Proseminar Lineare Algebra WS 2016/17

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1 Prosemiar Lieare Algebra WS 2016/17 Bachelorstudium Lehramt Sekudarstufe (Allgemeibildug) Lehramtsstudium Uterrichtsfach Mathematik Kapitel 0: Grudlage 1. Wie sid die Begriffe Vereiigug, Durchschitt ud Differez vo Mege defiiert? Bestimme Sie (durch Aufzähle ihrer Elemete) die Mege ud ({ab, ba, 13, 21,?} {ba, 21, 9, z, yyy}) {a, b, 1, 2, y, z, 9, 13}, ({ab, ba, 13, 21,?} {ba, 21, 9, z, yyy}) {a, b, 1, 2, y, z, 9}, ({ab, ba, 13, 21,?} \ {a, b, 13, 21}) {z, 13}. Ist eie dieser drei Mege eie Teilmege eier adere dieser drei Mege? 2. Wie überprüft ma, ob zwei Mege gleich sid? Prüfe Sie ach, ob die folgede Behauptuge richtig sid. {(a, b) Z 2 a + 1 = 5, 2b = 6} = {(4, 3)} {(a, b) Z 2 a + 1 = 5, 2b = 6} = {(x, u) Z 2 x + 2 = 6, 3u = 9} {(a, b) Z 2 a 2 = 1, b 2 = 1} = = {(r, 1) Z 2 r 2 = 1} {(s, 1) Z 2 s 2 = 1} 3. Es seie A ud B Mege. Was ist eie Fuktio (oder Abbildug) vo A ach B? Was ist der Graph eier Fuktio? Beschreibe Sie die uter a), b) ud c) dargestellte Situatioe durch Fuktioe (gebe Sie de Defiitiosbereich, de Bildbereich ud die Zuordug a). Überlege Sie, wie ma diese Fuktioe gut darstelle ka. Gebe Sie auch die Graphe dieser Fuktioe a. Wähle Sie i de Bildbereiche dieser Fuktioe je ei Elemet ud beschreibe Sie die Mege aller Urbilder dieses Elemetes i Worte. (a) Bei eier Umfrage werde 200 Persoe gefragt, welche der Farbe Silber, Weiß, Blau, Grü, Rot, Schwarz sie für ihr Auto bevorzuge. Jede befragte Perso et geau eie dieser Farbe. (b) Nach der Umfrage i a) wird für jede Farbe die Azahl der Persoe, die sie gewählt habe, ermittelt. Schließlich wird für jede Farbe berechet, wieviel Prozet der befragte Persoe diese Farbe bevorzuge. 4. Beschreibe Sie die uter a) ud b) dargestellte Situatioe durch Fuktioe (gebe Sie de Defiitiosbereich, de Bildbereich ud die Zuordug a). Überlege Sie, wie ma diese Fuktioe gut darstelle ka. Gebe Sie auch die Graphe dieser Fuktioe a. Wähle Sie i de Bildbereiche dieser Fuktioe je ei Elemet ud beschreibe Sie die Mege aller Urbilder dieses Elemetes i Worte. (a) Jedem Pukt im Bezirk Schwaz wird seie Höhe (i Meter) über dem Meer zugeordet. Wie werde auf eier Karte die Mege der Urbilder vo 600, 700,... dargestellt? Erkläre Sie i diesem Zusammehag de Uterschied zwische eier Waderkarte ud eier Reliefkarte. (b) Ei Auto fährt eie Miute lag. Am Ede jeder Sekude wird agegebe, welcher Weg (i Meter) i dieser Sekude zurückgelegt wurde. 5. Wie überprüft ma, ob zwei Fuktioe gleich sid? Es seie f : {1, 2, 3, 4} {5, 10, 17, 26}, 1 5, 2 10, 3 17, 4 26, g : {1, 2, 3, 4} N, x (x + 1) 2 + 1, h : {1, 2, 3, 4} {y 2 + 2y + 2 y = 1, 2, 3, 4}, z z 2 + 2z + 2, k : {1, 2, 3, 4} N, ( + 1) Überprüfe Sie für je zwei dieser Fuktioe, ob sie gleich sid. 1

