Kleines Matrix-ABC. Fachgebiet Regelungstechnik Leiter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger. 1 Elementares

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1 4 6 Fachgebiet Regelugstechik Leiter: Prof. Dr.-Ig. Joha Reger Kleies Matrix-ABC 1 Eleetares Eie ( )-Matrix ist eie rechteckige Aordug vo reelle oder koplexe Zahle a ij (auch Skalare geat) ud besteht aus Zeile ud Spalte: a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 A {a ij }... a 1 a 2 a. Die Skalare a ij heiße Eiträge oder Eleete der Matrix A. Eie Matrix heißt quadratisch, we ist. Der Rau der reelle -Matrize wird it R bezeichet. Eie Matrix it ur eier Spalte, also 1 heißt Spaltevektor: v 1 v 2 v. R v Die Eiträge v i des Vektors sid wieder Skalare ud habe eist ur eie eistellige Idex. Eie Matrix it ur eier Zeile heißt etspreched Zeilevektor. U dies zu betoe werde Zeilevektore häufig als traspoierte Spaltevektore geschriebe: v T. Zur Notatio Mache Autore verwede spezielle Schriftsätze, u zwische Matrize, Vektore ud Skalare zu uterscheide. So werde Matrize achal durch Großbuchstabe (A, B,...), Vektore durch Kleibuchstabe (a, x, v,...) ud Skalare durch griechische Buchstabe (α, β, γ,...) dargestellt. Adere verwede fette Buchstabe A,B,C für Matrize oder Pfeile über de Buchstabe ( a, x, v) für Vektore. Leider gibt es keie eiheitliche Kovetio. Deshalb sollte a i Zweifelsfall stets selbst prüfe, u was es sich hadelt. Idetität (Eiheitsatrix) I R it: I We sich die Diesio aus de Zusaehag ergibt, wolle wir de Idex weglasse. Traspoierte Bei Traspoiere eier Matrix werde Spalte ud Zeile vertauscht. Wir otiere 1 die Traspoierte eier Matrix A eie hochgestellte T: [ ] A, A T Mache Autore schreibe A. (Dr. Kai Wulff) Seit April 2013

2 Ma beachte, dass sich für icht-quadratische Matrize auch die Diesio ädert. Natürlich köe auch Vektore traspoiert werde. Dabei wird aus de Spaltevektor v der Zeilevektor v T. Bei Matrize it koplexwertige Eleete wird bei Traspoiere häufig auch gleich das Vorzeiche der Iagiärteile der Eleete gewechselt, also kojugiert. 2 Diese Operatio heißt adjugiere, die Adjugierte der Matrix A wird it A bezeichet. 3 Lieare Uabhägigkeit Die Mege vo Vektore {v 1,..., v } R heißt liear abhägig, we es reelle Zahle α 1,..., α R gibt, die icht alle ull sid, so dass für die Liearkobiatio gilt: α 1 v 1 + α 2 v α v 0. We die eizige Lösug α 1 α 2... α 0 ist, so heißt die Mege vo Vektore liear uabhägig. Rag Der Rag eier Matrix bezeichet die Azahl ihrer liear uabhägige Spalte (oder Zeile). Sei A R. Da gilt: Für quadratische Matrize A R gilt: rag(a) i{, } rag(a) rag(a T ). we rag(a), so heißt A regulär (oder icht-sigulär), we rag(a) <, so heißt A sigulär (oder icht-regulär). Additio Zwei Matrize werde addiert, ide jedes Eleet addiert wird. Es köe also ur Matrize gleicher Größe addiert werde. Multiplikatio Zwei Matrize werde ultipliziert, ide die Skalarprodukte der Zeile ud Spalte ausgewertet werde. Geauer gesagt ergibt sich der Eitrag a ij des Produkts zweier Matrize aus de Skalarprodukt der i-te Zeile des erste Faktors ud der j-te Spalte des zweite Faktors. Beachte Sie, dass ur Matrize geeigeter Diesio ultipliziert werde köe. Seie A R, B R r, so ist C AB R r : b 11 b 1r a 11 a 12 a 1 b C 21 b 2r..... a 1 a 2 a b r b 1 a 1j b j1. a j b j1 a j b jr. a j b jr 2 Achtug: Matlab acht dies bei Traspoiere vo koplexe Matrize autoatisch. 3 Nicht zu verwechsel it der Adjukte, die weiter uter betrachtet wird. (Dr. Kai Wulff) Seit April 2013

