15.4 Diskrete Zufallsvariablen

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1 .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet heiße Zufallsvariable ( ZV ). Defiitio 7.) Ei Zufallsexperimet, desse Ergebismege M aus reelle Zahle besteht ud bei dem die Wahrscheilichkeit eies jede Elemetarereigisses größer als 0 ist, heißt diskrete Zufallsvariable..) Bei eier diskrete Zufallsvariable heißt die Fuktio p : M 0 ; mit p ( m ) =, die jedem Elemetarereigis m seie Wahrscheilichkeit zuordet, Wahrscheilichkeitsfuktio der diskrete Zufallsvariable. Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie

2 Beispiel Würfel mit zwei Würfel Betrachtet ma dieses Zufallsexperimet mit der Ergebismege M = ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( 3 / ) ; ( 3 / ) ; ( 3 / 3 ) ; ( 3 / 4 ) ; ( 3 / ) ; ( 3 / ) ; ( 4 / ) ; ( 4 / ) ; ( 4 / 3 ) ; ( 4 / 4 ) ; ( 4 / ) ; ( 4 / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ), so liegt keie Zufallsvariable vor, da die Ergebisse keie reelle Zahle sid. Betrachtet ma jedoch z.b. die Summe bzw. Differez der beide Augezahle, so erhält ma Zufallsvariable mit de Ergebismege M = ; 3 ; 4 ; ; ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 ; ; bzw. M = 0 ; ; ; 3 ; 4 ; Summe Differez Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie

3 Wertetabelle ud Graphe der zugehörige Wahrscheilichkeitsfuktioe: Summe m Wahrscheilichkeit p ( m ) Differez m Wahrscheilichkeit p ( m ) M = ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( 3 / ) ; ( 3 / ) ; ( 3 / 3 ) ; ( 3 / 4 ) ; ( 3 / ) ; ( 3 / ) ; ( 4 / ) ; ( 4 / ) ; ( 4 / 3 ) ; ( 4 / 4 ) ; ( 4 / ) ; ( 4 / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 3

4 Wertetabelle ud Graphe der zugehörige Wahrscheilichkeitsfuktioe: Summe m Wahrscheilichkeit p ( m ) Differez m Wahrscheilichkeit p ( m ) p ( m ) p ( m ) 0 Summe 0 Differez m 3 4 m Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 4

5 Defiitio 8 ( Erwartugswert, Variaz ud Stadardabweichug eier diskrete ZV ) Für eie diskrete Zufallsvariable mit Ergebismege M ud Wahrscheilichkeitsfuktio p ( m ) defiiert ma de Erwartugswert µ, die Variaz σ sowie die Stadardabweichug σ als Quadratwurzel aus der Variaz wie folgt:.) µ = m. p ( m ) Erwartugswert µ eier diskrete ( µ = mü ) Zufallsvariable Variaz σ ( σ = sigma ).) σ = ( m - µ ). p ( m ) eier diskrete Zufallsvariable 3.) σ = ( m - µ ). p ( m ) Stadardabeichug σ eier diskrete Zufallsvariable Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie

6 Beispiel : Würfel Die Wahrscheilichkeitsfuktio lautet m 3 4. Der Erwartugswert beträgt p ( m ) µ = m. p ( m ) Die Variaz beträgt = = 3, σ = ( m - µ ). p ( m ) = ( - 3, ). + ( - 3, ). + ( 3-3, ). + ( 4-3, ). + ( - 3, ). + ( - 3, ). =,9 Die Stadardabweichug beträgt daher σ =,9 =,708. Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie

7 Beispiel : Augedifferez beim Würfel mit Würfel Die Wahrscheilichkeitsfuktio lautet m Der Erwartugswert beträgt p ( m ) µ = m. p ( m ) Die Variaz beträgt = =,94 σ = ( m - µ ). p ( m ) = ( 0 -,94 ). + ( -,94 ). 0 + ( -,94 ). = ( 3 -,94 ). + ( 4 -,94 ). 4 + ( -,94 ). =,0 8 Die Stadardabweichug beträgt daher σ =,0 =,433. Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 7

