: 3 2 ; (2 : (3+2)) 3 : (4 +2 : (7 3)) = 3. (2 : 5) 3 : (4 +2 : 4) 3 : (4 + )=

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1 0. Zahlemege Reelle Zahle IR IQ II, also alle Zahle, die wir kee.. Recheoperatioe Additio / Subtraktio Produkt / Quotiet Quadrat / Potez. Klammer Die Reihefolge, i der die Recheoperatioe durchgeführt werde müsse, wird durch Klammer festgelegt. Die Klammer werde vo ie ach auße abgearbeitet. Natürliche Zahle IN {0; ; ; ;...} Gaze Zahle /Z {0; ±; ±; ±;...} Ratioale Zahle IQ: Bruchzahle 7 Eigabe mit : 7 ; ; ; ;... 8 F D Bruch i Dezimalzahl umwadel ud umgekehrt. Irratioale Zahle II: Zahle, die sich icht als Brüche darstelle lasse. ; 5; 5 7;.... Term Ei Term ist ei Ausdruck der Rechezeiche, Zahle ud Variable ethält 4. Arte vo Terme Ei Term wird ach der zuletzt auszuführede Recheart beat. 5. Rechehierarchie Potez vor Pukt vor Strich Um Klammer zu spare, wird eie Rechehierarchie festgelegt, die es erlaubt eiige Klammer wegzulasse. +. : ;. ( : (+)) : (4 + : (7 )). ( : 5) : (4 + : 4). : (4 + ) : a + b a (a b ) +. 5 Summe ( + ). 5 Produkt (. ) Quadrat + 5 Quotiet 4 0,5 + 5 Produkt ( ) : (4 ) Summe Summe Produkt ( + ) Quadrat (. ) , Die Bruchtaste bidet eger als alle adere Operatioe. 5 si 5 si aber si5 si 5 Maurer: Zusammefassug / Seite (Stad: )

2 Der Bruchstrich ist ebeberuflich Klammer. Quotiet ( + 5) 6. Bruchrechug Echter/uechter Bruch Echter Bruch: Zähler kleier als Neer. Uechter Bruch: Zähler größer oder gleich Neer. Gemischte Zahl: Gaze + echter Bruch Erweiter Zähler ud Neer mit derselbe Zahl multipliziere Kürze Zähler ud Neer durch dieselbe Zahl dividiere Summe vo Brüche Haupteer bestimme Brüche erweiter auf Haupteer brige Produkt Zähler mal Zähler ud Neer mal Neer Quotiet Multiplikatio mit dem Kehrwert Multiplikatio/ Divisio vo Bruch ud Zahl Zahl als Bruch schreibe, da die Bruchrecheregel verwede ; ; ; ; : N 5 Haupteer: N 9 HN : : : Maurer: Zusammefassug / Seite (Stad: )

3 7. Termumformug Gleichamige/ugleichamige Glieder Gleichamige Glieder ka ma zusammefasse, ugleichamige icht. Miusklammer Beim Auflöse eier Miusklammer werde alle Vorzeiche i der Klammer umgedreht. Quadriere eies Produkts Ma ka zuerst multipliziere ud Quadriere eier Summe Biomische Formel. Biomische Formel a b aba + 4ab + 5ba a b a b + 5a b + 4ab a b + 4 ab (a b + 5c) a + b 5c (a. b) a. b Der Koeffiziet muss auch (x) 4 x quadriert werde. da quadriere oder umgekehrt. Hier ka ma die Reihefolge der Operatioe icht vertausche! (a+b) a + ab + b (x + 4y ) (x) +. x. 4y +(4y ) 4x + 6xy + 6y 4. Biomische Formel (a b) a ab + b (t 5z) (t). t. 5z + (5z) 9t 0 tz + 5 z. Biomische Formel (a+b)(a b) a b (q+p) (q p) (q) (p) 0. Biomische Formel (a-b) (b-a) Spezialfall der Miusklammer 8. Faktorisiere. Typ: Ausklammer Umkehrug des Distributivgesetzes: ab + ac a. (b+c). Typ: Umkehrug der. ud. biomische Formel. Typ: Umkehrug der. biomische Formel a ± ab + b (a±b) Voraussetzug: Quadrate ud ei passedes doppeltes Produkt a b (a+b) (a b) Voraussetzug: Differez vo Quadrate. Sost ichts. 9q 4p x ( x), de ( x) + x x a) 4 a b a b 7a b (b a) b) x y +6x y+x y x y (4y+x+) 4a 0 ab + 5 b (a) 0 ab + (5b) (a 5b) 49 p 44 q (7 p) ( q) (7 p + q) (7 p q) 4. Typ: Gemischt Zuerst ausklammer 8 k m 8 km km (9k 4m ) km (k + m) (k m) 5. Typ: Im Geiste Vietas (x+a) (x+b) x +(a+b) x + ab x 6 x + 8 (x 4) (x ), da bei a 4 ud b i der Tat gilt: a b ( 4). ( ) 8 ud a + b 4 6 Maurer: Zusammefassug / Seite (Stad: )

