse eischließt, werde zuächst die Nullstelle der Fuktio berechet: f ( ) 0 0 / / : ( ) / Die Nullstelle sid die Greze, i dee ds Itegrl berechet wird: ( ) d / itegriere: d c 3 3 [ c] 3 / Zuerst die obere Greze für eisetze ud 3 3 d die utere. c ( ( ) ( ) c) 3 / vereifche c c c c 3 3