Grundbegriffe der Differentialrechnung

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1 Wirtschaftswisseschaftliches Zetrum Uiversität Basel Mathematik für Ökoome 1 Dr. Thomas Zehrt Grudbegriffe der Differetialrechug Referez: Gauglhofer, M. ud Müller, H.: Mathematik für Ökoome, Bad 1, 17. Auflage, Sakt Galle, Verlag Wilhelm Surbir, Seite 51-63

2 2 1 Differeze- ud Differetialquotiet 1.1 Defiitio ud Beispiele Gegebe sei eie stetige Fuktio y = f(x). Uter der durschittliche Äderug der Fuktio f im Itervall [x, x + ] vesteht ma de Quotiete f(x) := f(x + ) f(x). Der Ausdruck f(x) wird auch als Differezequotiet bezeichet. Geometrische Deutug: Der Differezequotiet ist gleich dem Tages des Neigugswikels σ der Sekate PQ. Sekate PQ Q y P σ x x+ Abbildug 1: Sekate

3 3 f( x+ ) Q y f(x) P σ σ x x+ = (x + ) x y = f(x + ) f(x) ta(σ) = y = f(x + ) f(x) (x + ) x }{{} Wie sieht die Gleichug der Sekate durch die beide Pukte P = (x, f(x)) ud Q = (x +, f(x + )) aus? Allgemeie Geradegleichug: y = mx + Gerade geht durch P ud Q: f(x) = mx + durch P f(x + ) = m(x + ) + durch Q Gleichuge ach m ud auflöse: m = f(x + ) f(x) = f = f(x) f x

4 4 Beispiele: 1. f(x) = x 2 2. f(x) = 1 x

5 5 Hausaufgabe 1.1 Bereche Sie die Differezequotiete der folgede Fuktioe: 1) y = f(x) = x 1 2) y = f(x) = 1 + x

6 6 Lässt ma u de Pukt Q gege P wader, d.h. 0 strebe, so geht die Sekate i die Tagete im Pukt P über. Wir betrachte de Tages des Neigugswikels τ der Tagete. Sekate PQ Q Tagete i P y P τ σ x x+ Abbildug 2: Sekate ud Tagete Der Grezwert f (x) := ta(τ) = f(x + ) f(x) lim 0 heisst der Differetialquotiet oder 1. Ableitug der Fuktio f a der Stelle x, falls dieser Grezwert existiert. Er stellt i gewisser Weise die,,mometae Äderug,, vo f a der Stelle x dar. Schreibweise: y = f (x) = df(x) dx = dy dx = Df(x)

7 7 Beispiele: 1. f(x) = x 2 2. f(x) = 1 x

8 8 Hausaufgabe 1.2 Bereche Sie die Differetialquotiete der folgede Fuktioe: 1) y = f(x) = x 1 2) y = f(x) = 1 + x

9 9 Hausaufgabe 1.3 Bestimme Sie jeweils die Gleichug der Sekate durch die gegebee Pukte auf dem Fuktiosgraphe. 1. y = f(x) = x 3 + x 2 1 durch (1,?) ud (2,?) 2. y = f(x) = x 2 x durch (1,?) ud (4,?) Hausaufgabe 1.4 Bestimme Sie jeweils die Gleichug der Tagete im gegebee Pukt auf dem Fuktiosgraphe. 1. y = f(x) = x 3 + x 2 1 i (1,?) 2. y = f(x) = x 2 x i (1,?)

10 10 Maple 1 Um eie Fuktio abzuleite sollte wir de Befehl D beutze. Dieser liefert wieder eie Fuktio zurück. Wir erkläre die Awedug a eiem eifache Beispiel. > restart: > f := x -> 4*x + 2; > plot( f(x), x=-3..3 ); > D(f); > D(f)(x); > D(f)(3); > plot( D(f)(x), x=-3..3 ); > plot( { f(x), D(f)(x) }, x=-3..3 ); Probiere Sie das aus!

11 Bemerkuge zu Stetigkeit ud Differezierbarkeit 1. Die Stetigkeit ist eie otwedige Bedigug für die Differezierbarkeit. Aschaulich betrachtet ist es leicht eizusehe, dass ma a eie Kurve i eiem Pukt, i dem die Fuktio icht stetig ist, keie Tagete alege ka. Versuche Sie zur Probe eie verüftige Weg zu fide, eie Tagete a eie Sprugstelle, Polstelle bzw. Oszillatiosstelle azulege. 2. Die Stetigkeit ist aber keie hireichede Bedigug für die Differezierbarkeit. Illustratio: x 0 x 0 x 0 ustetig, icht differezierbar i x 0 stetig, stetig, icht differezierbar differezierbar i x 0 i x 0 Abbildug 3: Stetigkeit ud Differezierbarkeit

