Mathematik Formelsammlung

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1 Mathematik Formelsammlug Ihaltsverzeichis 1 II.Klasse Megelehre Zahlemege Vier Grudrechearte Vorzeicheregel Erweiter/Kürze Reche mit Brüche Grudlage der Algebra: Terme ud Poteze Multiplikatio vo Poteze Divisio vo Poteze Poteze mit egative Hochzahle Poteze vo Produkte Poteze vo Quotiete Poteziere vo Poteze Wurzelschreibweise Additio ud Subtraktio vo Wurzel Vereifache vo Wurzelepoete Teilweises Wurzelziehe Ausdruck uter die Wurzelbrige Divisio vo Wurzel Poteziere vo Wurzel Verschachtelte Wurzel Biomische Formel ud Zerleguge Lieare Gleichuge ud Ugleichuge Prozetrechug Fuktioe der Wirtschaft... 8 Lieare Fuktio... 8 Kostefuktio K... 8 Erlösfuktio E... 8 Gewifuktio G Matrizerechug Matrize Gleichuge höhere Grades Polyomfuktioe Quadratische Fuktio ABC/Mitterachtsformel III. Klasse Polyomfuktioe Logarithmusfuktioe Recheregel: Wachstum ud Zerfall Fiazmathematik Zise- ud Ziseszisrechug Reterechug Plaimetrie Flächeformel eies allgemeie Dreiecks Rechtwikeliges Dreieck

2 2.5.3 Gleichseitiges Dreieck Quadrat ud Rechteck Parallelogramm Trapez Deltoid Kreis Stereometrie Würfel Quader Prisma Pyramide Zylider Kegel Kugel Trigoometrie Rechtwikeliges Dreieck Trigoomische Flächeihaltsformel Siussatz Cosiussatz IV. Klasse Kurs ud Retabilitätsrechug Der Emissioskurs (Ausgabekurs) C o heißt Zusammehag zwische Kurs C ud Effektivverzisug i Kursformel bei Tilgug zum Newert Ivestitiosrechug Kapitalwert C 0 (Net Preset Value NPV oder Goodwill) Auitätemethode Wiedergewiugsfaktor Methode des itere Zissatzes Methode des modifizierte itere Zisatzes Differezialrechug Ableitug: f () Ableitug: f () Ableitugsregel Wichtige Ableituge: Fuktiosdiskussio Mootoie Symmetrie Achseschittpukte Asymptote Awedug der Differetialrechug Etremwertaufgabe Regressiosrechug Koste ud Preistheorie Gesamtkostefuktio Grezkoste K () Stückkostefuktio oder Durchschittskostefuktio Agebot, Nachfrage, Marktpreis, Gleichgewichtsmege Erlösfuktio Gewi

3 Bezeichugsverzeichis Fiazmathemathik i gazjähriger dekursiver Zissatz i m K 0,PV K,FV p r R r m T Z uterjähriger Zissatz Barwert des Kapitals, Afagskapital Edwert des Kapitals Verzisugsdauer i Jahre Azahl der Rate Azahl Rate pro Jahr Aufzisugsfaktor Rate uterjähriger Aufzisugsfaktor Azahl der Zistage Zise Trigoometrie gk Akathete ak Gegekathete h Hypoteuse Plaimetrie A Fläche V Volume M Matelfläche O Oberfläche G Grudfläche a,b,c, Seite des Dreiecks g Grudliie h Höhe d,p,q Diagoale r Radius s Matelliie Zahlemege N = {0,1,2,3, } Natürliche Zahle N = N {0} = {0,1,2,3, } Natürliche Zahle ohe ull N g = {2,4,6, } N u = {1,3,5, } f D W k d Fuktioe K() = k * + F k k* F K() Gerade atürliche Zahle Ugerade atürliche Zahle D W Defiitiosmege Wertemege Steigug y-achseabschitt lieare Gesamtfuktio proportioale Koste pro erzeugte Eiheit ohe Fikoste Azahl der erzeugte Eiheite variable Koste, proportioal zur erzeugte Stückzahl Fikoste Gesamtkoste für erzeugte Eiheite =0 Gleichug der y-achse y=0 Gleichug der -Achse y= y=d Gleichug der erste Mediae Gerade durch de Ursprug (0 0) mit der Steigug k 3

