ZAHLENFOLGEN Teil 1. Einführende Beispiele Arithmetische Folgen INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Datei Nr

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1 ZAHLENFOLGEN Teil Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Dtei Nr. 400 Friedrich Buckel Std: August 006 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Ihlt Eiführede Beispiele. Erste Defiitio. Beispiele: Zhlefolge i ufzähleder Schreibweise. Übuge.4 Aufgbe Lösuge zu. Lösuge zu Zhlefolge sid Fuktioe 5.6 Übuge dzu 6 Lösuge zu Rekursive Folge 8.8 Aufgbe dzu 8 Lösuge zu.8 9 Liere Folge Arithmetische Folge 0. Defiitio eier liere Folge 0. Aufgbe dzu. Die wichtige rithmetische Eigeschft liere Folge.4 Aufgbe 6 Lösuge zu. 7 Lösuge zu.4 8 Arithmetische Folge höherer Ordug. Arithmetische Folge. Ordug. Arithmetische Folge. Ordug 5. Aufgbe 6 Lösuge 7-0 Die Lösuge zu de meiste Aufgbe ud ds Kpitel befide sich ur uf der Mthemtik-CD. Die Fortsetzug (Geometrische Folge) folgt i der Dtei Folge Nr. 400.

3 400 Zhlefolge Eiführugsbeispiele. Erste Defiitio Eiführede Beispiele Eie Zhlefolge ist eie geordete ud ummerierte Liste vo Zhle, die etweder i der ufzählede Schreibweise oder durch eie Berechugsvorschrift gegebe sei k.. Beispiele: Zhlefolge i der ufzählede Schreibweise: () ; 4; 6; 8;... Diese Folge besteht us lle gerde Zhle i steigeder Folge, begied bei. (b) ; 4; 9; 6;... Es hdelt sich um die Folge der Qudrtzhle, begied bei. (c) ; ; 5; 7; ;... Es hdelt sich um die Folge ller Primzhle. Es gibt dzu keie lgebrische Bildugsvorschrift. (d) ; ; ; ;... Dies ist die Folge ller Stmmbrüche. Sie hbe im 4 Zähler stets die Zhl. (e) ; 7 ; ; 5 ;... Hier muss ufflle, dss lle Zhle de Abstd 4 hbe ud die kleiste ist. (f) 5; 5; 5; 5;... Die ist eie lterierede Folge (d.h. mit wechselde Vorzeiche), bestehed ur us 5 ud -5. (g) 5; 5; 5; 5;... Diese Folge beschreibt m wie (f), sie begit ur mit 5 ud ist dher eie dere Zhlefolge!! (h) 4 ; ; ; ;... Dies ist die Folge der Zhle, die us 4 durch fort- gesetzte Hlbierug etsteht. (i) ; ; ; ; 5 ; 8 ;... Diese Folge begit mit zwei Eise, d folgt jeweils die Summe der beide Vorgäger 4 (j) ; ; ; ;... Die Folge begit mit. D erhöhe sich Zähler 4 5 ud Neer jeweils um. (h) 00 ; 99 ; 9 ; 7 ;... Die Folge begit mit 00. D wird jeweils eie Kubikzhl subtrhiert, begied mit.

4 400 Zhlefolge Eiführugsbeispiele. Aufgbe (Lösuge uf Seite ) Gegebe sid die erste Glieder eier Zhlefolge. Schreibe die ächste 4 dzu ud gib die Bildugsvorschrift mit Worte. () 8; 4; 0; 4;... (b) ; 6 ; 4 ; ;... (c) 8 ; ; 4 ; 7 ;... (d) 8;4; 0; 6;... (e) 60 ; 59 ; 56 ; 5;... (f) 4 ; ; 0 ; 5 ;.. (g) ; 9; 7; 8; (h) 78 ; 7 ; 54 ; 0 ;... (i) 5 ; 0 ;5 ; 0 ;... (j) 5; 0;0; 40;... (k) ; ; ; 5 ;... (l) 4 ; ; 6 ; ;... ; ; ; ; (m) 9.4 Aufgbe mit Lösuge uf Seite 4 Gegebe sid die erste Glieder eier Zhlefolge. Schreibe die ächste 4 dzu ud gib die Bildugsvorschrift mit Worte. () ; ; ; 5 ;... (b) ; ; ; ; (c) 40 ; 8 ; 6 ; 4 ;... (d) ; ; ; ; (e) 99 ; 96 ; 9; 84 ;... (f) ; ; ; ; (g) ; ; ; 5; 8;... (h) 6 ; 9 ; ; ; (i) 0;6; 6;8;... (j) ; ; ; 0 ; (k) 4; 5; 8; ; (l) ; ; ; ;