12 12 2 Differetiatiosregel Satz y = k kostat y = 0 2. y = a f(x) mit a R y = a f (x) Kostateregel 3. y = f(x) ± g(x) y = f (x) ± g (x) Summeregel 4. y = x a mit a R y = a x a 1 Potezregel 5. y = f(x) g(x) y = f (x) g(x) + f(x) g (x) Produktregel 6. y = f(x) g(x) mit g(x) 0 y = f (x) g(x) f(x) g (x) g 2 (x) Quotieteregel 7. y = f(g(x)) y = f (g(x)) g (x) Ketteregel Beispiele: (Potezregel) y = 5 x 5 y = 5 5 x 5 1 = 25 x 4 (Summeregel ud Potezregel) y = x 5 + x 4 y = 5 x x 3 (Produkt-, Potez- ud Summeregel) y = x 2 (x 3 + 7x 1) y = 2x (x 3 + 7x 1) + x 2 (3x 2 + 7) (Quotiete-, Potez- ud Summeregel) y = x3 x 2 7 y = 3x2 (x 2 7) x 3 (2x) = x4 21x 2 (x 2 7) 2 (x 2 7) 2 (Kette-, Potez- ud Summeregel) g(x) = x 2 7x 3 f(u) = u 21 F(x) = f(g(x)) = (x 2 7x 3 ) 21 F (x) = f (g(x)) g (x) = 21(x 2 7x 3 ) 20 (2x 21x 2 )

13 13 Beweis: Um die Strategie dieser Beweise zu verstehe, wolle wir die Potezregel für Expoete aus de atürliche (ud de gaze Zahle) ud die allgemeie Produktregel beweise. Der Beweis beutzt dabei de biomische Lehrsatz, der eie Verallgemeierug der biomische Formel darstellt: Für alle reelle Zahle a ud b ud alle atürliche Zahle gilt (a + b) = k=0 ( ) a k b k k Sei also f(x) = x mit N. Da gilt zuächst für de Differezequotiete f(x) = f(x + ) f(x) = (x + ) x ( ) k x k () k x = k=0 = = = ( 0) x + ( ) 1 x 1 + ( ) 2 x 2 () ( ) () x ( 1) x 1 + ( ) 2 x 2 () ( ) () ( ) ( ) ( ) x 1 + x 2 () () Bis auf de erste Summade ethalte alle de Faktor, ud bilde wir u de Grezwert 0 verschwide alle diese Terme. Wir erhalte somit f (x) = f(x + ) f(x) lim 0 = lim 0 = x 1. (( ) x ( ) x 2 () ( ) )() 1

14 14 Uter der Voraussetzug, dass wir vo der Richtigkeit der Quotieteregel überzeugt wäre, köe wir u die Potezregel für egative gazzahlige Expoete beweise. Sei also f(x) = x = 1 x mit N. Da gilt (Produktregel) f (x) = 0 x 1 x 1 (x ) 2 = x 1 x 2 = x 1

15 15 Aufgabe 2.1 Differeziere Sie die folgede Fuktioe: 1. f(x) = x(x 2 + 1) 2. g(w) = w 5 3. h(y) = y(y 1)(y + 1) 4. G(t) = 2t + 1 t φ(ψ) = 2ψ ψ F(s) = s s 2 + s 2

16 16 3 Ableitug spezieller Fuktioe 3.1 Ableituge der trigoometrische Fuktioe Aufgabe 3.1 Überlege Sie sich, wie die Ableitug der Siusfuktio aussehe müsste ud skizziere Sie die Siusfuktio ud ihre Ableitug. y x y x

17 17 Satz 3.1 (Ableituge der trigoometrische Fuktioe) y = si(x) y = cos(x) y = cos(x) y = si(x) y = ta(x) y = 1 cos 2 (x) Beweis: Nehme wir a, dass wir die Ableitug der Siusfuktio scho kee würde, also (si(x)) = cos(x). Tatsächlich ka das direkt durch Berechug des Grezwertes bewiese werde, aber ma beötigt kompliziertere trigoometrische Idetitäte. Da köe wir recht leicht die Ableituge der beide adere trigoometrische Fuktioe bereche. Sei also f(x) = cos(x) = si ( x + π 2). Da gilt mit der Ketteregel ( ( (cos(x)) = si x + π )) 2 ( = cos x + π ) 2 = si (x + π) = si (x). Sei u f(x) = ta(x) = si(x). Nach der Quotieteregel gilt da cos(x) (ta(x)) = ( ) si(x) cos(x) = (si(x)) cos(x) (cos(x)) si(x) cos 2 (x) = cos2 (x) + si 2 (x) cos 2 (x) = 1 cos 2 (x).

