Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen

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1 LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge Defiitio: Ei Term der Form a a a a ; a, a,, a heißt ei Polyom Ist a, da heißt der Grad des Polyoms Ist a, da heißt das Polyom ormiert Eie reelle Zahl heißt eie Nullstelle des Polyoms, we p ist Polyomdivisio: Feststellug (Divisio eies Polyoms durch eie Liearfaktor): Ist eie reelle Zahl, da gibt es ei (eideutig bestimmtes) Polyom p q p Beispiel: Die Polyomdivisio ergibt Also ist 3 : 3 3 p ei Polyom ud q mit : Der Rest ist der Wert des Polyoms p a der Stelle 3 Folgerug (Abspaltug eies Liearfaktors): Vo eiem Polyom Liearfaktor abspalte, d h es gibt ei Polyom q mit p q, we eie Nullstelle vo Beispiel: p ist 3 : Die Polyomdivisio geht auf, weil Merke: Eie Polyomdivisio p : p ist Satz: Ei Polyom vom Grad hat höchstes Nullstelle p lässt sich geau da ei 3 eie Nullstelle des Polyoms p ist geht geau da auf, we eie Nullstelle vo Beweis: Zu jeder Nullstelle gehört ei Liearfaktor, ud ma ka vo eiem Polyom vom Grad höchstes Liearfaktore abspalte zus_gleichugeudugleichuge /8

2 LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Für Eperte: Ma ka ei Polyom vom Grad durch ei beliebiges Polyom vom Grad höchstes dividiere Lösugsformel für Gleichuge -te Grades: Fall : Eie lieare Gleichug a a ( a ) bzw m c m c hat geau eie Lösug, ämlich m Fall : Eie quadratische Gleichug a a a bzw a b c bzw (ach Divisio beider Seite durch a) eie ormierte quadratische Gleichug pq hat zwei, geau eie oder keie Lösug, ämlich p p, q Hiweis: Reche mit Brüche ud icht mit Dezimalzahle Bemerkug: Hat eie ormierte quadratische Gleichug gazzahlige Koeffiziete, da ka ma die Nullstelle häufig rate, we diese gazzahlig sid (was ma allerdigs im Voraus icht weiß) Dazu rät ma die Liearfaktorzerlegug des Polyoms; siehe ute Fall 3 ud : Es gibt (komplizierte) Lösugsformel Fall 5 : Es ka keie (allgemeie) Lösugsformel gebe Soderfälle vo Gleichuge -te Grades: Potezgleichuge: a Fall a : Uterfall gerade: a Uterfall ugerade: a Fall a : Fall a : Uterfall gerade: Die Gleichug hat keie Lösug Uterfall ugerade: a Bemerkug: Die Schreibweise a wäre mathematisch icht korrekt Gleichuge, i dee die Variable ur eimal auftritt: Isoliere die Variable vo auße ach ie Beispiel: Achtug: Nicht ausmultipliziere! 3 Nullprodukt-Gleichuge: Eier der Faktore muss sei Achtug: Nicht ausmultipliziere! zus_gleichugeudugleichuge /8