5 400 Zhlefolge Eiführugsbeispiele Lösuge zu. () 8; 4; 0; 4; 8 ;;6;0 (blu die eue Glieder der Folge) Aufsteigede Folge mit Abstd 4, begied bei 8. (b) = ; 6 = ; 4 = ; = ; ; = ; ; = ;... (rot zur Erklärug) Die Folge besteht us Brüche mit dem Zähler ud dem Neer,, usw. (c) 8 ; ; 4; 7; 0; 7; 4 ; ;... Fllede Folge mit der Differez 7, begied bei 8. (d) 8;4; 0 ; 6; ; 8 ; 44; 50 ;... Steigede Folge mit der Differez 6, begied bei 8. (e) 60 ; 59 = 60 ; 56 = 60 4 ; 5 = 60 9 ; 44 = 60 6 ; 5 ; 4 ; ;... Die Folge etsteht us 60 durch Subtrktio der Qudrtzhle 0,, 4, 9, 6,... (f) 4 ; = 4 + ; 0 = ; 5 = ; = 8; ; ; 5;... Die Folge etsteht us 4 durch Additio der Qudrtzhle 0,, 4, 9, 6,... (g) ; 9; 7; 8; 4 ; 79 ; 87 ; 656;... Es hdelt sich um Dreierpoteze. (h) 78 = 8 ; 7 = 8 9 ; 54 = 8 7 ; 0 = 8 8; 6 ; 648 ; 06 ; 6480 Die Dreierpoteze werde vo 8 subtrhiert. Oder diese Methode: 78 7 ( ) ( ) ( ) ( ) usw = 8 = 5 4 = 6 = 486 (i) 5; 0;5; 0; 5 ; 0 ;5; 40;... Die Folge besteht us gzzhlige Vielfche vo 5. Die gerdzhlige Vielfche erhlte ei egtivem Vorzeiche. (j) 5; 0;0; 40; 80 ; 60 ; 0 : 640 ;... Alterierede Folge, begied mit 5. Fortgesetzte Multipliktio mit (-). (k) ; ; ; 5; 7; 9; ; ; 5 ;... Es wird fortlufed subtrhiert, begied bei (l) = = = = = ; = ; = ; ; ; ; ; 6 ; ; ;... Etweder: 4 dividiert m durch Poteze vo (-): ; - ; 4 ; -8 ; 6 ; - ; usw. Oder 4 wird fortgesetzt durch - dividiert. ; ; ; ; ; ; ; Begied mit 4 wird fortgesetzt im Zähler, im Neer dzuddiert (m) = = = =

6 400 Zhlefolge Eiführugsbeispiele 4 Lösuge zu.4 (blu = eu, rot = Erklärug) () ; ; ; 5 ; 7; 9; ; ;... Fllede Folge durch fortgesetzte Subtrktio vo, begied mit. (b) ; ; ; ; = ; ; 4; 8 ; Wchsede Folge durch fortgesetzte Multipliktio mit, begied bei 6 (c) 40 ; 8 = 40 ; 6 = 8 ; 4 = 6 ; 8; 0; ; 44 Fllede Folge durch fortgesetzte Subtrktio vo, begied bei (d) ; = ; ; = ; ; = ; ; = ; Folge vo Bruchzhle, dere Zähler um ud der Neer um vergrößert werde, begied bei. 4 (e) 99 = 00 ; 96 = 00 4 ; 9 = 00 9; 84 = 00 6 ; 75 ; 64 ; 5; 6 ;... Vo 00 wird die Folge der Qudrtzhle subtrhiert. Oder: Es wird fortgesetzte die Folge der ugerde Zhle subtrhiert ( ; ; 5 ; 7 ;...) begied bei (f) ( ) 8 ( ) 8 ( ) 4 ( ) 5 = ; ( ) ; = ; ; = = ; = ; ; 4 Der Bruch wird poteziert, die Expoete sid die Folge, -,, -4, (g) ; ; = + ; 5 = + ; 8 = + 5; = ; ; 4 ; 55 ;... Die erste beide Zhle sid ud, d ist jede weitere Zhl die Summe ihrer beide Vorgäger (h) ; ; ; ; 9 ; ; ; ;... Die Folge begit mit 6, d wird fortlufed durch 4 dividiert. (i) 0 = + ( ) ;6 = + ( ) ; 6 = + ( ) ;8 = + ( ) 4 ; 0 = + ( ) 5 ; = + ( ) ; 6 = + ( ) ; 58 = + ( ) Zur Zhl werde gzzhlige Poteze vo (-) ddiert (j) ; = ; ;0 = ; ; = ; = ; = Die Folge begit mit 5. D wird fortgesetzt der Zähler um 5 verkleiert, der 8 Neer um vergrößert. 4; 5 ; 8 ; ; 0 ; 9 ; 40 ; 5 Die Folge begit mit 4, d wird fortgesetzt die Folge der ugerde Zhle ddiert. (k) = 4 + = 5 + = = + 7 = = 9 + ; ; ; ; ; ; ; ; (l) = = = Die Folge begit mit 6 7. D wird fortgesetzt mit multipliziert.

7 400 Zhlefolge Eiführugsbeispiele 5.5 Zhlefolge sid Fuktioe Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jeder Zhl des Defiitiosbereiches wird ei eideutiger Fuktioswert zugeordet. Dbei wird die Grudmege der reelle Zhle zugrude gelegt. Der Defiitiosbereich ist die Teilmege der Grudmege, der uch wirklich Fuktioswerte zugeordet werde (köe). Nimmt m ls Grudmege die Mege N der türliche Zhle, oder ber N O = { 0;;;;... }, d wird jeder türliche Zhl ei Fuktioswert zugeordet. M et dies d uch Zhlefolge. () Nehme wir de Fuktiosterm f() = mit G= N, d erhlte wir diese Folge: f() = ; f() = 4 ; f() = 6 ; f(4) = 8 usw. Meistes schreibt m dfür d kürzer =, = 4 ; = 6, 4 = 8 usw. Die wr ds Beispiel () vo Seite. (b) Oder f() = bzw. = ergibt =, = 4, = 9, 4 = 6 usw. Dies wr Beispiel (b) vo Seite. Hier eie Reihe weiterer Fuktiosterme für Zhlefolge: (c) f() = 4 bzw. = 4. Dies ergibt die Folge ; 7 ; ; 5 ;... (d) (e) (f) (g) (h) (i) f() = = 50 5 ergibt = 45; = 40; = 5; 4 = 0;... = ergibt = ; = 0; = ; 4 = 8 usw. 6 6 = ergibt = 6; = 8; = ; 4 = 4; = ergibt = ; = = 7 ; = existiert icht!! = ; 5 = 8 ; 6 = ;... Hier gibt es für die Zhl keie Fuktioswert, d.h. ds. Glied der Folge existiert icht. Sie ht ushmsweise eie eigeschräkte Defiitiosbereich D = N\. { } = ( ) ist eie gz iteresste Folge. Für gerdes wird der Wert +, für ugerdes dgege : = ; = ; = ;... usw. = ( ) (+ 5) Der Fktor ( ) mcht die Folge zu eier lterierede Folge, d.h. die Glieder hbe bwechseld positives ud egtives Vorzeiche: = 7 ; =+ 9 ; = ; 4 = usw.