18 Ableitug der Logarithmus- ud Expoetialfuktioe Satz 3.2 (Ableituge der Logarithmus- ud der Expoetialfuktioe) y = l(x) y = e x y = a x y = 1 x y = e x y = l(a) a x y = log a (x) y = 1 l(a) 1 x Beweis: Sei also y = l(x). Da gilt y l(x + ) l(x) = lim 0 Nu setze wir = 1 ud atürlich gilt 0 falls. Da folgt mit Hilfe der Logarithmegesetze: ( y l x + 1 = lim ) l(x) 1 ( ) = lim = lim l = lim l [ ( l [( x + 1 x [( 1 + x + 1 ) ] 1 x ) ] [( 1 ) ] x = l lim 1 + ( ) = l e 1 x )] l(x) = 1 x.

19 19 Sei u y = e x ud es gilt x = l(e x ). Leite wir diese Idetität mit Hilfe der Ketteregel ab, so gilt 1 = [l(e x )] = l (e x ) [e x ] = 1 e x [ex ]. Sei u y = a x = e l(a)x. Da gilt y = l(a) e l(a)x = l(a) a x. Sei u y = log a (x) = l(x). Da gilt l(a) y = 1 l(a) [l(x)] = 1 l(a) 1 x.

20 20 Aufgabe 3.2 Bereche Sie die Ableituge der Fuktioe: y = 10 x 6 3 x x 3 3 y = x 3x 2x y = 2 (l(x))2 cos(x) y = 1 si(x) y = 2x 3 e x 3 x + e 5 π 2 y = x l(x) log 10 (5x 3 ) ( ) 1 x y = l 1 + x y = x 1/ l(x) ; x > 0 y = x 1/x ; x > 0

21 21 Aufgabe 3.3 Beweise Sie die folgede Aussage. 1. Die 1. Ableitug eier gerade Fuktio ist eie ugerade Fuktio. 2. Die 1. Ableitug eier ugerade Fuktio ist eie gerade Fuktio. 3. Die 1. Ableitug eier periodische Fuktio ist eie periodische Fuktio.

22 22 Hausaufgabe 3.1 Bestimme Sie uter Verwedug der (Ableitugs)regel die Ableituge der folgede Fuktioe: 1. y = 7 (4 x) 8 2. y = 3 x 2 5x 3. y = si(2x 2 ) 4. y = 1 cos(3x) 5. y = si(x) 1 + e x 6. y = x l(4x) 7. y = e x 8. f 1 (x) = 3x + 1 x 4 für x 4 9. f 2 (x) = xe x 10. f 3 (x) = l 11. f 4 (x) = 7 3x 12. f 5 (x) = x x ( 1 ) 1 + x 2

23 23 4 Die Regel vo de l Hospital Wir wolle diese Kapitel mit eier ützliche Awedug der Differetialrechug beschliesse. Es ist häufig ötig, Grezwerte vo Quotiete zu bestimme, wobei sowohl der Zähler als auch der Neer bei Aäherug a de Pukt useres Iteresses, gege 0 strebe. Ei Beispiel ist der Grezwert e x 1 lim x 0 x = 0, 0 Satz 4.1 (1. Regel vo de l Hospital) Seie f, g : (a, b) R differezierbar ud es gelte g (x) 0 für alle x (a, b). Weiterhi sei c (a, b) mit f(c) = g(c) = 0. Da gilt lim x c f(x) g(x) = f (c) g (c). Aufgabe 4.1 Bestimme Sie mit Hilfe der Regel vo de l Hospital die folgede Grezwerte. e x 1 1. lim = x 0 x 2. lim x 1 x 2 1 x 1 = 3. lim x 2 x x 4 = 4. lim λ 0 x λ y λ λ =

24 24 Satz 4.2 (2. Regel vo de l Hospital) Seie f, g : (a, ) R differezierbar ud es gelte g (x) 0 für alle x (a, ), lim x g(x) = ud der Grezwert lim x f (x) g (x) existiere. Da gilt lim x f(x) g(x) = lim f (x) x g (x). Aufgabe 4.2 Bestimme Sie mit Hilfe der Regel vo de l Hospital die folgede Grezwerte. 1. lim x e x x = 2. lim x l(x) x = 3. lim x x l(x 2 + 1) =

25 Ihaltsverzeichis 1 Differeze- ud Differetialquotiet Defiitio ud Beispiele Bemerkuge zu Stetigkeit ud Differezierbarkeit Differetiatiosregel 12 3 Ableitug spezieller Fuktioe Ableituge der trigoometrische Fuktioe Ableitug der Logarithmus- ud Expoetialfuktioe Die Regel vo de l Hospital 23