3 2 Quadratische Matrize Quadratische Matrize habe die gleiche Azahl vo Spalte wie Zeile. Spur Die Spur eier Matrix ist die Sue der Diagoaleleete: Spur(A) a ii. i1 Die Kofaktore γ ij bereche sich it Hilfe der Miore oder Uterdeteri- Kofaktor ud Mior ate. Es gilt: γ ij ( 1) i+j det(m ij ), wobei M ij R ( 1) ( 1) diejeige Uteratrix vo A ist, die ach Streiche der i-te Zeile ud j-te Spalte bleibt. Dere Deteriate det(m ij ) heißt Mior oder Uterdeteriate. Als Hauptiore, Hauptuterdeteriate oder auch Hauptabschittsdeteriate werde diejeige Miore bezeichet, die zu dejeige Uteratrize gehöre, die durch sukzessives Streiche der letzte Spalte ud uterste Zeile hervorgehe (achal auch als ordwestliche Uteratrize oder Hauptabschitt bezeichet). Es gibt also stets Hauptiore. Deteriate Die Deteriate eier Matrix ka iterativ über ihre Uterdeteriate gebildet werde. Dafür gilt: det(a) a ij γ ij, wobei der Idex i beliebig gewählt werde ka ud γ ij der(i, j)-kofaktor vo A ist. Beispiele: Etwicklug etlag der erste Zeile: det a d b c, (die Kofaktore sid: γ c d 11 d, γ 12 c) a b c [ ] [ ] [ ] det d e f e f d f d e a det b det + c det h i g i g h g h i Adjukte Die Adjukte 4 setzt sich aus de Kofaktore zusae. Sei C(A) {γ ij } eie Matrix dere Eleete die Kofaktore vo A sid. Da ergibt sich die Adjugierte durch Traspoiere: adj(a) C(A) T Beispiel: Für eie(3 3)-Matrix ergibt sich also: [ ] [ ] e f d f det det h i g i a b c [ ] [ ] adj d e f b c a c det det h i g i g h i [ ] [ ] b c a c det det e f d f [ ] d e det g h det g h det d e T 4 Adjukte icht zu verwechsel it der Adjugierte (kojugiert-koplexe Traspositio) (Dr. Kai Wulff) Seit April 2013

4 Iverse Sei A R regulär: A 1 1 det(a) adj(a). Beispiel: Besoders eifach ist das bei(2 2) Matrize: A, it det(a) 0 c d [ ] A 1 1 d b. ad bc c a Iverse eier Traspoierte Sei A R regulär. Es gilt: (A T) 1 (A 1) T weil: ( A T) 1 A T ( A 1) T A T I AA 1 Äquivalete Eigeschafte Sei A R. Es gilt: rag(a) < det(a) 0 A ist sigulär A ist icht-regulär A ist icht ivertierbar A hat (id.) eie Eigewert λ 0. Ählichkeitstrasforatio Sei A, T R ud T regulär: Ã T 1 AT. Ã ud A heiße ählich. Ã ud A habe de gleiche Rag, die gleiche Deteriate, die gleiche Spur, die gleiche Eigewerte (it jeweils gleiche algebraische ud geoetrische Vielfachheite). Koutierede Matrize Bis auf Ausahefälle gilt: AB BA Beispiel: A [ ] 1 1, B 0 1 [ ] 1 0, AB 1 1 [ ] 2 1, aber: BA 1 1 Ma sagt: die Matrize A ud B koutiere, we gilt: AB BA [ ] Beispiel: A [ ] 1 1, B 0 1 [ ] 2 1, AB BA 0 2 [ ] 2 3, 0 2 Ma ka sogar zeige, dass Matrize, die i oberer Dreiecksfor sid, ier koutiere. (Dr. Kai Wulff) Seit April 2013