3 LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Gleichuge, die durch Ausklammer zu Nullprodukt-Gleichuge werde: We die like Seite eie Summe bzw Differez ist ud i jedem Summade derselbe Teilterm auftritt: Klammere de Teilterm aus Da erhält ma eie Nullprodukt-Gleichug Beispiel: Achtug: Nicht durch oder durch dividiere! 5 Gleichuge, die durch Substitutio zu eier quadratische Gleichug werde: We die like Seite aus drei Summade besteht ud i zwei dieser Summade Teilterme auftrete, wobei ei Teilterm das Quadrat des adere Teilterms ist: Substituiere de Teilterm Da erhält ma eie quadratische Gleichug Beispiel: 3 Substituiere z Allgemeier Fall vo Gleichuge -te Grades: Feststellug: Ei Polyom ugerade Grades hat (midestes) eie Nullstelle Beweis: Eie gazratioale Fuktio f ugerade Grades: f a a aa ( a ) verhält sich für ud für wie die Fuktio a, d h im Fall a gilt: Für strebt f, ud für strebt f ; im Fall a gilt das Umgekehrte Also hat der Graph vo f (midestes) eie Pukt mit der -Achse gemeisam Für Eperte: Streg geomme fehle i diesem Beweis zwei Überleguge: Gazratioale Fuktioe sid stetig Der Nullstellesatz für stetige Fuktioe Bemerkug: Ei Polyom gerade Grades braucht keie Nullstelle zu habe, zum Beispiel das p Polyom Die eizige Möglichkeit, eie eakte Lösug zu fide, ist rate Der folgede Satz schräkt die mögliche Lösuge i viele Fälle etwas ei: Feststellug (ohe Beweis): Sid bei eiem ormierte Polyom p a aa alle Koeffiziete a, a, a gazzahlig, da gilt für eie ratioale Nullstelle: Die Nullstelle ist gazzahlig ud ei Teiler des kostate Koeffiziete a Beispiel: Die Gleichug ud hat als mögliche ratioale Lösuge,, 3 3 Achtug: Die Feststellug besagt icht, dass eie dieser Zahle tatsächlich eie Lösug ist! zus_gleichugeudugleichuge 3/8

4 LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Hat ma durch Rate eie Lösug eier Polyomgleichug p gefude, da ergibt eie Polyomdivisio p : q Die weitere Nullstelle vo p (falls vorhade) sid die Nullstelle des Polyoms Liearfaktorzerlegug quadratischer Polyome: Hat ei ormiertes quadratisches Polyom p q a) zwei verschiedee Nullstelle ud, da ist p q ; b) geau eie Nullstelle, da ist p q ; c) keie Nullstelle, da lässt es sich icht i Liearfaktore zerlege q Hat ei ormiertes quadratisches Polyom gazzahlige Koeffiziete, da ka ma die Liearfaktorzerlegug häufig rate, we das Polyom gazzahlige Nullstelle hat (was ma allerdigs im Voraus icht weiß) Aus der vermutete Zerlegug pq sieht ma, dass das Produkt der gesuchte Zahle der kostate Koeffiziet q ud die Summe der gesuchte Zahle der Koeffiziet p ist Beispiel: 3 Das Produkt der Zahle ist 3 Also sid die Zahle ud 3 Die Summe der Zahle ist Also sid die Zahle ud 3 Also 3 3 Also hat das Polyom 3 die Nullstelle ud 3 Achtug: I der (zum Rate güstige) Darstellug icht die Nullstelle, soder das Negative der Nullstelle! sid die gesuchte Zahle Liearfaktorzerlegug beliebiger Polyome: We das Polyom icht ormiert ist, da klammert ma de führede Koeffiziete aus ud zerlegt das restliche (ormierte) Polyom i Liearfaktore Die sich ergebede Zerlegug muss da mit dem ausgeklammerte Koeffiziete multipliziert werde Falls möglich: Klammere oder eie -Potez aus 3 Falls möglich: Faktorisiere mithilfe der dritte biomische Formel Bestimme eie Nullstelle ud mache Polyomdivisio Soderfälle vo Ugleichuge -te Grades: Potezugleichuge : a bzw a bzw a bzw Ist gerade ud a, da hat die Ugleichug a die Lösug a oder a ; die Ugleichug a die Lösug a a Ist ugerade ud a, da hat die Ugleichug a bzw a : ist ugerade ud a, da hat die Ugleichug a bzw a a bzw a bzw a a die Lösug a die Lösug zus_gleichugeudugleichuge /8