2 6. Was ist eie Familie vo Elemete i eier Mege M mit Idexmege I? Was ist ei -Tupel vo Elemete i M? Schreibe Sie die folgede Fuktioe i Familieschreibweise a: {1, 2, 3} N, 1 5, 2 1, 3 1, N N, x x 2 + 2, Z N, x 2, {1, 2} {Huber, Gruber, Müller}, 1 Müller, 2 Gruber. {1, 2} {Huber, Müller, Gruber}, 1 Gruber, 2 Müller. 7. Vereie Sie jeder der folgede Aussage ud gebe Sie a (mittels Beweis ud/oder Gegebeispiel), welche der Aussage da richtig ist. (a) (b) (d) (e) K R a R ( x R, x a x / K) x R (x 0 si x 0) H R x 0 R x R ( x x 0 1 x H \ {x 0 }) x R ε R + y, z R (y, z (x ε, x + ε) si(y) < si(z)) ε R + x R y Z x y < ε (f) Ist der Apfel rot, da ist er reif. (g) p R + K R + x (K, + ) x 2 px + 1 > 0 (h) (i) (j) (k) p R + (K, q) R + R + x (K, + ) x 2 px + q > 0 K R + p R + q R + x (K, + ) x 2 px + q > 0 (p, q, K) R + R + R + x (K, + ) x 2 px + q > 0 p R + K R + x (K, + ) x si p x > 0 (l) p R + K R + x (K, + ) cos p x > 0 8. Was ist der Graph eier Fuktio? Schreibe Sie die Graphe der Fuktioe {1, 2, 3} N, 1 0, 2 4, 3 2, N N, z z 3 + z + 1, Z N, y 7, {1, 2, 3, 4, 5, 6} {Christa, Heier, Hubert, Michael, Sergiy, W erer}, 1 Christa, 2 Heier, 3 Heier, 4 Sergiy, 5 W erer, 6 Hubert a. 2

3 9. Bereche Sie ud 6 (j + 1), j=2 3 ab= 1 2 i=0 j=1 ab, 3 ( 1 (s r) ), r=2 s= 1 4 (3i + 2) (j + 1). 10. Schreibe Sie das Folgede mit Hilfe des Summezeiches oder Produktzeiches kürzer a: 4 7 =1 9 + ( 6) + ( 3) , , Was bedeutet es, eie Behauptug durch Iduktio zu beweise? Beweise Sie durch Iduktio: (a) Für jede positive gaze Zahl gilt (b) Für jede positive gaze Zahl 3 gilt (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) i=1 i 3 = 2 ( + 1) > ( + 1) ( + 1) = = ( + 1)( + 2) = ( + 1)(2 + 1) 6 1 1! + 2 2! ! = ( + 1)! 1 j=0 ( = 2 j) j=0 ( ) 2 = j ( ) 2 ( ) ( 1) l =? l l=0 (a + b) = i=0 ( ) a i b i i 12. Gibt es hier eie Regel? Falls ja, da formuliere Sie die ud beweise Sie. (a) 1 = = = = 16 ( + 1)( + 2)( + 3) 4 3

4 (b) 1 = = = = = = = = Seie A 1, A 2,... Behauptuge. Für welches folgt dass A wahr oder falsch ist? (a) A 10 ist wahr. Falls A wahr ist, da ist A +1 auch wahr. (b) A 100 ist falsch. Falls A wahr ist, da ist A +1 auch wahr. A 1 ist wahr. Falls A falsch ist, da ist A 1 auch falsch. (d) A 1 ist wahr. Falls A wahr ist, da ist A 1 auch wahr. (e) A 2 ist wahr. Falls A wahr ist, da ist A 2 auch wahr. (f) A 1 ist wahr. Falls A 1, A 2,..., A alle wahr sid, da ist A +1 auch wahr. 14. Was ist ei kommutativer Rig, was ist ei Körper? Beweise Sie: We a ud b Elemete eies kommutative Rigs sid, da ist a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2, a 2 b 2 = (a + b)(a b). Bereche Sie im Kopf Zeige Sie durch Iduktio über : We a ud b Elemete eies kommutative Rigs sid ud eie positive atürliche Zahl ist, da ist a b = (a b) ( 1 a 1 i b i). Was ist we der Rig icht kommutativ ist? 15. Bereche Sie die multiplikative Iverse der folgede komplexe Zahle: i= i, 7 i, 1 + 2i 16. Löse Sie die folgede Gleichuge modulo 11 (das heißt i Z 11 ): 6x = 2, 2x + 4 = 9, 3x 9 = 5, 7x = Welche der folgede Gleichuge sid modulo 12 (das heißt i Z 12 ) lösbar? Gebe Sie gegebeefalls eie Lösug a: 6x = 2, 2x + 4 = 9, 3x 9 = 5, 7x = Sei K eie Körper, N ud q 1 ei Elemet vo K. Zeige Sie: 19. Wir betrachte de Vektorraum R 3. i=0 q i = 1 q+1. 1 q (a) Schreibe Sie ei beliebiges Elemet (x, y, z) R 3 als Summe vo skalare Vielfache (=Liearkombiatioe) der Vektore e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) ud e 3 = (0, 0, 1). (b) Schreibe Sie die Vektore (5, 2, 3), (2, 4, 1) ud (0, 3, 0) als Summe vo skalare Vielfache (=Liearkombiatioe) der Vektore a 1 = (1, 1, 0), a 2 = (0, 1, 1) ud a 3 = (0, 0, 2). 4

