Flächenberechnung. Flächenberechnung
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- Ferdinand Peters
- vor 9 Jahren
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1 Itegrlrechug Gegee sei eie Fuktio. 1 Itegrlrechug Gesucht ist die Fläche zwische der Kurve vo 0 is 1 ud der -Achse Wegeer Mth/5_Itegrl_k Mittwoch :38:48
2 Itegrlrechug Wir eee 1 um i ud teile de Bereich zwische 0 ud i gleiche Teile. Hier sei = Itegrlrechug Wir schätze u die Fläche durch Aufddiere der Fläche der de Stelle i geildete Rechtecke
3 Itegrlrechug M k die Rechtecke uch vo der rechte Seite her fge Itegrlrechug We m jetzt vergrößert, wird ddurch die Schätzug der Fläche geuer
4 Itegrlrechug Ud och esser: = Itegrlrechug Ud och esser: =
5 Itegrlrechug Ud och esser: =64. Jetzt ist die Schätzug der Fläche scho ziemlich geu. Lässt m die Zhl der Aschitte gege lufe, so erhält m ls Grezwert die ekte Fläche Itegrlrechug Wir ereche u die Summe der eizele Rechtecke: -1 f( i Δ = i=0-1 f( i - 0 i=0 = f( i = f( 0 +i - 0 Die Fläche uterhl der Kurve ist u der Grezwert dieser Summe für. 10
6 Itegrlrechug Wir estimme de Grezwert für ei Beispiel: = F -1 Δ 0 i=0 f( i Δ f( 0 +i = ( Itegrlrechug Nu estimme wir de Grezwert für ei deres Beispiel: = F -1 Δ 0 i=0 f( i Δ f( 0 +i ( 0 0 +i - ( ( (-1 2 (( ( ( ( (i= i - i=0 12
7 Fortsetzug: = 2 ( Itegrlrechug ( ( ( ( Itegrlrechug Bestimmtes ud uestimmtes Itegrl Sei F( eie differezierre Fuktio ud =F ( dere Aleitug. D heißt F( Stmmfuktio vo. D ei der Aleitug Kostte wegflle, lässt sich eie Stmmfuktio stets um eie elieige Kostte c verschiee. Diese wird uch Itegrtioskostte get. Die Schreiweise d = F( + c (mit F (= heißt uestimmtes Itegrl. Ds Smol stellt ei stilisiertes S dr ud stmmt vo Gottfried Wilhelm Leiiz ( Die Formel d ezeichet ds estimmte Itegrl, lso die Fläche zwische de Stelle ud, der Fuktio ud der -Achse. ud werde uch Itegrtiosgreze get. d = F( + c 14 (mit F (=
8 Itegrlrechug Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug Sei eie Fuktio ud F( dere Stmmfuktio. D gilt für ds estimmte Itegrl d = F(-F( Dieser Stz wird Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug get. Nicht zu jeder Fuktio lässt sich eie Stmmfuktio gee! d = F(-F( 15 Itegrlrechug Itegrtiosregel Ist Produkt eier Kostte ud eier Fuktio g(, so gilt: d = g(d = g(d Ist eie Fuktio Summe oder Differez zweier Fuktioe g( ud h(, so gilt: d = (g(±h(d = g(d ± h(d Ist eie Fuktio Potez, so gilt: d = d = c 16 d = (g(±h(d g(d = 1 = = g(d g(d ± h(d c
9 Itegrlrechug Itegrtiosregel Als Umkehrug der Produktregel der Differetilrechug lässt sich für zwei Fuktioe g( ud h( folgede Beziehug herleite: g( h( = g ( h(d + g( h (d Durch Umformug erhält m: g ( h(d = g( h( - g( h (d 17 g( h( g ( h(d = g ( h(d = g( h( - + g( h (d Itegrlrechug Itegrtiosregel Als Umkehrug der Ketteregel der Differetilrechug lässt sich für eie Fuktioe =f(g(t folgede Beziehug herleite: g( d = g( f(g(t g (tdt Diese Regel wird Itegrtio durch Sustitutio get. g( d = g( 18 f(g(t g (tdt
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Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION Ableitugsregel (f + g) = f + g (cf) = c f, c R ( ) = (c) =, c R Dmit köe wir Polyome bleite: Beispiel. ( 5 + 3 + ) = ( 5 ) + 3( ) + () = 5 4 + 3 = 5 4 + 6 Produkte- ud
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21 OM: Von der Änderung zum Bestand - Integralrechnung ga
1 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ga I diesem Olie-Mteril werde die Frge geklärt, wie weit der Formlismus ei der Etwicklug des Itegrls uszuführe ist ud wie eie schuliche Begrüdug des Huptstzes
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. Defiitio des estimmte Itegrals Die Idee des estimmte Itegrals wird ahad der folgede Aufgae vorgestellt, ei der das Resultat ereits vo vore herei ekat ist. Aufgae: Bestimme de Ihalt des vo der Gerade
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Itegrlrechug. EINFÜHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG.. Prolemstellug () Stmmfuktioe Im Kpitel Differetilrechug wurde festgestellt, dß es eie Zusmmehg zwische zurückgelegtem Weg, Geschwidigkeit ud Beschleuigug
45.1 Die Streifenmethode Archimedes wollte ja den Inhalt der Fläche unter der Normalparabel zwischen 0 und 1 berechnen. Dazu zerschnitt er
5 Vertiefug des Itegrlegriffs Die Wurzel der Flächeerechug liege i der Atike. Archimedes vo yrkus (87 v.chr. v. Chr.) eschäftigte sich sehr usführlich mit der Flächeerechug des Kreises. Er versuchte dei
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SEMINRRBEIT: HUPTSTZ DER DIFFERENTIL- UND INTEGRLRECHNUNG MTTHIS HEINLEIN. Eileitug Oftmls wird ds Itegrl i de fägervorlesuge uf zweierlei Weise eigeführt. D ist zum eie ds formle Itegriere, lso ds uffide
multipliziert und der Ausdruck dann in Real- und Imaginärteil aufgespaltet: Zur Berechnung der Phase werden Zähler und Nenner zunächst mit 1 F F