8 400 Zhlefolge Eiführugsbeispiele 6 (j) = +. Vergleiche bitte die Folge (i) ud (j). Der eizige + ( ) ( 5) Uterschied ist der Fktor ( ) bzw. ( ) + Die Wirkug sieht m i eier Tbelle m beste: ( ) ( ) (+ 5) ( ) + + ( ) (+ 5) We gerde ist, d ist + ugerde ud umgekehrt. Die Glieder der Folge i (i) ud (j) hbe lso stets ds etgegegesetzte Vorzeiche: (k) Drei gz wichtige Folge sid () = Sie liefert lle gerde Zhle () = Sie liefert lle ugerde Zhle. () = + Sie liefert ebeflls ur ugerde Zhle, begied b =. Lässt m hier jedoch bereits b 0 lufe, d erhält m wege 0 = lle ugerde Zhle..6 Aufgbe Bereche jeweils bis 5! () = (b) = 4 0 (c) = (d) 6 = + (e) (g) (i) 4 = 8 (f) = ( ) 4 + ( ) = (h) = = ( ) (j) = 4 8 = (l) = (k) (m) (o) (q) π = + 4 () = si( ) 4 ( ) + ( ) = (p) = = ( ) (r) = +

9 400 Zhlefolge Eiführugsbeispiele 7 Lösuge zu.6 () (b) (c) (d) (e) = -8 ; -5 ; - ; ; 4 ;... = ; 4 ; -6 ; -6 ; -6 ;... 6 = -5 ; - ; -7 ; 0 ; 9 ;... = + ; ; 6 ; ; 8 ;... 8 = -8 ; - 4 ; 0 ; 0 ; 8 ; (f) (g) (h) (i) (j) 4 = - ; - ; ;0; ;... 5 ( ) 4 9 = ; 0 ; ; = ; ; ( ) = ; ; ; ; ; = ( ) = ; = 4 ; = ; 4 = ex. icht ; 9 ; = ; ; ;4; ; = 8; 4; ; ; ;... (k) (l) = ; 7 ; 4 ; 87 ; 968 ;... (m) = + 4 5; 6; 7; 8; ;... π () si( ) 4 = = si( π 4 ) = ; ( ) = si( π 4 ) = ; ( ) 4 5 = si( π ) = ; = si π = ; = si π = 0 ; (o) ( ) + = 0; ; 0; ; 0; ;... (p) = ( ) ; ; ; 4 ; ;... = 5 (q) (r) = ( ) = + 4 ;= ;5 = 5;7 = 4; 9 = 656;... 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ; = ; = ; = ; =

10 400 Zhlefolge Eiführugsbeispiele 8.7 Rekursive Folge Eie Folge heißt rekursiv, we m keie direkte Möglichkeit ht, beliebige Glieder der Folge (z.b. 7 ) zu bereche, soder we m die Glieder der Folge us seie Vorgäger berechet. Beispiele: () = 5; = +. Hier berechet m = + = 5 + = 8. oder = + = 8 + =. Aber 7 = 6 + =? We m 6 och icht ket, d läßt sich uch 7 icht bereche. (b) = ; = - - Also: = - = - D = - = 4 = - = - usw. (c) = 0 ; = Also: = = 0 D = = 5 (d) 4 = =,5 usw. = ; = - Also = = D = = 0 4 = 0 4 = - 4 usw. (e) = ; = ; = Also = + = + = D 4 = + = + = 5 = 4 + = + = 5 usw..8 Aufgbe: Bereche bis 5. () = ; = (b) = ; = + (c) = 4 ; = (d) = ; = 4 (e) = ; = (f) = ; = ( ) (g) = ; = (h) = ; = ; = (i) = 4 ; = + (k) = 0 ; =

11 400 Zhlefolge Eiführugsbeispiele 9 Lösuge zu.8 () = ; = (b) = ; = + (c) = 4 ; = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 5 8 ; ; 6; 9; ; ;... 4 (d) = ; = 4 ; 5 ; ; 5 ; ;... (e) = ; (f) = ; = ; ; ; ; ;... = ( ) ; 4 ; 6 ; 56 ; 6556 ;... (g) = ; = (h) = ; = ; = (i) = 4 ; = ; ; = = ; ; ;... 4 ; ; = ; ; = 4; ; ; 4 + = ; + = ; + = ; (k) = 0 ; = 0 ; ; ; 4 ; 6 ; 6556 ;...

12 400 Zhlefolge Arithmetische Folge 0 Didktische Vorbemerkug Liere Folge - Arithmetische Folge M k die Eiführug dieser spezielle Folge uf zwei prizipiell verschiedee Arte mche. Etweder m defiiert eie rithmetische Folge durch die kostte Abstäde ihrer Glieder, oder m geht vom liere Fuktiosterm us. Ich beschreite hier de letzte Weg.. Defiitio eier liere Folge Eie Folge, die durch eie liere Fuktiosterm wird, heißt eie liere Folge. = d + c defiiert Beispiele: () (b) = ergibt = ; = 0; = ;4 = ;5 = usw. = + ergibt = ; = 5; = 7;4 = 9;5 = usw. Nu schreibe ich zwei liere Gleichuge uf: () y = x ud () y = x+, Diese Gleichuge stelle Gerde im x-y- Achsekreuz dr. Auf ihe liege die Pukte, die zur Folge gehöre: Bei (): ( );( 0 );( );( 4 );( 5 ) usw. Bei (b): ( );( 5 );( 7 );( 4 9 );( 5 ) usw. =- y=x- = - M erket, dß die zur Folge gehörede Pukte ( ) ; ( ) ;...; ( ) ;... uf de Gerde liege, die zu de x-y-gleichuge gehöre. y=x+ Ds Schubild eier Zhlefolge ist lso ur eie Mege eizeler Pukte. Weil diese Pukte uf eier Gerde liege, ist der Begriff liere Folge verstädlich.