4 Nomielle Größe K 0 Nomialwert; Newert der Aleihe K Kupozahlug K= i omieller verbriefter Zisatz Laufzeit i Jahre Vom Markt abhägige Größe K 0 Realkaptial;Kaufpreis; Barwert der küftige K 0 i Leistuge des Schulders zum effektive Zisatz i i effektiver Zisatz, Redite Retabilität PV(i M ) Barwert der Aleihe zum Marktzisatz i M Ivestitiosrechug A 0 A 1, A 2., A E 1, E 2..,E R 1 =E 1 -A 1 i k i r A Auität Aktieaalyse Rt r N Itegralrechug f() Aschaffugskoste, Kaptialeisatz Nutzugsdauer i Jahre laufede jährliche Ausgabe laufede jährliche Eiahme Rückfluss im Jahr t, Ertrag im Jahr t kalkulatiorischer Zisatz Wiederveralagugszissatz Reivestitioszissatz Ist die Summe der auf de Zeitpukt der Aschaffug abgeziste Rückflüsse PV (Eiahme mius Ausgabe) mius de Aschaffugskoste Redite zum Zeitpukt t Mittelwert der Redite Azahl der Redite Itegral Itegratiosvariable a, b Itegratiosgreze 4

5 1 II.Klasse 1.1 Megelehre, {} A = B A B A B = { ( A) ( B)} A B = { ( A) ( B)} A\B = { ( A) ( B)} G A = { ( G) ( A)} mit A G A B = {(a b) (a A) (b B)} Leere Mege eie Mege, die kei Elemet ethält Gleichheit der Mege A ud B (Die Mege) A ist gleich (der Mege) B Die Mege A ist Teilmege vo G. A ist Teilmege vo G Durchschittsmege vo A ud B A geschitte mit B Vereiigugsmege vo A ud B A vereiigt B Differezmege vo A ud B A ohe B Die Mege C G A ist Komplemetärmege vo A i Bezug auf G. Komplemet vo A i G Produktmege vo A ud B A kreuz B 1.2 Zahlemege Vier Grudrechearte Additio = 5 Summad plus Summad = Summe Subtraktio 5-2 = 3 Miued mius Subtrahed = Differez Multiplikatio 2 * 3 = 6 Faktor mal Faktor = Produkt Divisio 6 : 2 = 3 Divided geteilt durch Divisor = Quotiet 5

6 1.2.2 Vorzeicheregel Vorzeicheregel Multiplikatio Divisio +(+a) = a +(-a) = -a -(+a) = -a -(-a) = +a (+a) * (+b) = a * b (+a) * (-b) = -a * b (-a) * (+b) = -a * b (-a) * (-b) = a * b (+a) : (+b) = a : b (+a) : (-b) = -a : b (-a) : (+b) = -a : b (-a) : (-b) = a : b Erweiter/Kürze Reche mit Brüche Summe Differez Produkt Quotiet a m b m = a b a b + c a d + b c = d b d a b c d = a d b c b d a b c a c = d b d a b : c a d = d b c 1.3 Grudlage der Algebra: Terme ud Poteze Die Grudmege G eies Terms ist die Mege der Elemete, die astelle der Variable i de Term eigesetzt werde. Die Defiitiosmege D eies Terms besteht aus de Elemete der Grudmege, durch die der Term zu eier reelle Zahl wird, Die Divisio durch ull ist icht zulässig Multiplikatio vo Poteze a m a = a m Divisio vo Poteze a m = am a Poteze mit egative Hochzahle a = 1 a Poteze vo Produkte (a b) = a b 6

7 1.3.5 Poteze vo Quotiete ( a b ) = a b Poteziere vo Poteze (a m ) = a m Wurzelschreibweise a m = a m Additio ud Subtraktio vo Wurzel r a m ± s a m = (r ± s) a m Vereifache vo Wurzelepoete p a m p = a m Teilweises Wurzelziehe a b = a b Ausdruck uter die Wurzelbrige a b = a b Divisio vo Wurzel a b = a b a m m = am b b Poteziere vo Wurzel ( a m ) q = a m q Verschachtelte Wurzel m a m = a 7