8 requezgg lierer Sstee 9 t t t e e e Jede Differetitio etspricht lso eier Multipliktio it! Setze wir diese ere i die Differetilgleichug 87 ei, so erhlte wir ür de requezgg ergit sich lso 88 Beispiel:
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge
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D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Alysis II FS 28 Prof. Mfred Eisiedler Lösug 2 Hiweise. Gehe Sie log zum Kochrezept zur Treug der Vrible i liere Differetilgleichuge vor (siehe Abschitt 7.5.3 im Skript). 2. Bemerke
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vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (
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Zahlefolge Eie Zahlefolge a besteht aus Zahle a,a,a 3,a 4,a 5,... Die eizele Zahle eier Folge heiße Glieder oder Terme. Beispiele für Zahlefolge sid die atürliche Zahle: 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5..., die gerade
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Nr7-2204 Zusmmegesetzte Fuktioe Aus Fuktioe g ud h werde eue Fuktioe gebildet: ) f = gh, mit f() = g() h() ; Summe b) f = g-h, mit f() = g() - h() ; Differez c) f = g h, mit f() = g() h() ; Produkt d)
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Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
Teilbarkeit. Christoph Dohmen. Judith Coenen. 17. Mai Christoph Dohmen, Diskrete Mathematik Teilbarkeit. Judith Coenen
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Fchhochschule Is Nturwisseschftlich Techische Akdemie NTA Prof. Dr. Grüler ggmh Skriptum zum Brückekurs Mthemtik der Dozete Dr.-Ig. DIETRICH KUHN ud Dipl.-Ig. HARALD SORBER für die Fchereiche Chemie, Phsik
Folgen, Reihen und Grenzwert. Vorlesung zur Didaktik der Analysis
Folge, Reihe ud Grezwert Vorlesug zur Didktik der Alysis Ihlt Motivtio Folge Spezielle Folge Grezwertdefiitio Wichtige Zusmmehäge ud Strtegie der Kovergezutersuchug Fuktioegrezwert Reihe Prdoxie ud Zusmmefssug
6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
In jeder noch so kleinen Umgebung von 2 liegen fast alle Folgenglieder. Die Folge hat den Grenzwert 2 und wir schreiben dafür: lim a = 2
0. Kovergez vo Folge ud Reihe Der i de Aschitte geometrische Folge ud Reihe eigeführte Grezwertegriff ist für die Alysis (Ifiitesimlrechug) grudleged. Im Folgede werde Grezwerte ei elieige Folge ud Fuktioe
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7. Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergit. x x für 0 9 9 * : Wurzelexpoet, N ud : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer t) Poteziere: Bsis ud Expoet sid gegee,
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie
1. Grundlagen. 2. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 3. Vektorrechnung. 4. Trigonometrische Funktionen. 5. Differentialrechnung. 6.
Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
Kompaktheit und gleichgradige Stetigkeit. 1 Einführung in die Kompaktheit in C 0
Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit Vortrag zum Prosemiar zur Aalysis, 14.06.2010 Mao Wiescherma Matthias Klupsch Dieser Vortrag beschäftigt sich mit Kompaktheit vo Teilräume vom Raum der stetige Abbilduge
5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12
Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls
A (einschließliches oder)
Logik ud Beweisführug Rechegesetzte ( Gesetz vo usgeschlossee Dritte: A A ( Gesetz vo der doppelte Vereiug: A A ( Kouttiv-Gesetze: A B B A A B B A c ( A B ( B A (4 Assozitiv-Gesetze: A ( B C ( A B C A
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
Formelsammlung MATHEMATIK Oberstufe
Formelsmmlug MATHEMATIK Oerstufe Diese Formelsmmlug erhet keie Aspruch uf Vollstädigkeit ud Richtigkeit. Sie wird ei Bedrf durch weitere Kpitel ergäzt..poteze Fktorezerleguge, R r,s R k Z m, N r s r+ s
WS 2005/06 Vorkurs: Mathematische Methoden der Physik Musterlösung von Blatt1. 2. Fall x < 2
WS 5/6 Vorkurs: Mtemtise Metode der Pysik Musterlösug vo Bltt Aufge : 6 < < 6 8 < > Lsg.: < 7 7. Fll > : < < < <
Algebra/Arithmetik. Eine Variable ist ein Platzhalter oder ein Stellvertreter für eine Zahl.
Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter
Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
MATHEMATIK F 1 MEG Sek II > Formeln. Formelsammlung. Mathematik. Sekundarstufe II. --- Grundlagen & Analysis ---
MATHEMATIK F 1 MEG Sek II > Formel Formelsmmlug Mthemtik Sekudrstufe II --- Grudlge & Alysis --- MATHEMATIK F 2 MEG Sek II > Formel Ihltsverzeichis Zhlereiche & Itervlle...3 Termumformuge...3 Bruchrechug...3
Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Patrizio Neff Christia Thiel 4.04.04 Lösugsvorschlag zu de Hausaufgabe der. Übug Aufgabe : (6 Pukte Bereche Sie für die Fuktio f : R R, f( : ep( a der Stelle 0 0 das Taylorpolyom