Die Logarithmusfunktion

Transkript

1 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis...1 Die Logrithusfuktio...2 Eiführug...2 Eiige Beispiele...2 Spezielle Logrithe...3 Die Ukehrfuktio der Epoetilfuktio...3 Die Eigeschfte der Logrithusfuktio...4 Defiitiosereich der Logrithusfuktio...5 Logrithusgesetze...6 Logrithus eies Produkts...6 Logrithus eier Divisio...6 Logrithus eier Potez...6 Logrithus eier Wurzel...6 Urechug zwische Sstee...6 Berechug it de Tscherecher...6

2 Die Logrithusfuktio Eiführug Bei der Epoetilfuktio, die wir scho i Veridug it der Wurzelfuktio etrchtet he, ht sich ereits die Frge gestellt, wie vorgehe uss we der Epoet uekt ist. Betrchtet die Gleichug = c k ch drei Werte suche: 1. De Potezwert c 2. Der Bsis 3. De Epoete Dzu uss die Gleichug ustelle 1. ch de Potezwert = c 2. ch der Bsis c = 3. ch de Epoete log c = Wir führe de Logrithus ei. Er wird defiiert ls Fuktio die ei gegeeer Bsis ud Potezwert c (der Epotezilfuktio) de Epoete ls Ergeis liefert. Allgeei usgedrückt: = = log M rucht de Logrithus lso d, we die Gleichug ch de Epoete ustelle uss. Gesproche wird = log so: Logrithus vo zur Bsis Eiige Beispiele 2 2 = 4 2 = log 2 4 Der Logrithus vo 4 zur Bsis 2 ist 2, weil 2 2 = = = log6 216 Der Logrithus vo 216 zur Bsis 6 ist 3, weil 6 3 = = = log Der Logrithus vo zur Bsis 10 ist 4, weil 10 4 = 10000

3 Spezielle Logrithe Nu git es gz esodere Bsiszhle die sehr oft gerucht werde. Die erste ist türlich die Bsis 10, weit wir ei Zhlesste it der Bsis 10 he. Die zweite, wichtige Bsis ist die Eulersche Zhl e, weil it ihr sehr viele Dige gestellt werde köe. I der Schulthetik speziell i der Alsis wir die Eulersche Zhl ls Bsis sehr wichtig sei. Sie he esodere Ne: = log 10 = lg( ) Zeherlogrithus (dekdischer Logrithus) = loge = l( ) türlicher Logrithus (Logrithus Nturlis) = log 2 = ld( ) Biärer Logrithus (ddischer Logrithus) Die Bsis e des Logrithus Nturlis ist die eulersche Zhl e = 2, De etscheidede Vorteil vo e werde wir später och erkee. Diese eide Logrithe he de Vorteil, dss sie uf de Tscherecher fidet. Alle dere Logrithe k, wie wir später och sehe, it diese eide usreche. Die Ukehrfuktio der Epoetilfuktio Die Epoetilfuktio ht de Grphe:

4 Die Ukehrfuktio fidet i de die Gleichug ch ustellt ud dch ud vertuscht. = = log = log De Grph der Logrithusfuktio ist soit der der Wikelhlierede gespiegelte Grph der Epoetilfuktio Die Eigeschfte der Logrithusfuktio 1. Die Fuktio ist für egtive -Werte icht defiiert. 2. Die Fuktio stret für -> 0 gege ius uedlich. 3. Die Fuktio ht eie Nullstelle ei = Werte zwische 0 ud 1 he egtive Fuktioswerte. 5. Die Fuktio ist i geste Verluf ooto flled.

5 Defiitiosereich der Logrithusfuktio Hier ist och l der Grph der eide Fuktioe geildet. Sie stehe i folgeder Beziehug: log = = Für die recht Seite wisse wir er, dss ier positiv ist. Dher köe für die Fuktioswerte der Logrithusfuktio uch keie positive Werte vorkoe.

6 Logrithusgesetze Logrithus eies Produkts log ( ) = log + log Logrithus eier Divisio log( ) = log log Logrithus eier Potez log ( ) = log Logrithus eier Wurzel log = 1 log Urechug zwische Sstee log = log d * log d Berechug it de Tscherecher l log = l Mit dieser Forel k jede Logrithus zu eier elieige Bsis ereche. M k uf de Tscherecher etweder die Tste für de zeher- oder de türliche Logrithus ehe.