8 Biomische Formel ud Zerleguge (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a b) (a + b) = a 2 b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) 1.4 Lieare Gleichuge ud Ugleichuge Prozetrechug G Grudwert i = p 100 = p% Prozetsatz P = G p 100 = G i Prozetwert 1.5 Fuktioe der Wirtschaft Lieare Fuktio Kostefuktio K Erlösfuktio E Gewifuktio G Parabel Hyperbel y = k + d K() = k + F E() = p G() = E() K() y = ^ y = 1 f:y= lieare Fuktiosgleichug (Gerade) f:y=² gerade Epoete (achsesymmetrische Parabel) f:y=³ ugerade Epoete (puktsymmetrische Parabel) f:y= 2 Gerade Epoete (achsesymmetrische Hyperbel) f: y = 3 ugerade Epoete (puktsymmetrische Hyperbel) 8

9 1.6 Matrizerechug Matrize m * m Zeile * Spalte 1.7 Gleichuge höhere Grades Polyomfuktioe Quadratische Fuktio ABC/Mitterachtsformel a 2 + b + c = 0 1,2 = b ± b2 4ac 2a 9

10 2 III. Klasse 2.1 Polyomfuktioe Polyomfuktio vom Grad Fudametalsatz der Algebra: f: y = a + a a 0 Eie Gleichug -te Grades hat höchstes reelle Lösuge. Diese Lösuge müsse icht voeiader verschiede sei. Quadratische Fuktio Grad 2.2 Logarithmusfuktioe Lg Logarithmus zur Basis 10 f: y = a 2 + b + c L Logarithmus zur Basis e Recheregel: log a (u v) = log a u + log a v log a u v = log a u log a v log a u v = v log a u 2.3 Wachstum ud Zerfall y(t)=k t + y(0) Lieares Wachstum y(t)=y(0) (1 + i) t 2y 0 = y 0 (1 + i)) T Epoetielles Wachstum Verdoppelugszeit y 0 2 = y 0(1 + i) T1 2 Halbwertszeit y(t) = M 1+b e h t Logistisches Wachstum M Kapazitätsgreze 2.4 Fiazmathematik Zise- ud Ziseszisrechug Eifache Verzisug Z = K 0 i K = K 0 (1 i ) 10

11 Tageszigsformel für = K = K 0 (1 + i T Ziseszis Aufzisugsfaktor: r = 1 + i K = K 0 (1 + i) = K 0 r T Reterechug achschüssig: Barwert PV = R 1 r r 1 Edwert FV = R r 1 r 1 vorschüssig: Barwert PV v = Rr 1 r r 1 Edwert FV v = Rr r 1 r Plaimetrie A Fläche V Volume M Matelfläche O Oberfläche G Grudfläche a, b, c,. Seite des Dreiecks g Grudliie h Höhe d, e, f Diagoale r Radius s Matelliie Flächeformel eies allgemeie Dreiecks A = g h 2 A = s(s a)(s b)(s c) A = a + b + c Rechtwikeliges Dreieck Flächeformel A = a b 2 Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 Höhesatz h 2 = p q Kathetesatz a 2 = c p b 2 = c q 11

12 2.5.3 Gleichseitiges Dreieck Flächeformel Quadrat ud Rechteck Flächeformel Quadrat A = a 2 A = 3 4 a2 h 2 = 3 2 a Flächeformel Rechteck A = a b d 2 = a 2 + b Parallelogramm Flächeformel A = g h Trapez Flächeformel Deltoid Flächeformel Kreis Flächeformel Umfag Boge Sektor A = a+c 2 h = mh A = e f 2 A = r²π u = 2rπ b = rπα 180 r 2 πα Stereometrie Würfel Volume V = a 3 Oberfläche A = 6a Quader Volume Oberfläche V = abc A = 2(ab + ac + bc) Prisma Volume V = Gh G Grudfläche Pyramide Volume Zylider Volume Matelfläche V = Gh 3 V = Gh = r 2 πh M = 2rπ h 12