5 LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Lieare Ugleichuge: m c bzw m c : klar 3 Quadratische Ugleichuge: pq bzw pq Bestimme die Nullstelle der like Seite der Ugleichug (durch Rate der Liearfaktorzerlegug oder mithilfe der p-q-formel) Der wichtigste Fall ist, dass es zwei verschiedee Nullstelle ud gibt Der Graph der Fuktio p q ist ei ach obe geöffete Parabel: Ma ka die Lösugsmege der Ugleichug ablese: Die Ugleichug p q Die Ugleichug p q hat die Lösugsmege L ; ; hat die Lösugsmege L ; Bemerkug: Ma ka die Lösugsmege eier Ugleichug bzw ; auch dadurch bestimme, dass ma überlegt, für welche Werte vo beide Liearfaktore dasselbe Vorzeiche habe (ud das Produkt positiv ist) bzw beide Liearfaktore verschiedee Vorzeiche habe (ud das Produkt egativ ist) Davo ist abzurate, weil es sehr fehlerafällig ist! Allgemeier Fall vo Ugleichuge -te Grades: Defiitio: Ist die reelle Zahl eie Nullstelle des Polyoms bestimmte atürliche Zahl ud ei (eideutig bestimmtes) Polyom ud p q Die Zahl heißt die Vielfachheit der Nullstelle p, da gibt es eie eideutig q q mit der Eigeschaft Die Vielfachheit eier Nullstelle gibt also a, wie oft ma de Liearfaktor abspalte ka Feststellug (Beweis siehe Für Eperte ): Ist die reelle Zahl eie Nullstelle des Polyoms p, da hat ugerade ist p a der Stelle geau da eie VZW, we die Vielfachheit vo Lösugsverfahre für Polyomugleichuge: Gegebe ist eie Ugleichug mit eiem Polyom p bzw p bzw p bzw p p Zerlege das Polyom p so weit wie möglich i Liearfaktore Notiere die Nullstelle des Polyoms p mit Vielfachheit ud otiere, ob es Nullstelle mit oder ohe VZW sid Dadurch erhält ma die Itervalle, i dee p eiheitliches Vorzeiche hat 3 Bestimme das Vorzeiche vo p i eiem dieser Itervalle Am eifachste ist, ma überlegt das Verhalte der Fuktio p für zus_gleichugeudugleichuge 5/8

6 LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Skizziere grob (!) de Graphe der Fuktio p der Ugleichug ablese Jetzt ka ma die Lösugsmege Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud -ugleichuge Bruchgleichuge: Bestimme die Defiitiosmege der Bruchgleichug Das sid alle reelle Zahle, für die kei Neer ist Multipliziere beide Seite der Gleichug mit dem Neer bzw Haupteer 3 Löse die etstehede Gleichug Prüfe, ob die Lösuge i der Defiitiosmege ethalte sid Bruchugleichuge: Mache eie Falluterscheidug, ob der Neer bzw Haupteer positiv oder egativ ist Forme die etsprechede Ugleichug jeweils so um, dass ersichtlich ist, für welche Werte der Variable welcher Fall eitritt Im Fall, dass der Neer bzw Haupteer positiv ist: Multipliziere beide Seite der Ugleichug mit dem Neer bzw Haupteer ud löse die etstehede Gleichug Bestimme die Teilmege L der Lösugsmege aus der Lösug der Ugleichug ud der Bedigug a die Variable, dass der betrachtete Fall eitritt 3 Im Fall, dass der Neer bzw Haupteer egativ ist: Beim Multipliziere beider Seite der Gleichug mit dem Neer bzw Haupteer kehrt sich das Ugleichheitszeiche um Die Lösug der etstehede Ugleichug verläuft aalog Bestimme die Teilmege L der Lösug für de betrachtete Fall Die Lösugsmege der Ugleichug ist die Vereiigugsmege L L Wurzelgleichuge: Wir setze voraus, dass höchstes zwei Wurzel auftrete Bestimme die Defiitiosmege der Wurzelgleichug Das sid alle reelle Zahle, für die kei Radikad egativ ist Isoliere die Wurzel bzw eie Wurzel 3 Quadriere beide Seite der Gleichug Falls die etstehede Gleichug och eie Wurzel ethält: Isoliere die Wurzel ud quadriere ereut 5 Löse die etstehede Gleichug 6 Mache mit de Lösuge die Probe i der Ausgagsgleichug Die Probe ist immer erforderlich, we icht sicher ist, ob vor dem Quadriere beide Seite der Gleichug ichtegativ sid Im Zweifelsfall macht ma immer die Probe Feststellug: Quadriere beider Seite eier Gleichug bzw Ugleichug ist im Allgemeie ur da eie Äquivalezumformug, we beide Seite der Gleichug bzw Ugleichug ichtegativ sid Beweis: Die Fuktio ist für streg mooto wachsed zus_gleichugeudugleichuge 6/8