13 400 Zhlefolge Arithmetische Folge (c) (d) = 0,5 + 5 = 4,5; = 4; =,5;4 = ;5 =,5 usw. = 7 = 4; = ; = ; 4 = 5; 5 = 8 usw. Die Gleichuge der zugehörige Gerde sid () y = x+ 5 ud (4) y = x + 7 = 7 Hier die zugehörige Schubilder. y = 7 x y = x+ 5 = + 5. AUFGABEN Bereche die erste 5 Glieder der liere Folge ud erstelle ei Schubild: () = 5 (b) = + 4 (c) = 4+ (d) =

14 400 Zhlefolge Arithmetische Folge. Die wichtige rithmetische Eigeschft eier liere Folge Ds Beispiel () i. ethielt die Folge = mit de Werte = ; = 0; = ; = ; = usw. 4 5 Wir beobchte: Ds Beispiel (b) i. ethielt die Folge = + mit de Werte = ; = 5; = 7;4 = 9;5 = Wir beobchte: Die Folge = + 5 ht die Werte = 8; = ; = 4; 4 = 7; 5 = 0;... Wir beobchte: Die Folge = ht die Werte = ; = ; = ; = 0; = ; Wir beobchte Zusmmegefßt: Der Abstd, lso die Differez zweier ufeiderfolgeder Glieder, ist bei diese liere Folge immer gleich groß, ud zwr so groß, wie der Koeffiziet vo gibt: Bei = ist der Abstd ufeiderfolgeder Glieder. Bei = + ist der Abstd ufeiderfolgeder Glieder. Bei = + 5 ist der Abstd ufeiderfolgeder Glieder. Bei = ist der Abstd ufeiderfolgeder Glieder. Ds läßt de Verdcht ufkomme, dß ds immer so ist: Beweis: Bei eier liere Folge ist der Abstd (die Differez) ufeider folgeder Glieder immer kostt. Dher heiße solche Folge uch rithmetische Folge. Eie liere Folge ht eie Fuktiosterm der Form = d + c. D lutet ds ächste Glied: = ( ) d c = d + d + c. Wir bereche die Differez: ( ) ( ) = d + + d + c d + c = d Ergebis: Die Differez ufeiderfolgeder Glieder eier liere Folge ist kostt ud zwr so groß, wie der Koeffiziet vo gibt. Bemerkug: Dieser Koeffiziet ist bei der etsprechede x-y-gerdegleichug y = mx + die Steigugszhl m.

15 400 Zhlefolge Arithmetische Folge Nu köe wir türlich uch sichergehe, dß dies uch für Folge gilt, bei dee d eie egtive Zhl ist. Schue wir us dzu zwei scho gezeigte Beispiele us. : (c) = 0,5 + 5 mit de Werte = 4,5; = 4; =,5;4 = ;5 =,5... 4,5 4,5,5... 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (d) = 7 mit de Werte = 4; = ; = ;4 = 5;5 = Grudufgbe: Beweise, dß die Folge mit eie rithmetische Folge ist. = 48 6 BEWEIS: ( ) ( ) d= + = 48 6 (+ ) 48 6 d = = 6 Weil die Differez ufeiderfolgeder Glieder kostt ist, liegt eie rithmetische Folge vor. Aus dieser schöe Eigeschft läßt sich eie Berechugsformel herleite: + d + d + d 4 + d 5 + d 6 + d 7 = + d 7 = 5 + d 4 = + d 5 = + d 6 = + 5d 7 = + 4d Es gibt eie herrliche Gedächtisstütze für die drgestellte Zusmmehäge, ämlich ds Lttezu-Modell. Betrchte wir die Gleichug 6 = + 4d. Die bedeutet 6 = 4d. Ud ds weiß u doch jeder: Zwische der 6. ud der. Ltte sid 4 Zwischeräume! Oder 4 = + d 4 = d: Zwische der. ud 4. Ltte sid doch drei Zwischeräume.

16 400 Zhlefolge Arithmetische Folge 4 Dies k m für folgede Aufgbestellug usütze : Grudufgbe: Vo eier rithmetische Folge ket m 4 = 7 ud 0 = 59. Bereche die erste 5 Glieder der Folge. LÖSUNG: Nch der Lttezumethode folgt 6d = = 59 7 = 4 d = Alog: 4 = + d = 4 d = 7 7 = 7 = 4 Also Ds gze läßt sich verllgemeier: D gilt uch = ( ) d bzw. = + ( ) d Für eie beliebige rithmetische Folge gilt: m = (m ) d = ( ) d = + ( ) d Beispiel: Aus = 4 ud d= 7 folgt = 4 + ( ) 7= = 7 Dies ist der Fuktiosterm us dem obige Beispiel! Noch eiige Beispiele: (e) Eie rithmetische Folge ist gegebe durch = 6 ud 0 = - 6. Bereche ud d ud stelle die Berechugsformel für uf. Lösug: 7d = 0 = 6 6 = 4 d = 6. = d = 6 ( ) = 6 + = 8 = + ( ) d= 8 + ( ) ( 6) = = 4 6.