8 Bemerkuge.) Der Erwartugswert eier Zufallsvariable ist der Wert, der im Durchschitt uter Berücksichtigug der jeweilige Wahrscheilichkeite zu erwarte ist. Bei Laplace - Experimete ( we also alle Elemetarereigisse die gleiche Wahrscheilichkeit habe ) etspricht der Erwartugswert dem arithmetische Mittel aller Elemetarereigisse..) Die Stadardabweichug eier Zufallsvariable ist ei Maß für die Streuug der Elemetarereigisse um de Erwartugswert, also dafür, wie stark sich die Elemetarereigisse im Durchschitt uter Berücksichtigug der jeweilige Wahrscheilichkeite vom Erwartugswert uterscheide. Die Stadardabweichug ist aber icht das arithmetische Mittel der auftretede Abweichuge ( auch icht bei Laplace - Experimete ), soder wege der besodere Art der Durchschittsberechug stets midestes so groß wie die- ses arithmetische Mittel ( jeweils uter Berücksichtigug der jeweilige Wahr- scheilichkeite ). Beispielsweise beträgt die Stadardabweichug beim Würfel σ =,708 ( siehe Beispiel ), währed die durchschittliche Abweichug ur de Wert, hat. Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 8

9 Beispiel 3: Roulette Das Roulette - Spiel ist ei Laplace - Experimet mit M = 0 ; ; ;... ; 3 ; als Ergebismege, bei dem jedes Elemetarereigis die Wahrscheilichkeit hat. Der Erwartugswert beträgt daher i = µ = m. p ( m ) i =. ( + ) = m. i = i =. = = 8 m = 0 Die Variaz beträgt 8 σ = ( m - µ ). p ( m ) = ( m - 8 ). =.. i m = 0 i = = = 4 Die Stadardabweichug beträgt damit σ = 4 = 0,77. Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 9

10 Bemerkuge.) Der Erwartugswert ud damit auch Variaz ud Stadardabweichuge sid icht für alle Zufallsexperimete defiiert, soder ur für Zufallsvariable, da mit de Elemetarereigisse gerechet wird ud diese daher reelle Zahle sei müsse. Es gibt also z.b. keie Erwartugswert beim Würfel mit eiem Farbewürfel..) Adererseits ist es icht bei jeder Zufallsvariable sivoll, de Erwartugswert sowie Variaz ud Stadardabweichug zu bestimme. So ist es z.b. für eie Roulettespieler völlig utzlos zu wisse, dass der Erwartugswert 8 ist ( siehe Beispiel 3 ), ud es wäre absolut silos, deswege vermehrt auf die Zahl 8 zu setze. Dies liegt dara, dass die Elemetarereigisse beim Roulette ur formal reelle Zahle sid; diese reelle Zahle werde aber icht zur Agabe der Größe der jeweilige Elemetarereigisse, soder ur zu ihrer Uterscheidug beutzt. Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 0

11 Beispiel 4: Roulette Mit wie viel Gewi ka ma durchschittlich reche, we ma beim Roulette auf Rot setzt? Dies ka ma als Zufallsvariable auffasse mit der Ergebismege M = 0 ; ud de Wahrscheilichkeite p ( 0 ) = ud p ( 74 ) =. Der Erwartugswert beträgt daher µ = =. Setzt ma higege auf die Zahl 0 ( oder eie beliebige adere Zahl ), so ka ma auch dies als Zufallsvariable auffasse mit der Ergebismege M = 0 ; 33 ud de Wahrscheilichkeite p ( 0 ) = ud p ( 33 ) =. =. Der Erwartugswert beträgt da µ = =. Der Erwartugswert beim Roulette ist also bei beide Spielarte ( ud auch alle adere ) gleich. Uterschiedlich sid aber die Stadardabweichuge: Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie

12 Beispiel 4: Roulette Beim Setze vo auf Rot beträgt die Variaz σ = ( m - µ ). p ( m ) = 9 8 ( 0 - ). + ( 74 - ). = 8 ud damit die Stadardabweichug σ = 8 =,98. Beim Setze vo auf die Zahl 0 beträgt die Variaz σ = ( m - µ ). p ( m ) = ( 0 - ). + ( 33 - ). = 4 ud damit die Stadardabweichug σ = 4 =. Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie

