Grundwissen Jahrgangsstufe 10

Transkript

1 Grudwisse Jahrgagsstufe 0 Kreis ud Kugel Der Kreis Umfag: U = dπ = rπ Kreisfläche: A= r π α Kreissektorfläche: A = π r 60 ogeläge: b = α r π Maß zur Agabe vo Wikelgröße: α ogemaß: αb = π Kreissektorfläche: 70 A = π = π 60 ogeläge: 70 b = π = π ogemaß des Mittelpuktwikels: 70 αb = π =, 5π Die Kugel Volume: V = r Oberfläche: O = п r π Trigoometrische Fuktioe Defiitioe (auch für α > 90 ) Der Sius eies Wikels ist der Wert der y- Koordiate des zugehörige Puktes P auf dem iheitskreis. Der Kosius eies Wikels ist der Wert der - Koordiate des zugehörige Puktes P auf dem iheitskreis. Graphe vo Sius- ud Kosiusfuktio eispiel: Gesucht ist die Oberfläche eier Kugel mit dem Volume Liter : 000cm = πr 000cm r = π 8,7cm r 6, cm estimme die Lösuge: a) si = 0,5 Der Tascherecher ( shift si ) liefert = 0 (istellug Deg ) bzw. = 6π (istellug rad ) Die zweite Lösug ergibt sich aus der Symmetrie des Sius am iheitskreis zur y-achse 5π = 50 bzw. = 6 b) cos = 0,5 Der Tascherecher liefert π = 60 bzw. = Die zweite Lösug ergibt sich aus der Symmetrie des Kosius am iheitskreis zur -Achse 5π = 00 bzw. = eide Graphe sid periodisch mit der Periode π. Ihre Werte schwake zwische ud ( W = [ ; ] ).

2 Wahrscheilichkeitsrechug edigte Wahrscheilichkeit Sid A ud zwei reigisse des rgebisraumes Ω so gilt für die (bedigte) Wahrscheilichkeit des reigisses uter der Voraussetzug, dass A eigetrete ist: pa () =, falls p(a) 0 p(a ) p(a) (A bedeutet: A ud trete ei) Vierfeldertafel Hilfreich ist die Darstellug mit der Vierfeldertafel A p (A ) p(a ) p (A) Zeilesumme A p(a ) p(a ) p (A) p () Spaltesumme aumdiagramm p () Spaltesumme Zeilesumme Zeilesumme ud als Spaltesumme ie adere Darstellugsform ist das zugehörige aumdiagramm: eispiel: I eier Schublade liege 8 blaue ud adersfarbige Kugelschreiber. ei 7 blaue Kugelschreiber ud bei 5 der adere ist die Mie eigetrocket. a) rstelle Sie eie vollstädig ausgefüllte Vierfeldertafel. b) Mit welcher Wahrscheilichkeit ist die Mie eies zufällig herausgegriffee Kugelschreibers icht eigetrocket? c) s wurde ei blauer Kugelschreiber aus der Schublade geomme. Mit welcher Wahrscheilichkeit schreibt er? Lösug: a) dem Tet Die restliche Felder etimmt ma: ergebe sich aus der Summeregel: b) () = = 0, 6 c) p () = 0, 6 p (: Kugelschreiber ist blau. : Kugelschreiber ist eigetrocket.) Lösug mit aumdiagramm: Ē 0 Ē Die restliche eschriftuge ud die Lösuge der Teilaufgabe ergebe sich aus der Summeregel ud der Pfadregel: a ) p() = + = Je ach Aufgabestellug verwedet ma besser die eie oder adere Darstellug: ei gegebee bedigte Wahrscheilichkeite das aumdiagramm, bei gegebee Schittwahrscheilichkeite die Vierfeldertafel b) p () = 8

3 poetialfuktioe ud Logarithmus Lieares Wachstum: Vergrößert ma i der Wertetabelle de Wert um eie iheit, so erhöht sich der zugehörige y Wert um eie feste Zahl (geat absolute Äderug m bzw. Zuwachs m) Der Graph ist eie Gerade Fuktiosterm: f() = m + t Ist m<0, so spricht ma vo liearer Abahme poetielles Wachstum Vergrößert ma i der Wertetabelle de Wert um eie iheit, so ergibt sich der eue y Wert durch Multiplikatio des alte y Werts mit eier feste Zahl (geat Wachstumsfaktor a) Der Graph ist eie immer steiler werdede Kurve Fuktiosterm: f() = b a Ist 0 < a < so spricht ma vo epoetieller Abahme poetialfuktioe f ( ) = a wobei a > 0 ud a Für a > gilt: Steigeder Fuktiosgraph lim a ud lim a = 0 Für a < gilt: Falleder Fuktiosgraph lim a = 0 ud lim a Logarithmus Der Logarithmus vo b zur asis a ist die eideutige Lösug der poetialgleichug a =b (für a>0, a, b>0): log a b gibt a, mit welcher Zahl a poteziert werde muss, um b zu erhalte. poetialgleichuge ei Fragestelluge zum epoetiellem Wachstum etstehe häufig poetialgleichuge. Diese löst ma i der Regel durch Logarithmiere mit Hilfe der logarithmische Recheregel: log a (u v)=log a u+log a v log a (u:v)=log a u-log a v log a (u )= log a u 0 f() Zuahme um 500 pro iheit lieares Wachstum 0 f() Zuahme um Faktor pro iheit epoetielles Wachstum a =,5;;,5; a =0,8; 0,6; 0, eispiel: =6 = log 6 eispiel: erechug vo log 6 mit dem Tascherecher (lg 6 / lg ) eispiel: =5 (auf beide Seite logarithmiere) lg ( ) =lg(5) / (Regel awede) lg+lg =lg5 / - lg lg = lg5- lg / (Regel awede) lg=lg5- lg / : lg lg5 lg = 0,77 lg