17 400 Zhlefolge Arithmetische Folge 5 (f) Prüfe ch, ob eie rithmetische Folge vorliegt ud stelle d die Berechugsvorschrift uf: = 86 ; = 8 ; 5 = 74 LÖSUNG: (Wir müsse überprüfe, ob die Differeze kostt sid:) = 8 86 = = d 5 = 74 8 = 96 We eie rithmetische Folge vorliegt, muß 5 = d sei: d = 96 d =. Dies stimmt, lso liegt eie rithmetische Folge vor. Ud es gilt: = + ( ) d = 86 + ( ) = 86 + = + 54 (g) Prüfe ch, ob eie rithmetische Folge vorliegt ud stelle d die Berechugsvorschrift uf: = 900 ; 7 = 600 ; 4 = 075 LÖSUNG: 7 = 4d = 00 d = 75 () 4 7 = 7d = = 55 d = 75 (). Die Rechug () ud () führe zum selbe Wert vo d, lso liegt eie rithmetische Folge vor mit = d = 900 ( 75) = 050 ud = + ( ) d = ( ) ( 75) = = (h) Zeige, dß jetzt keie rithmetische Folge vorliegt: = 0 ; 4 = 9 ; 7 = 504 Beweis: 4 = 9 0 = 7 = d d = = 50 9 = = d d = 7 Weil die zweite Berechug vo d zu eiem dere Ergebis führt, k keie rithmetische Folge vorliege! (M muß sich uch de pssede Text zu eier solche Rechug eiflle lsse! )

18 400 Zhlefolge Arithmetische Folge 6.4 Aufgbe () Beweise, dß eie rithmetische Folge vorliegt. Stelle eie Berechugsvorschrift uf. ) = - 8 ; 5 = 6 ; 8 = 07 b) = 49 ; 6 = 405 ; 0 = 56 c) = 96 ; 6 = 6 ; 5 = 7 d) = 08 ; 0 = 7 ; 0 = ; = - 99 () Zeige, dß keie rithmetische Folge vorliegt. Wie müßte lute, we eie rithmetische Folge vorliege sollte? ) 5 = 450 ; 7 = 506 ; = 674 b) 6 = 60 ; 8 = 560 ; = 455 () Gegebe sid die rithmetische Folge ud b. Prüfe ch, ob c = + b ; d = - b ; e = ud f = b rithmetische Folge sid. für = 6 ud b = + 5 (4) Gegebe sid Glieder eie Folge. Setze so weig wie ötig Zhle dzwische, dmit eie rithmetische Folge etsteht. Bereche d ud. ) 6 = ; b = 56 ; c = 07 b) b = 88 ; 5 = 40 ; c = 80 c) b = - 84 ; c = - 9 ; 0 = 4 (5) Ist b ei Glied der gegebee Folge? ) = ; b = 808 b) = 40 8 ; b = -90 c) = 64 ; 6 = 56 ; b = 640 d) 0 = 5 ; 4 = - 5 ; b = 75 (6) Beweise llgemei, dß eie Folge der Form keie rithmetische Folge ist. f = + b+ c

19 400 Folge Arithmetische Folge 7 Lösuge zu. Bereche die erste 5 Glieder der liere Folge ud erstelle ei Schubild: 7 5 () = 5 = ; = ; = ; = ; = ; (b) = + = ; = = ; = ; = 4; = ; (c) = 4+ = 8; = 4; = 0;4 = 4;5 = 8;... (d) 5 = = = = 4 = 5 = ; ; ; ; ;... = 5 = + 4 y = x+ 4 y = x 5 = 4+ y = 4x+ = y = x

20 400 Folge Arithmetische Folge 8 Lösuge zu.4 () Beweise, dß eie rithmetische Folge vorliegt. Stelle eie Berechugsvorschrift uf. ) = - 8 ; 5 = 6 ; 8 = 07 5 = = 54 = d d = = 07 6 = 8= d d= 7 Weil beide Werte gleich sid, liegt eie rithmetische Folge vor mit = d = 8 54 = 8 ud = + ( ) d= 8 + ( ) 7 = = 7 09 b) = 49 ; 6 = 405 ; 0 = 56 6 = = 56 = 4d d = = = 56 = 4d d = 9 Weil beide Werte gleich sid, liegt eie rithmetische Folge vor mit = d = 49 9 = 0 ud = + ( ) d = 0 + ( ) 9 = = c) = 96 ; 6 = 6 ; 5 = 7 6 = 6 96 = 80 = 5d d = = 7 6 = 44 = 9d d = 6 Weil beide Werte gleich sid, liegt eie rithmetische Folge vor mit = 0d = = 456 ud = + ( ) d = ( ) ( 6) = = d) = 08 ; 0 = 7 ; 0 = ; = - 99 = 7 08= 870 = 7d d = 40 0 = 7= 400 = 0d d = = 99 = 4550 = d d = 40 Weil lle drei Werte gleich sid, liegt eie rithmetische Folge vor mit = d = 08 ( 40) = 00 ud = + ( ) d = 00 + ( ) ( 40) = =