13 Beispiel : Würfel, bis eie gewürfelt wird Wie oft muss ma erwartugsgemäß würfel, we ma so lage würfelt, bis ma eie gewürfelt hat? Dies ist eie diskrete Zufallsvariable mit der Ergebismege M = N +. Die Wahrscheilichkeitsfuktio lautet p ( m ) = m -. m =.. Azahl Würfe m Wahrscheilichkeit m -. Wahrscheilichkeit, im zweite Wurf eie zu würfel Wahrscheilichkeit, im erste Wurf keie zu würfel Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 3

14 Die Wahrscheilichkeitsfuktio lautet p ( m ) = m -. m =.. Der Erwartugswert beträgt daher µ = m. p ( m ) 8 = m.. m = 8 = m = x - 3. ( x - 3 ) = für x ε ; 4 (., Beispiel ) ( 4 - x ) 8 Mit x = 3 gilt daher m. = Bemerkug m = = 30 Ist die Ergebismege uedlich, so muss bei der Bestimmug des Erwartugswerts der Grezwert eier uedliche Reihe berechet werde. Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 4 m Falls dies icht möglich ist, ka der Erwartugswert icht bestimmt werde. Falls die Reihe diverget ist, hat die Zufallsvariable keie Erwartugswert. Gleiches gilt auch für die Variaz ud damit auch für die Stadardabweichug. Dabei ist zu beachte:

15 Beispiel : Lebeserwartug I der Budesrepublik Deutschlad beträgt die durchschittliche Lebeserwartug für eugeboree Juge 7, Jahre ud für eugeboree Mädche 8, Jahre. Ei Jahr zuvor ware es 7, beziehugsweise 8,8 Jahre. ( Statistisches Budesamt, Februar 008 ) Auch die Lebeserwartug ist der Erwartugswert eier diskrete Zufallsvariable. Das zugrudeliegede Zufallsexperimet besteht i der Geburt eies Kides: die Elemetarereigisse sid z.b. die atürliche Zahle bis ( etwa ) ; sie bedeute das Sterbealter i Jahre ( evtl. geauere Dateerhebug ) die Wahrscheilichkeit für die Elemetarereigisse wird statistisch ermittelt Die Bestimmug dieser Wahrscheilichkeite ist aber offebar erst möglich, we alle im Jahr 008 geboree Kider gestorbe sid! Was bedeutet die obige Statistik für eie 8-jährige Ma? a) Er ist seit 9 Jahre tot b) Er sollte kei großes Bier mehr bestelle c) Er sollte auch kei kleies Bier mehr bestelle d) Er sollte keierlei besodere Maßahme ergreife ( evtl. Statistik studiere ) Richtig ist d), da seie weitere Lebeserwartug als bedigte Wahrscheilichkeit berechet werde muss ud ihm wahrscheilich och eiige Lebesjahre bleibe. Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie

16 Biomialverteilug Ei beliebiges Zufallsexperimet wird - mal durchgeführt. Bei jeder dieser Durchführuge achtet ma darauf, ob ei Ereigis A eitritt oder icht. Da erhält ma eie Zufallsvariable mit Ergebismege M = 0 ; ; ;... ;, bei der jedes Elemetarereigis für die Azahl steht, mit der das Ereigis A bei de Durchführuge des obige Zufallsexperimets eigetrete ist. Ist p = p ( A ) die Wahrscheilichkeit des Ereigisses A, so heißt diese eue Zufallsvariable biomialverteilt mit Parameter ud p oder kurz B ( ; p ) - verteilt. Zur Bestimmug der Wahrscheilichkeitsfuktio eier Biomialverteilug betrachte das folgede Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass bei 4 - maliger Durchführug des Zufallexperimets das Ereigis A geau 3 - mal eitritt? Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie

17 p Zufallsexperimet 4 - mal durchführe - p A A p - p p - p A A A A p - p p - p A A A A p - p p - p A A A A A A A A p - p p - p p - p p - p p - p p - p p - p p - p Nach. gibt es geau ( 4 ) 3 = 4 Möglichkeite, aus de 4 Durchführuge des Zu- fallsexperimets die 3 Durchführuge auszuwähle, i dee das Ereigis A eitritt. Jede dieser 3 Durchführuge hat die Wahrscheilichkeit p. p. p. ( - p ) = p 3. ( - p ). Das Ereigis A tritt also mit Wahrscheilichkeit ( 4 ) 3. p 3. ( - p ) geau 3 - mal auf. Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 7

18 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass bei 4 - maliger Durchführug des Zufallex- perimets das Ereigis A geau 3 - mal eitritt? Das Ereigis A tritt also mit Wahrscheilichkeit ( 4 ) 3. p 3. ( - p ) geau 3 - mal auf. Allgemei gilt: Die Wahrscheilichkeit, dass bei - maliger Durchführug eies Zufallexperimets ei Ereigis A ( mit Wahrscheilichkeit p = p ( A ) ) für eie beliebige Azahl k ( ) zwische 0 ud geau k - mal eitritt, beträgt p ( k ) =. p k. ( - p ) - k. k Beispiel Die Wahrscheilichkeit, dass bei 0 - maligem Würfel geau 0 - mal die Zahl ge- würfelt wird, beträgt ( 0 ) p ( 0 ) = = 0, = 3,7 % Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 8

19 Bemerkuge zur Biomialverteilug.) Wie bei jedem Zufallsexperimet ( vgl. Satz a aus. ) hat die Summe der Wahrscheilichkeite aller Elemetarereigisse auch bei der Biomialvertei- lug de Wert : p ( m ) =. p k. ( - p ) - k = (p + ( - p )) = = k = 0 ( ) k biomischer Satz.) Eie B ( ; p ) - verteilte Zufallsvariable hat de Erwartugswert. p, de: µ = m. p ( m ) ( ) = k.. p k. ( - p ) - k k k = 0 = k.!. p k. ( - p ) - k k!. ( - k )! k = Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 9

20 = k.!. p k. ( - p ) - k k!. ( - k )! k =. ( - )! =. p. p k -. ( - p ) ( k - )!. (( - ) - ( k - ))! k = ( - ) =. p.. k p -. ) ( - p ) k - k = ( - ) - (k - - k - ( - ) =. p.. p j. ( ( - p ) - ) - j j =. p. (p + ( - p )) - =. p j = k - j = 0 biomischer Satz Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 0

21 Bemerkuge zur Biomialverteilug 3.) Mit ähliche Umformuge wie i Bemerkug ka ma auch die Variaz eier B ( ; p ) - verteilte Zufallsvariable bereche; sie beträgt. p. ( - p ). Es gilt damit allgemei für jede B ( ; p ) - verteilte Zufallsvariable : Wahrscheilichkeitsfuktio: p ( k ) =. p k. ( - p ) - k ( ) k Erwartugswert: µ =. p Variaz: σ =. p. ( - p ) Stadardabeichug: σ =. p. ( - p ) Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie

22 Graph der Wahrscheilichkeitsfuktio eier Biomialverteilug Beispiel: = 4, p = 0,3 (, also p ( k ) = 4 ). 0,3 k. 0,7 - k k k p ( k ) 0,007 0,04 0,3 0,94 0,9 0,9 0, 0,0 0,03 0,007 0,00 0,000 p ( k ) k 3 4 p ( k ) 0,0000 0, , , k Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie

23 p ( k ) 0, Erwartugswert: µ =. p µ = 4. 0,3 = 4, 3 4 4, µ k max k Ist k max das Elemetarereigis mit der größte Wahrscheilichkeit, so liegt der Erwartugswert µ stets zwische k max - p ( A ) ud k max + p ( A ) : k max - p < µ < k max + - p bzw. µ + p - < k max < µ + p 4-0,3 < µ < 4 + 0,7 bzw. 4, - 0,7 < k max < 4, + 0,3 Istitut für Automatisierugstechik Prof. Dr. Ch. Bold Aalysis.4 Folie 3