4 9. Pascalsches Dreieck 4 5 Koeffiziete vo (a+b) (a+b) a +a b+ab +b (a+b) 5 a 5 +5a 4 b+0a b +0a b +5ab 4 +b 5 Bauart der Glieder: Die Hochzahl vo a immt vo Glied zu Glied ab, die Hochzahl vo b immt zu. Die Summe der Hochzahle ist immer gleich. 0. Lieare Gleichug Nach x umstelle. x 5 x Isoliere x 7 7 x Produktgleichug Satz vom Nullprodukt. a. b 0 a 0 ud/oder b0: Midestes ei Faktor muss Null sei. x. (x ). (x +) 0 x 0; x ; x Bruchgleichug Haupteer bestimme Defiitiosbereich bestimme Mit HN multipliziere. Lieare oder quadratische Gleichug löse. Prüfe, ob die errechete Lösug im Defiitiosbereich liegt.. Quadratische Gleichug Rei-quadratische Gleichug Eie rei-quadratische Gleichug ka ma auf die Form x c brige. Lösugsformel: x, ± c 5 + HN: x xx (x-) x x x x ID IR\{0,} Multiplikatio mit dem HN: (x-) + x 5 x 4 + x 5 x 9 x IL {} a) x 9, also x, ± ( Lösuge) b) x +4 4, also x, 0 (doppelte Lös.) c) x + 4, oder x bzw. x, x, ±, also keie Lösug Lösug mit GRT Meü Equatio F: Polyomial Maurer: Zusammefassug / Seite 4 (Stad: )

5 Gemischt-quadratische Gleichug Allgemeie Form Allgemeie Form a x + bx + c 0 Lösugsformel (Mitterachtsformel) x, b ± b 4ac a x 5x ± 5 0 x, 5 ± 5 Produktform a (x x ) (x x ) 0. Siehe Faktorisiere, isbesodere 5. Typ. Biquadratische Gleichug Substitutio. Damit auf quadratische Gleichug zurückführe. Diskrimiatemethode Gesucht ist icht die Lösug eier Gleichug, soder aus eier Mege vo Gleichuge werde solche mit bestimmte Eigeschafte herausgesucht. Die Zahl der Lösuge hägt vo der Diskrimiate D b 4ac ab. D > 0 Lösuge D 0 geau eie Lösug D < 0 keie Lösug x + 5 x 4 0 (x+7) (x ) 0 x 7; x 4 x x 4 0 Subst.: u x u u 4 0 (u 4) (u +) 0 u 4 oder u Rücksub.: x 4 x, ± x keie Lösug Für welche Werte vo k IR hat die Gleichug x + (k+) x k 0 geau eie Lösug? Lösug: Gleichug auf die allgemeie Form brige: x + (k+) x (k +) 0 Bedigug für geau eie Lösug: Diskri 0 ( k + ) 4 ( k + ) 0 k +k+ 4k 4 0 k k 0 (k ) (k+) 0 k ; k Für k bzw. k hat die Gleichug geau eie Lösug. Maurer: Zusammefassug / Seite 5 (Stad: )

6 . Lieare Gleichugssysteme Lösug zu Fuß mit dem Gauß- Algorithmus oder mit dem GTR Mit dem GTR ka ma aber ur,- LGSe löse, die eideutig lösbar sid. x x x ( ) ( ) + x + x 0 Lösug mit GRT + 4 x + x 4 Meü Equatio F: Simultaeous + x + 7 x x 4 x x ( ) IL ; ; Maurer: Zusammefassug / Seite 6 (Stad: )

7 . Potezreche Poteze mit atürlicher Hochzahl a a. a... a, a wird also -mal mit sich selbst multi. Poteze mit gazer Hochzahl a 0 a a Poteze mit gebrocheer Hochzahl a) a a a) ; Poteze mit gleicher Basis m + m a a a + a a [ ] m a [: ] m Poteze mit gleicher Hochzahl a b ( ab) a a b b Poteziere vo Poteze m m ( a ) a () Logarithmus Defiitio log a x y Nat. Log: l x y x e y x a [ ] Logarithmusgesetze log a a log a 0 log (uv) log u + log v u log logu logv v log u log u y 5 b) b) a) t t t+ t t b) e e e e t+ t t c) e e e e e t e t ( t+ ) t t t d) e e e t+ e a) (. 4) b) c) ( ) a) l 0 b) l e, da e e c) l lu u d) l 8 l (.. ) l + l + l l e) l 8 l l f) l e le Maurer: Zusammefassug / Seite 7 (Stad: )