21 400 Folge Arithmetische Folge 9 () Zeige, dß keie rithmetische Folge vorliegt. Wie müßte lute, we eie rithmetische Folge vorliege sollte? ) 5 = 450 ; 7 = 506 ; = = = 56 = d d = = = 68 = 5d d = =,6 5 Diese verschiedee d-werte sid ei Widerspruch zur Ahme, es liege eie rithmetische Folge vor. Richtiger Wert für : = d = = 646 b) 6 = 60 ; 8 = 560 ; = = = 70 = d d = = = 05 = 4d d = 5 4 Also liegt keie rithmetische Folge vor. Richtiger Wert für : = 8 + 4d = ( 5) = = 40 () Gegebe sid die rithmetische Folge ud b. Prüfe ch, ob c = + b ; d = - b ; e = ud f = b rithmetische Folge sid für = 6 ud b = + 5. c = + b = 8 + ist eie liere Folge (Gleichugstyp!) ud dher eie rithmethische Folge.. d = - b = 4-7 ist eie liere Folge (Gleichugstyp!) ud dher eie rithmethische Folge.. e = = 8-6 ist eie liere Folge (Gleichugstyp!) ud dher eie rithmethische Folge. 4. f = b = (6 )( + 5) = = ist keie liere Folge ud dher keie rithmetische Folge, ws wir wie folgt beweise (ud ds geht bei lle qudrtische Folge so): Beweis, dß f = keie rithmetische Folge ist: f = = 6 f = = 64 f = = 70 f f = = 0 ; f f = = 6. f f f f liegt keie rithmetische Folge vor. Weil

22 400 Folge Arithmetische Folge 0 (4) Gegebe sid Glieder eie Folge. Setze so weig wie ötig Zhle dzwische, dmit eie rithmetische Folge etsteht. Bereche d ud. ) 6 = ; b = 56 ; c = 07 b 6 = 56 = 4 ud c b = = 5 Der größte gemeisme Teiler dieser beide Differeze ist 7: 4 = 7 ud 5= 7, lso wähle wir die Folgedifferez d = 7. D muß zwische ud 56 die Zhl 7 = + 7 = 9 geschltet werde, b ist d 8. Ud zwische b ud c hbe wir Differeze (Abstäde), lso beötige wir dort Zwischewerte: 9 = = 7, 0 = = 90, = = 07 ist d c. Die Folge lutet lso Dmit folgt = 6 5d = 5 7 = 7 ud = + ( ) d= 7 + ( ) 7 = = 7+ 0 b) b = 88 ; 5 = 40 ; c = 80 5 b = = 48 ud c 5 = = 60 Der größte gemeisme Teiler dieser beide Differeze ist -: 48 = 4 ( ) ud 60 = 5 ( ), lso wähle wir die Folgedifferez d = D hbe wir zwische 88 ud 40 4 Differeze (Abstäde) ud schlte folglich Zhle dzwische: b = 8 ist dher Zwische b ud c hbe wir 5 Differeze (Abstäde), lso beötige wir dort 4 Zwischewerte: Dmit wir c = 80 zu 0. Wir erhlte d ( ) = 0d = 88 0 = = 508 ud = + ( ) d = ( ) ( ) = = 50

23 400 Folge Arithmetische Folge c) b = - 84 ; c = - 9 ; 0 = 4 c b = = 45 ud 0 c = = 6 Der größte gemeisme Teiler vo 45 ud 6 ist 9: 45 = 9 5 ud 6 = 9 7. Also hbe wir zwische b ud c 5 Abstäde der Größe 9 ud zwische c ud 0 7 Abstäde der Größe 9. Wir schlte lso zwische b ud c 4 Zhle ud zwische c ud 0 6 Zhle: Dmit wird b = 7, d vo 0 us zähle wir 5+7= Zwischeräume heruter, lso Zhle! Es folgt lso = 7 6d = = 47 ud = + ( ) d = 47 + ( ) 9 = (5) Ist b ei Glied der gegebee Folge? ) = ; b = = = 79 = 8. Erg.: b = 8. b) = 40 8 ; b = = = = 50 = 8,9... b ist lso kei Glied der Folge. c) = 64 ; 6 = 56 ; b = 640 d = 6 = = 9 d = 64 Aus b k d k d) 0 = 5 ; 4 = - 5 ; b = 75 b d 6 = 6 + = = = = d.h. b = d = 4 0 = 5 5 = 50 d =,5 (Fllede Folge!) b Aus b = 4 + k d k = = = = 6 d,5,5 Also wäre b = -. Ds ist icht möglich! b ist kei Glied der Folge.

24 400 Folge Arithmetische Folge (6) Beweise llgemei, dß eie Folge der Form keie rithmetische Folge ist. f = + b+ c Beweis: Wir zeige, dß die Differez zweier ufeiderfolgeder Glieder icht kostt ist: f ( ) b( ) c + = f = + b+ c f = ( ) b b [ ] + f c + b+ c [ ] [ ] f + f = b+ b + c + b + c f f = b Ud wie m sieht, hägt die Differez vo der Zhl b, bei der diese berechet wird. Sie ist lso icht kostt. Dher ist die Folge icht rithmetisch.

25 400 Folge Arithmetische Folge Arithmetische Folge höherer Ordug. Arithmetische Folge. Ordug Wir hbe i der Aufgbe 6 der vorgeggee Seite gesehe, dß eie Folge, die durch eie qudrtische Term berechet wird, keie rithmetische Folge mehr ist. Aber sie ht viel Ählichkeit dmit, ws wir m ächste Beispiel sehe werde: BEISPIEL = Übersicht: = = 0 = = 6 = = 4 4 = = 44 5 = = 56 6 = = 70 usw Erkee Sie, dß die Differeze eie rithmetische Folge bilde? M führt hier folgede Begriffe: Aus der Stmmfolge 0 ; 6, 4 ; 44 ; 56 ; 70 ;... Bildet m die. Differezefolge 6 ; 8 ; 0 ; ; 4 ;... Ud drus die. Differezefolge ; ; ; ;... Wir hlte usere Erketis fest: Bei dieser qudrtische Folge ist die erste Differezefolge eie rithmetische Folge, weil die. Differezefolge kostt ist. Ist ds bei jeder qudrtische Folge so? Die Atwort erreche wir us Hd der llgemeie qudrtische Folge: f = + b+ c Wir bereche f = (+ ) + b(+ ) + c ud drus (wie i Aufgbe 6) c [ + ] [ ] [ ] f+ f = ( ) b b b+ c f+ f = b+ b + c + b + c f f = b Diese. Differezefolge ee ich d = () ( b) + +. M erket, dß dies eie liere Folge, lso eie rithmetische Folge ist. Also ist die zweite Differezefolge kostt, ud zwr lutet sie kostt...