13 2.6.6 Kegel Volume V = Gh = r2 πh 3 3 Matelfläche M = rπ s s Matelliie Kugel Volume Oberfläche V = 4π 3 r³ O = 4r²π 2.7 Trigoometrie Rechtwikeliges Dreieck si α = Gegekathete Hypoteuse cos α = Akathete Hypoteuse ta α = Gegekathete Akathete Trigoomische Flächeihaltsformel a b si γ a c si β b c si α A = = = Siussatz a si α = b si β = c si γ Cosiussatz a² = b² + c² 2bc cos α b² = c² + a² 2ca cos β c² = a² + b² 2ab cos γ 13

14 3 IV. Klasse 3.1 Kurs ud Retabilitätsrechug Der Emissioskurs (Ausgabekurs) C o heißt al pari, we C 0 =100 uter pari, we über pari, we C 0 <100 (Disagio, Abgeld) C 0 >100 (Agio, Aufgeld) Kaufpreis Ausgabekurs Tilgugsbetrag K 0 = C K 0 Kaufpreis = Ausgabekurs 100 Newert C 0 = K 0 K T = C 100 K 0 Ausgabekurs = Kaufpreis Newert 100 Der Marktzis i M orietiert sich a der Sekudärmarktredite. Im Normalfall gilt: = i M = i, d. h. die Redite etspricht dem Marktzis Zusammehag zwische Kurs C ud Effektivverzisug i Je iedriger der Kurs C, umso höher ist die Effektivverzisug i, ud je höher der Kurs, umso iedriger ist die Effektivverzisug. i < i K 0 > K 0 C > 100 i > i K 0 < K 0 C < 100 i = i K 0 = K 0 C = 100 Notierug über pari Notierug uter pari Notierug al pari Kursformel bei Tilgug zum Newert Barwert PV(i M ) Kurs C(i M ) K 0 i 1 (1 + i M) i M 100 i 1 (1 + i M) i M T (1 + i M ) 100 (1 + i M ) für K 0 =100 14

15 3.2 Ivestitiosrechug Kapitalwert C 0 (Net Preset Value NPV oder Goodwill) C 0 = A 0 + E t + A t (1 + i k ) t = A 0 + R t ( 1 + i k ) t t=1 t= Auitätemethode Wiedergewiugsfaktor i k A = C 0 1 (1 + i k ) i k 1 (1 + i k ) PV Methode des itere Zissatzes R t C 0 (i 0 ) = 0 0 = A 0 + (1 + i 0 ) t Der Zisatz i 0, für de der Kaptialwert gleich ull ist, heißt iterer Zisatz (Iteral Rate of Retur IRR). Eie Ivestitio ist vorteilhaft, we i 0 <i k ist. (IRR<i k ) t= Methode des modifizierte itere Zisatzes A 0 (1 + i mod ) = E mit E = R t ( 1 + i ) t t=1 i mod = E 1 A Differezialrechug Differezequotiet = Mittlere Äderugsrate = Steigug der Sekate Steigug der Sekate s: k s = Δy Δ = f( 0 + h) f( 0 ) h Differetialquotiet = Mometae Äderugsrate = Steigug a der Stelle 0 Steigug der Tagete s: h= 0 f( 0 + h) f( 0 ) h = f () 15

16 Ableitug: f () Ableitug: f () Ableitugsregel 1. Ableitug der Potezfuktio f() = f () = 1 2. Ableitug der kostate Fuktio (Zahl) f() = c f () = 0 3. Faktorregel [a f()] = a f () 4. Summeregel [f() + g()] = f () + g () 5. Produktregel [f() g()] = f () g() + f() g () 6. Quotiete Regel [ f() g() ] = f () g() f() g () [g()] 2 7. Ketteregel [f(g())] = f (g()) g () 8. Ableitug spezieller Fuktioe ( f()) ) = 1. f () 2 2 f() (e f() ) = e f() f () (l(f()) = 1. f () f() 16