8 4. Expoetialgleichuge -gliedrige Summe Faktorisiere oder Potez isoliere a) e x 5 0 Isoliere e x 5 Logarithmiere x l 5 x + l 5 b) e x -e x 0 e x (e x ) 0 e x > 0, also keie Lösug e x 0, also e x ud damit x l c) e +x 4. e -x+ 0 Isoliere e +x 4. e -x+ Logarithmiere +x l (4. e -x+ ) l 4 + l e -x+ +x l 4 x+ 5 x l 4 l4 x 5 -gliedrige Summe Substitutio e tx 4e tx Alles ach liks e tx 4e tx 0. e tx e tx 4 e tx 0 Subst.: u e tx u u 4 0 (u +) (u 4) 0 u ; u 4 Rücksubstitutio e tx keie Lösug, da e... > 0 e tx 4, daher tx l 4 ud x l4 t x-glieder ud e x -Glieder gemischt Lässt sich im allgemeie ur mit GTR e x x +. löse Nicht exakt lösbar. Newto-Verfahre oder gleich GTR l-gleichug Poteziere mit Basis e a) l x Poteziere mit e x e Lässt sich wege des Parameters icht mit GTR löse. Meü Equatio Solver (F) Maurer: Zusammefassug / Seite 8 (Stad: )

9 5. Fuktioe Eie Fuktio ist eie Zuordug. Jedem x-wert wird geau ei y-wert zugeordet. kostate Fuktio / Gerade y c, c IR y Meü Graph lieare Fuktioe / Gerade Hauptform: y mx + c, wobei m die Steigug ud c der Abschitt auf der y-achse ist. Allgemeie Form: ax+byd Ist b 0 ud a 0, erhält ma eie sekrechte Gerade. Ist a 0 ud b 0, erhält ma eie kostate Fuktio. Pukt-Steigugsform: y m (x-x )+y wobei P(x Iy ) ei Pukt auf der Gerade ist. quadratische Fuktio / Normalparabel Hauptform Schaubild Normalparabel Die Normalparabel hat im Ursprug eie doppelte Nullstelle, berührt dort die x-achse ud hat dort keie Vorzeichewechsel. y x y x quadratische Fuktio / Parabel. Ordug Allgemeie Form: y ax +bx+c Produktform: y a (x-x )(x-x ), wobei x, x Nullstelle sid. Scheitelform: y a (x-x S ) + y S, wobei S(x S Iy S ) Scheitel der Parabel ist. y x x Maurer: Zusammefassug / Seite 9 (Stad: )

10 kubische Fuktio Wedeparabel Das Schaubild hat eie dreifache Nullstelle y x kubische Fuktio / Parabel. Ordug Allgemeie Form: y ax +bx +cx+d y x -6x +9xx(x-) Potezfuktio Hyperbel Rechtwiklige Hyperbel: x-achse waagrechte Asymptote für x ± y-achse Pol mit Vorzeichewechsel, also sekrechte Asymptote Hyperbel puktsymmetrisch zum Ursprug Hyperbel Hyperbel x-achse waagrechte Asymptote für x ± y-achse Pol ohe Vorzeichewechsel, also sekrechte Asymptote Hyperbel achsesymmetrisch zur y- Achse Expoetialfuktio Natürliche Expoetialfuktio: f(x) e x dabei ist die Eulersche Zahl e,78... y x x y y e x x x Maurer: Zusammefassug / Seite 0 (Stad: )

11 Logarithmusfuktio Natürliche Logarithmusfuktio: f(x) l x Basis e y-achse sekrechte Asymptote Sius-Fuktio Periode P π Symmetrie zum Ursprug y si x Cosius-Fuktio Periode P π Symmetrie zur y-achse y cos x Ruhefuktioe 6. Eifache Trasformatioe Spiegelug a der x-achse Miuszeiche vor de gaze Term Spiegelug a der x-achse f(x) x 4x + g(x) f(x) x + 4x Maurer: Zusammefassug / Seite (Stad: )

12 Spiegelug a der y-achse Im Term alle x durch ( x) ersetze Spiegelug a der y-achse f(x) x 4x + g(x) f(-x) x 4 ( x) g(x) x + 4x Streckug i y-achse Faktor vor de Term Streckug mit Faktor f(x) x g(x) x Streckug (Stauchug) mit Faktor Verschiebug i y-richtug um y 0 y 0 zum Term addiere Verschiebug um ach ute f(x) cos x h(x) x g(x) cos x Verschiebug i x-richtug um x 0 x ersetze durch (x x 0 ) Verschiebug um 4 ach rechts f(x) x - g(x) (x-) - Wa geht s edlich weiter? Maurer: Zusammefassug / Seite (Stad: )

13 7. Differezialrechug Ableitugsregel Maurer: Zusammefassug / Seite (Stad: )