26 400 Folge Arithmetische Folge 4 ANWENDUNG BEISPIEL Gegebe ist die Folge durch = - ; = ; = 7 ud 4 = 7 Stelle eie mögliche Fuktiosterm für diese Folge uf ud gib 5. LÖSUNG M erket uf de erste Blick, dß keie rithmetische Folge vorliegt, d die Abstäde (Differeze) icht kostt sid. Aber (i diesem Abschitt ist es helieged) wir köe j eiml die. ud. Differezefolge sehe:. Differezefolge: ; 6 ; 0 ;.... Differezefolge: 4 ; 4 ;... Auf Grud der weige gegebee Glieder der Folge müsse wir sge: Die. Differezefolge köte kostt sei, d.h. die. Differezefolge ist rithmetisch. Nu hbe wir ur gezeigt, dß bei dieser qudrtische Folge die Differezefolge rithmetisch ist, ber wir hbe die Umkehrug icht bewiese. Ud die würde lute: We die. Differezefolge rithmetisch ist, d ist die Stmmfolge qudrtisch. Wir gehe deoch vo der Ahme us, die gegebee Folge ist qudrtisch ud erstelle uter dieser Ahme de Fuktiosterm. D köe wir de Beweis schell vollede. Jetzt die Rechug: ANSATZ: b c = + +. Zur Berechug der drei ubekte Koeffiziete, b ud c beötige wir drei ( ubhägige) Gleichuge. Diese erstellt m uter Verwedug der gegebee Glieder bis : = : = + b+ c = ( = : = 4+ b+ c = () = : = 9+ b+ c = 7 () () () : + b = (4) () () : 5 + b = 6 (5) (5) (4) : = 4 = I (4): b = = 6 = 4 I (): c = b = + 4 = ergibt = 4+. Nu wisse wir erst, dß diese Formel, ud richtig gerechet. Wir mche och die Probe für 4 = 6+ = 7! ud bereche och 5 = =.

27 400 Folge Arithmetische Folge 5. Arithmetische Folge. Ordug M k erhe, wie es mit Folge ussehe wird, die eie Fuktiosterm. Grdes zur Berechug verwede. BEISPIEL : f = f = = ; f = = 6 f = = 5 f = = 64 f5 = = 9 f = = 6 usw. Stmmfolge: ; 6 ; 5 ; 64 ; 9 ; 6 ;.... Differezefolge: 5 ; 9 ; 9 ; 65 ; 97 ;.... Differezefolge: 4 ; 0 ; 6 ; ;.... Differezefolge: 6 ; 6 ; 6 ;.,.. BEOBACHTUNG: Bei eier Folge. Ordug ist die. Differezefolge kostt, lso ist die. Differezefolge rithmetisch. (Folglich sollte die. Differezefolge qudrtisch sei!! ). Dies ütze wir us, um umgekehrt Fuktiosterme für Folge ufzustelle, we wir herusgefude hbe, dß ihre. Differezefolge rithmetisch ist. BEISPIEL 4: Stelle eie Fuktiosterm für diese Stmmfolge uf ud bereche 6. Stmmfolge : ; 0 ; -9 ; - ; -75 ;.... Differezefolge : - ; -9 ; - ; -4 ;.... Differezefolge : -8 ; -4 ; -0 ;.... Differezefolge : - 6 ; - 6 ;... D die. Differezefolge kostt ist, köte die Stmmfolge eie rithmetische Folge. Ordug sei. Dher begie wir mit dem Astz: b c d = ud stelle 4 Gleichuge uf: =: = + b+ c+ d= () =: = 8+ 4b+ c+ d= 0 () =: = 7+ 9b+ c+ d= 9 () =4 4 = 64+ 6b+ 4c+ d= (4) () (): 7 + b + c = (5) () (): 9+ 5b+ c = 9 (6) (4) (): 7+ 7b+ c = (7)

28 400 Folge Arithmetische Folge 6 (6) (5): + b = 8 (8) (7) (6): 8 + b = 4 (9) (9) (8) 6 = 6 = I (8): + b = 8 b = 4 b = I (5): c = c = 0 I (): d = d = 0 Ergebis: = +. ACHTUNG: Dmit k m bis 4 bereche. Zur Kotrolle der volle Wirksmkeit müsse wir och 5 überprüfe: = + = + = richtig! Gefrgt wr och = + = + =.. Aufgbe () Bereche 5 Glieder dieser Folge ud zeige dß die. bzw.. Differezefolge kostt ist. () (c) (e) 8 = + (b) = + (d) 0 = + + (f) = + = = () Zeige, dß eie Differezefolge kostt ist ud bereche druf hi de Fuktiosterm für die Folge. () ; 44 ; 69 ; 96 ;... (b) 9 ; ; - ; -0 ; -45 ;... (c) 0 ; 9 ; 6 ; -5 ; -70 ;... (d) ; 0 ; 6 ; 04 ; 58 ;... () Zeige durch Berechug vo 7 Glieder, dß die 4. Differezefolge bei = 4 kostt ist.