4 Gazratioale Fuktioe Potezfuktioe ie Fuktio der Form f()=a ( aus N) et ma Potezfuktio (-te Grades). f() =, g() =, f() =, g() = h() = 5, k() = 7, h() = 6 Ugerader poet: Graph verläuft vo liks ute ach rechts obe. Gerader poet: Graph verläuft vo liks obe ach rechts obe (parabelartig). igeschafte gazratioaler Fuktioe Nullstelle f() = 0: Ist f eie gazratioale Fuktio vom Grad oder so ka ma f() = 0 mit de Methode der 7. bzw. 9. Klasse (Mitterachtsformel) löse. Schwieriger wird es ab Grad : rrate der. Nullstelle Polyomdivisio: f() : (-) =.. Nullstelle des rgebisterms bestimme evetuell die obige Schritte wiederhole Faktorisiere: Ket ma alle Nullstelle, so ka ma f i faktorisierter Form agebe: f() = a (- ) (- ) (- )... Umgekehrt ergebe sich bei gegebeer faktorisierter Form die Nullstelle umittelbar Nullstelle vo g() = a) Nullstelle: = b). Schritt: Polyomdivisio: ( ) : (-) = ( - ) c). Schritt -5+6 = 0 (Die Mitterachtsformel liefert) = = ud =; Isgesamt ergebe sich die Nullstelle: =, = ud = Faktorisierte Form vo g (siehe c) des obige eispiels): g() = (-) (-) (-) Die Nullstelle der Fuktio f() = (-5) (+) sid: =5 (eifache Nullstelle), =- (doppelte Nullstelle) Weiterhi verwedet ma die faktorisierte Form zum sogeate Felderabstreiche : -, -, 5-.. fache Nullstelle: Vorzeichewechsel des Graphe -, -, 6-.. fache Nullstelle: kei Vorzeichewechsel des Graphe 00 eispiel: f ( ) = ( ) ( + )

5 igeschafte vo Fuktioe ud ihrer Graphe Symmetrie vo Fuktiosgraphe Gilt f(-) = f() für alle aus der Defiitiosmege, so ist der Graph vo f achsesymmetrisch zur y-achse. Gilt f(-) = - f() für alle aus der Defiitiosmege, so ist der Graph vo f puktsymmetrisch zum Ursprug (0/0) ei gazratioale Fuktioe gilt: esitzt f ur -Poteze mit geradzahlige Hochzahle (eischließlich 0) so ist ihr Graph achsesymmetrisch zur y-achse. esitzt f ur -Poteze mit ugeradzahlige Hochzahle so ist ihr Graph puktsymmetrisch zum Ursprug. Gegebe: f; Gesucht: Symmetrie. f ( ) = + f(-) = = = -f() ( ) + + G f ist daher puktsymmetrisch zum Ursprug. f() = ist eie gazratioale Fuktioe mit ur geradzahlige Hochzahle ud somit achsesymmetrisch. f = g( ) = ( ) Grezwerte im Uedliche Komme die Fuktioswerte f() eier Fuktio f für beliebig groß werdede -Werte eier Zahl a beliebig ahe, so et ma a de grezwert der Fuktio f für gege plus uedlich ( + ). Schreibweise: lim f ( ) = a Die Gerade y=a heißt da waagrechte Asympote der Fuktio f. Grudfuktioe ud dere Grezwerte A, Kostate Fuktioe: f() = c ; Graph ist eie Parallele zur -Achse im Abstad c lim c = c ± limf ( ) = ; lim f ( ) Asymptote : y = - lim g( ) = ; lim g( ) = lim h( ) ; lim h( ) = f() = ; g() = ; h() = - lim = g Asymptote : y= keie Asymptote f, ruchfuktioe f() = (Potezfuktioe mit egative poete) Dargestellt sid die Fuktioe f() = ;g()= ;h()= ;k()= lim = 0 ± 5

6 C, Potezfuktioe mit positive poete f() = Ugerader poet: lim lim Gerader poet: lim ± =, falls ugerade;, falls ugerade = +, falls gerade lim = lim lim lim Veräderuge vo Fuktiosterme Zusammefassug: Maipulatio Wirkug : Der Graph vo g ist gegeüber dem vo f... g() = f() + a um a ach obe verschobe g() = f(+a) um a ach liks verschobe g() = - f() A der -Achse gespiegelt g() = a f() I y-richtug gestreckt (a>) / gestaucht g() = f(a ) I -Richtug gestaucht (a>) / gestreckt Gegebe sid die Graphe folgeder poetialfuktioe: f() = ; g() = - ; h() = 0,5 ; k() = - ; Orde zu: f durchgezoge; h gestrichelt k gepuktet; g gestrichelt ud gepuktet; 6