5 3 Produkte vo Matrize I ache Fälle ist es hilfreich, das Produkt zweier Matrize icht uittelbar durch seie Eleete auszudrücke, soder durch seie Zeile oder Spalte. Beispiele: Seie dabei A R ud B R r. Sei weiter a i die i-te Spalte vo A ud b T j die j-te Zeile vo B. b T 1 b T AB [ ] b T 2 a 1 a 2 a a. 1 b1 T + a 2 b2 T +...+a b T. Ma beachte: auf der rechte Seite steht eie Sue vo Matrize aus R r. Seie weiter C R l ud D R r p. Da ka das Produkt auch spalteweise: CA C [ a 1 a 2 a ] [ Ca1 Ca 2 Ca ] R l oder zeileweise aufgeschriebe werde: b T 1 b T b T 2 BD D. b1 TD b 2 TD R p. bd T Traspoierte eies Produkts Sei A, B R. (AB) T B T A T Rag eies Produkts Seie A R ud B R r. rag(ab) i { rag(a), rag(b) } Deteriate eies Produkts Sei A, B R : det(ab) det(a) det(b) Iverse eies Produkts Sei A, B R, regulär: (AB) 1 B 1 A 1 (Dr. Kai Wulff) Seit April 2013

6 4 Eigewertgleichug Als Eigewertgleichug der Matrix A R wird folgeder Zusaehag bezeichet: Av λv. (1) Dabei heiße λ C Eigewert vo A ud v C zu λ zugehöriger Eigevektor vo A. Wir köe die Eigewerte vo A fide, we wir Av auf die rechte Seite brige ud v ausklaer: 0 λv Av 0 (λi A) v. } {{ } M Das Ergebis läßt sich u wiederu als Eigewertgleichug iterpretiere: v ist Eigevektor zu Eigewert λ M 0 vo der Matrix M λi A. Also ist die Matrix M sigulär ud es gilt: det(m) det(λi A) 0 (2) Jedes λ C, für das diese Gleichug erfüllt ist, löst die Eigewertgleichug. Die Deteriate det(λi A) ist ei Polyo -te Grades i λ ud wird charakteristisches Polyo geat: p(λ) : det(λi A) λ + a 1 λ a 1 λ+a 0 wobei a i R solage A ausschließlich reelle Eleete besitzt. Die Nullstelle (Wurzel) des charakteristische Polyos p(λ) sid also die Eigewerte vo A. Sid alle Eigewerte verschiede, so fidet a geau Stück. Tritt ei Eigewert λ i ehrfach auf, so bezeichet µ(λ i ) die algebraische Vielfachheit. Es gilt da aber auch: i µ(λ i ). Für reelle Matrize A trete icht-reelle Eigewerte stets i kojugiert-koplexe Paare auf. Zu jede Eigewert λ ka a idestes eie liear uabhägige Eigevektor v C fide, höchstes aber µ(λ). Die Azahl der liear uabhägige Eigevektore heißt geoetrische Vielfachheit ν(λ). Es gilt also: 1 ν(λ) µ(λ) Der Eigewert λ it algebraischer Vielfachheit µ(λ) > 1 heißt halb-eifach, we gilt µ(λ) ν(λ). Für die Eigewerte gilt: λ i Spur(A) ud i1 λ i i1 det(a) Achtug: Hier trete die Eigewerte etspreched ihrer algebraische Vielfachheit auf. Caylay-Hailto Theore Sei p(λ) det(λi A) λ + a 1 λ a 1 λ+a 0 it λ C das charakteristische Polyo vo A R. Da gilt: p(a) A + a 1 A a 1 A+a 0 I 0. (3) (Dr. Kai Wulff) Seit April 2013