29 400 Folge Arithmetische Folge 7 Lösuge zu. () Bereche 5 Glieder dieser Folge ud zeige dß die. bzw.. Differezefolge kostt ist. () = 8+ Stmmfolge: 5 ; 0 ; - ; -4 ; -. Differezefolge: -5 ; - ; - ;. Differezefolge: ; ; (kostt!) (b) = + Stmmfolge: ; ; 0 ; -4 ; -0. Differezefolge: 0 ; - ; -4 ; -6. Differezefolge: - ; - ; - (kostt!) (c) = + Stmmfolge: ; ; 5 ; 5 ; 7. Differezefolge: ; ; 5 ; 7. Differezefolge: ; ; (kostt!) (d) = Stmmfolge: ; 8 ; 9 ; 64 ; 5 7. Differezefolge: ; 9 ; 7 ; 6. Differezefolge: 4 ; 6 ; 8. Differezefolge: ; ; (kostt!) (e) = Stmmfolge: ; 6 ; - ; -6 ; -95. Differezefolge: -5 ; -7 ; -5 ; -59. Differezefolge: - ; -8 ; -4. Differezefolge: -6 ; -6 ; (kostt!) (f) = Stmmfolge: -0 ; -0 ; -7 ; -9 ; -5. Differezefolge: ; 9 ; 8 ; 57. Differezefolge: 8 ; 5 ; 76. Differezefolge: 4 ; 4 (kostt!)

30 400 Folge Arithmetische Folge 8 () Zeige, dß eie Differezefolge kostt ist ud bereche druf hi de Fuktiosterm für die Folge. ) Stmmfolge: ; 44 ; 69 ; 96 ;.... Differezefolge: ; 5 ; 7 ;.... Differezefolge: ; ;... (kostt) Weil die. Differezefolge kostt ist, k ei qudrtischer Fuktiosterm vorliege, lso mche wir diese Astz: = + b+ c ud bilde mit, ud Gleichuge: = : = + b+ c = () = : = 4+ b+ c = 44 () = : = 9+ b+ c = 69 () () (): + b = (4) () (): 5 + b = 5 (5) (5) (4): = = i (4): b= = 0 i (): c = 0= 0 Ergebis: = + 0 Probe: 4 = = 96 Neuberechug: 5 = = 5. (b) Stmmfolge: 9 ; ; - ; -0 ; -45 ;.... Differezefolge: -7 ; - ; -9 ; Differezefolge: -6 ; -6 ; -6 ; (kostt) Weil die. Differezefolge kostt ist, k ei qudrtischer Fuktiosterm vorliege, lso mche wir diese Astz: = + b+ c ud bilde mit, ud Gleichuge: = : = + b+ c = 9 () = : = 4+ b+ c = () = : = 9+ b+ c = () () (): + b = 7 (4) () (): 5 + b = (5) (5) (4): = 6 = i (4): b= 7 = 7+ 9= i (): c = 9 b= 9+ = 0 Ergebis: = Probe für 4 = = 0 Probe für 5 = = 45.

31 400 Folge Arithmetische Folge 9 (c) Stmmfolge: 0 ; 9 ; 6 ; -5 ; -70 ;.... Differezefolge: - ; - ; - ; -55. Differezefolge: - ; - 8 ; -4. Differezefolge: -6 ; -6 ; (kostt!) Weil die. Differezefolge kostt ist, k ei Fuktiosterm. Ordug vorliege, lso mche wir diese Astz: b c d = ud bilde mit,, ud 4 vier Gleichuge. =: = + b+ c+ d= 0 () =: = 8+ 4b+ c+ d= 9 () =: = 7+ 9b+ c+ d= 6 () =4 4 = 64+ 6b+ 4c+ d= 5 (4) () (): 7 + b + c = (5) () (): 9+ 5b+ c = (6) (4) (): 7+ 7b+ c = (7) (6) (5): + b = (8) (7) (6): 8 + b = 8 (9) (9) (8) 6 = 6 = i (8): b = = + = 0 b = 0 i (5): c = 7 b= + 7= 6 i (): d= 0 b c = 0+ 6= 5 Ergebis: = Probe: 5 = = 70 stimmt! (d) Stmmfolge: ; 0 ; 6 ; 04 ; 58 ;.... Differezefolge: - ; 6 ; 78 ; 54. Differezefolge: 8 ; 5 ; 76. Differezefolge: 4 ; 4 ; (kostt!) Weil die. Differezefolge kostt ist, k ei Fuktiosterm. Ordug vorliege, lso mche wir diese Astz: b c d = ud bilde mit,, ud 4 vier Gleichuge. =: = + b+ c+ d= () =: = 8+ 4b+ c+ d= 0 () =: = 7 + 9b + c + d = 6 () =4 4 = b + 4c + d = 04 (4)

32 400 Folge Arithmetische Folge 0 () (): 7 + b + c = (5) () (): 9+ 5b+ c = 6 (6) (4) (): 7 + 7b + c = 78 (7) (6) (5): + b = 8 (8) (7) (6): 8 + b = 5 (9) (9) (8) 6 = 4 = 4 i (8) b = 8 = 8 48 = 0 b = 0 i (5) c = 7 b= 8+ 0= 0 i () d= b c = 4+ 0= 8 Ergebis: = Probe: 5 = = 58. () Zeige durch Berechug vo 7 Glieder, dß die 4. Differezefolge bei = 4 kostt ist. LÖSUNG: = = 0 = 6 4 = = 8 9 = 7 4 = 56 5 = 5 = 65 5 = = 96 6 = 60 7 = = 5 Stmmfolge: 0 ; ; 7 ; 40 ; 600 ; 60 ; 5... Differezefolge: ; 60 ; 68 ; 60 ; 660 ; 09. Differezefolge: 48 ; 08 ; 9 ; 00 ; 4. Differezefolge: 60 ; 84 ; 08 ; 4. Differezefolge: 4 ; 4 ; 4...