7 LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Wurzelugleichuge: Wir setze voraus, dass höchstes eie Wurzel auftritt Bestimme die Defiitiosmege der Wurzelugleichug Das sid alle reelle Zahle, für die der Radikad ichtegativ ist Isoliere die Wurzel Da gibt es u a folgede Fälle: a oder a mit eier reelle Zahl a : Quadriere beide Seite der Ugleichug ud löse die etstehede Ugleichug Daraus ud aus der Defiitiosmege ergibt sich die Lösugsmege a mit eier reelle Zahl a : Die Lösugsmege ist gleich der Defiitiosmege a mit eier reelle Zahl a : Die Lösugsmege ist leer Term oder Term : Mache eie Falluterscheidug, ob der Term positiv oder egativ ist Forme die etsprechede Ugleichug jeweils so um, dass ersichtlich ist, für welche Werte der Variable welcher Fall eitritt Im Fall, dass der Term positiv ist, quadriere beide Seite der Ugleichug ud löse die etstehede Ugleichug Bestimme die Teilmege L der Lösugsmege aus der Lösug der Ugleichug ud der Bedigug a die Variable, dass der betrachtete Fall eitritt, ud der Defiitiosmege Im Fall, dass der Term egativ ist, ist die Lösugsmege etweder leer oder gleich der Defiitiosmege Defiitio: Für zwei reelle Zahle a ud b heißt die Zahl a b das arithmetische Mittel vo a ud b Für zwei reelle Zahle a ud b heißt die Zahl ab das geometrische Mittel vo a ud b 3 Für zwei reelle Zahle a ud b heißt die Zahl das harmoische Mittel vo a a b ud b zus_gleichugeudugleichuge 7/8 Die Mittelwerte köe auch für mehr als zwei Zahle defiiert werde, siehe Für Eperte Satz (Ugleichug vom arithmetische ud geometrische Mittel): Für alle reelle Zahle ab, gilt ab ab, ud Gleichheit gilt geau da, we a b ist Beweis: ab ab ab ab a abb ab a abb ab

8 LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Die letzte Ugleichug ist wahr, ud es gilt Gleichheit geau da, we ab ist, also geau da, we a b ist qed Feststellug (Ugleichug vom geometrische ud harmoische Mittel; ohe Beweis): Für alle reelle Zahle ab, gilt ab, a b ud Gleichheit gilt geau da, we a b ist Betragsgleichuge ud ugleichuge: für Defiitio: für Notiere, a welche Stelle eier der Terme i eiem Betrag sei Vorzeiche wechselt Dadurch erhält ma die Itervalle, i dee die Terme i de Beträge eiheitliches Vorzeiche habe Schreibe die Gleichug bzw Ugleichug für jedes Itervall ohe Betragszeiche Für Eperte Beweis der Feststellug: Ist die reelle Zahl eie Nullstelle des Polyoms a der Stelle geau da eie VZW, we die Vielfachheit vo ugerade ist Beweis: Es ist p q mit q Da q eiheitliches Vorzeiche hat Also hat vo, i der VZW, we ugerade ist a der Stelle Streg geomme fehle i diesem Beweis drei Überleguge: Das Polyom q hat ur edlich viele Nullstelle Die Fuktio q ist stetig 3 Der Nullstellesatz für stetige Fuktioe Defiitio: Für reelle Zahle,,, Mittel vo,, Für ichtegative reelle Zahle,,, geometrische Mittel vo,, p, da hat p q ist, gibt es eie Umgebug p a der Stelle geau da eie eie VZW hat Das ist geau da der Fall, we heißt die Zahl 3 Für positive reelle Zahle,,, heißt die Zahl harmoische Mittel vo,, das arithmetische heißt die Zahl das das zus_gleichugeudugleichuge 8/8