17 Wichtige Ableituge: f() L Log a Si Cos f () 1 1 l a Cos Si Ta 1 + Ta² = 1 Cos² 1 1 ² 1 2 f() f () 2 f() 3.4 Fuktiosdiskussio Mootoie Die Fuktio f ist streg mooto steiged we f( 1 ) < f( 2 ) Die Fuktio f ist streg mooto falled we f( 1 ) > f( 2 ) Symmetrie f(-) = f() gerade Fuktio, symmetrisch bezüglich der y-achse Achsesymmetrisch f(-) = -f() ugerade Fuktio, symmetrisch bezüglich des Ursprugs puktsymmetrisch Achseschittpukte f( 0 ) = 0 0 ist die Nullstelle vo y = f() N( X 0 0 ) Schittpukt mit der -Achse y( 0 f(0) ) Schittpukt mit der y-achse Asymptote - Sekrechte Asymptote - Waagrechte Asymptote - Schräge Asymptote 17

18 3.5 Awedug der Differetialrechug Etremwertaufgabe Hauptbedigug (HB) aufstelle = Zielfuktio Nebebedigug (NB) aufstelle = Zusammehag beschreibe NB i HB eisetze -> Maimum/Miimum vo f() bereche f () = Regressiosrechug Methode der kleiste Quadrate 3.6 Koste ud Preistheorie Gesamtkostefuktio Gesamtkostefuktio Lieare Kostefuktio Ertragsgesetzliche Kostefuktio K() = K v () + F K() = k+f K() = a³ + b² + c + F Eigeschafte eier Polyomfuktio 3. Grades Streg Mooto wachsed Kostekehre = Wedepukt Keie Etremwerte, keie Nullstelle S Förmiger Verlauf Grezkoste K () Differezequotiet K(+1) K() (+1) = K( + 1) K() Stückkostefuktio oder Durchschittskostefuktio durchschittliche Gesamtkoste k() = K() = K() Das Miimum der durchschittliche Gesamtkoste ist das Betriebsoptimum die zugehörige miimale durchschittliche Gesamtkoste heiße lagfristige Preisutergreze 18

19 durchschittliche variable Koste k v () = K v() Das Miimum der durchschittliche variable Koste ist das Betriebsmiimum die zugehörige miimale variable Durchschittskoste heiße kurzfristige Preisutergreze Agebot, Nachfrage, Marktpreis, Gleichgewichtsmege Marktpreis + Gleichgewichtsmege ergebe sich als Schittpukt vo Agebots ud Nachfragefuktio Erlösfuktio E() = P () P () P P () Nachfragefuktio kostater Preis variabler Preis Elastizität ε Elastizität ε = relative Megeäderug relative Preisäderug Die Elsatizität der Nachfrage gibt die prozetuelle Absatzäderug als Folge eier Preisäderug um 1% a. = p p Pukt Elastizität (Differezialquotiet) ε() = p() 1 p () ε N <-1 ε N =-1 ε N >-1 elastisch fließed uelastisch 19

20 Elastizität des Agebots ε A >1 elastisch ε A =1 ε A <1 elastisch uelastisch Gewi G() = E() K() Gewi = Erlös - Koste G () = E () K () Grezgewi = Grezerlös Grezkoste = Äderug eies Gewies Gewi-Maimierugsprizip E ( g ) = K ( g ) oder G ( g)=0 Die Produktmege g, bei der der maimale Gewi erzielt wird, heißt courotsche Mege. Der Preis P( g ) heißt courotscher Preis. Der Pukt C( g p( g )) auf der Nachfragefuktio heißt courotscher Pukt. Formel bei kostatem Preis ( = vollkommede Kokurrez) E () = p Erlös (liear) E () = p (> 0) Grezerlös = Preis d() = D() G() = E() K() g() = G() = p k() D() = E() K v () = p K v() = p K v () Gewi, Erlös Gesamtkoste Gewi pro Stück, Durchschittsgewi Deckugsbeitrag, Erlös variable Gesamtkoste Deckugsbeitrag pro Stück, Grezerfolg Formel bei moopolistischer Kokurrez E() = p () G() = E() K() 20