Zusammengesetzte Funktionen

Transkript

1 Nr Zusmmegesetzte Fuktioe Aus Fuktioe g ud h werde eue Fuktioe gebildet: ) f = gh, mit f() = g() h() ; Summe b) f = g-h, mit f() = g() - h() ; Differez c) f = g h, mit f() = g() h() ; Produkt d) f = g:h, mit f() = g() : h() ; Quo'et; h() 0 Ds ergibt zuächst ei uüberschubres Durcheider vo Fuktioe

2 Fuktioe-Klsse Strukturierug Gzrtiole Fuktioe (Polyomfuktioe) f() = Gebrochertiole Fuktioe f() = ;Neerpolyom 0 Zusmmesetzuge mit Zusmmesetzuge mit si(); cos() Zusmmesetzuge mit l() Nr N R ; ; i 0 R b, ; b b b b i i 0 0 e

3 3 Nr Fuktioe-Klsse Neue Utersuchugsmethode Nullstelle Symmetrie Verhlte für gege ± Asymptote Mootoie

4 4 Nr Gzrtiole Fuktioe Defiitio: Eie Fuktio heißt gzrtiol, we m Sie i der Form f() = 0 ;i R schreibe k Folgerug: f ht de Defiitiosbereich R Diese bstrkte Defiitio muss errbeitet werde Altertive Defiitio eemplrische Beispiele Vorwisse: Potezfuktioe h() = ; N ls Grudfuktioe Fktorprodukt k h() vo Fuktioe Summe h() g() vo Fuktioe

5 5 Nr Defiitio errbeite ) Grudfuktioe g() = ; N 0 Zusmmesetzuge Summe ud Fktorprodukt f() = 4⁴ ; g() = 3si(²) ; h() = ² 2 6³ usw 2) Alle i eiheitlichem Formt ufschreibe So h() = 2 ² 6³ oder h() = 6³ ² 2 3) h() = 6³ ² 2 ist eipolyom vom Grd 3 Wie k m lle Polyome vom Grd 3 schreibe? So h() = ³ b² c d oder h() = d³ c² b Problem: Die Buchstbe köe usgehe 4) Idizierug: So h() = ₁³ ₄ oder h() = ₄³ ₁ oder h() = ₃³ ₀ oder

6 6 Nr Nullstelle -Strtegie Lösugsformel ² -2 3 = 0 Stz vom Nullprodukt (5)(² -2-3) = 0 Fktorisiere 2⁴ - 4³ - 6² = 0 Substitutio ⁴ -2² - 3 = 0 Polyomdivisio ³ 8² = 0 Ud ds wr es!

7 7 Nr ³ 8² = 0 Polyomdivisio Rte ud bestätige: ₁ = - ist Nullstelle Für - ist (³ 8² ):() = ² (³ ²) 7² (7² 7) (-30 30) 0 Also ³ 8² = (² 7 30) () für - Für = - gilt ds uch (durch Eisetze bestätige)

8 8 Nr Polyomdivisio mit Rest ³ 8² = 0 (sttt ³ 8² = 0) Bestätige: ₁ = - ist keienullstelle Für - ist 20 (³ 8² ):() = ² (³ ²) 7² (7² 7) (-30-30) 20

9 9 Nr Lierfktore ³ 8² = (² 7 30) () (Mitterchtsformel) = (0) (-3) () ² = (?) (?) Imgiäre Eiheit i Defiitio: i² = - ² = ( i) (-i) Probe: ( i) (-i) = ² i i -i² = ² - (-) = ²

10 0 Nr Wisseschftlicher Hitergrud Fudmetlstz der Algebr Jedes Polyom mit reelle Koeffiziete ht eie Nullstelle i de komplee Zhle C 2 b ± b 4c 6 ± 6 6 ± 4 z² - 6z 3 = 0 z,2 = = = z₁=32i ; z₂=3-2i Es ist: z² - 6z 3 = (z-(32i)) (z-(3-2i)) Lierfktore Es gilt uch: Jedes Polyom mit komplee Koeffiziete ht eie Nullstelle i de komplee Zhle C

11 Nr Nullstelle bsplte -Fktorisiere Stz: Ist z eie Nullstelle des Polyoms f, d gilt f() = (-z) g(), wobei Grd(g) = Grd(f) Beweis: f() = f() f(z) = 0 -( z z z 0) = ( z ) ( z ) ( z ) Vorwisse eemplrisch: ⁴-z⁴ = (-z) (³²zz²z³) Grd Grd 2 = z) [ Pol Pol ] ( = (-z) g(), wobei Grd(g) = Grd(f) Also: Ei Polyom vom Grd ht höchstes Nullstelle

12 2 Nr Wieviel reelle Nullstelle? z,2 b ± = 2 b 2 4c Diskrimite D = b²-4c Polyom vom Grd : Eie reelle Nullstelle Polyom vom Grd 2: D>0 Zwei reelle Nullstelle D=0 Geu eie reelle Nullstelle D<0 Zwei komplee Nullstelle (kojugiert komple) Polyom vom Grd 3: (Grd ) (Grd 2) Eie reelle-zwei reelle-drei reelle Polyom vom Grd 4: (Grd 2) (Grd 2) Keie reelle -Eie reelle-zwei reelle-drei reelle vier reelle

13 3 Nr f() = (-2)² (²) Doppelte Nullstelle (i R) Allgemei: f() = (-z)² g() ud g(z) 0* z heißt doppelte Nullstelle Auf Übugsbltt zu zeige: * f() = f () = 0 ud f () 0 dh Der Grph vo f ht der Stelle eie Etremstelle dh Der Grph vo f berührt die -Achse der Stelle

14 4 Nr Ekurs: Stz vo Viet Im Uterricht: (-2)(-3) = ² -5 6 ; (-)(-3) = ² Fide Formel: (-u)(-v) = ² -(uv) (u v) Geht ds uch rückwärts? ² 0 2 = (-u) (-v) 0 = -(uv) ud 2 = u v Kombiiere: u = 3; v = 7 ; u = -3; v = -7 Köe Sie es? ² 5 6 = (u) (v) u =? ; v =?