5 20. Es sei K Teilkörper eies Körpers L ud V ei L-Vektorraum. Ist da x 1,..., x ei Erzeugedesystem vo V als L-Vektorraum ud α 1,..., α m ei Erzeugedesystem vo L, aufgefasst als K-Vektorraum, so bilde die Produkte α i x j mit i = 1,..., m ud j = 1,..., ei Erzeugedesystem vo V als K-Vektorraum. 21. Wir betrachte de R-Vektorraum Fide Sie ei Erzeugedesystem für P. P = { f : R R ; α 0,..., α x R: f(x) = α j x j }. 22. Es sei K ei Körper ud V ei edlich erzeugter K-Vektorraum. Zeige Sie, daß sich jedes beliebige Erzeugedesystem vo V zu eiem edliche Erzeugedesystem verkleier lässt. 23. Wir betrachte R 3 als R-Vektorraum. Überprüfe Sie die folgede Systeme vo Vektore auf lieare Abhägigkeit bzw. lieare Uabhägigkeit. (a) (1, 0, 1), (1, 2, 1), (0, 3, 2), (b) (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 9, 7), (2, 3, 4), (9, 7, 6), (6, 6, 6). 24. Sei K ei Körper, V ei K-Vektorraum ud x 1, x 2 V. Zeige Sie, daß x 1, x 2 geau da liear abhägig sid, we eier der beide Vektore ei skalares Vielfaches des adere ist. 25. Welche der folgede Systeme vo Vektore sid liear uabhägig? (a) I R 3 : i. (1, 3, 0), (2, 3, 4), (3, 0, 4). ii. (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2). (b) I R R = {f : R R}: i. f, g, h wobei f(x) = 5x 2 + x + 1, g(x) = 2x + 3 ud h(x) = x 2 1. ii. p, q, r wobei p(x) = cos 2 x, q(x) = cos(2x) ud r(x) = Gebe Sie ei System vo vier liear uabhägige Vektore i R 3 aufgefasst als Q-Vektorraum a. 27. Ergäze Sie das liear uabhägige System (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1) mit Vektore aus dem Erzeugedesystem (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), ( 1, 0, 0, 1) zu eier Basis des R Betrachte Sie die Utervektorräume U 1 := (1, 1, 0), (0, 1, 1) ud U 2 := (1, 0, 1) des R 3. Zeige Sie, daß U 1 + U 2 = R 3 ud U 1 U 2 = {0} gilt. 29. Sei V ei Vektorraum ud M eie Mege. Für f V M sei Tr(f) := {x M ; f(x) 0} der Träger vo f. Sei E die Mege aller f V M für die Tr(f) edlich ist. (a) Zeige Sie, daß E V M ei Utervektorraum ist. (b) Sei V = K, K ei Körper, aufgefasst als Vektorraum über sich selbst. Für x M sei e x V M defiiert durch { 1 falls y = x, e x (y) = 0 falls y M\{x}. Zeige Sie, daß {e x ; x M} eie Basis vo E ist. j=0 5

6 30. Bereche Sie folgede (reelle) Matrizeprodukte: (a) (b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1) ) ( 2 2 ( ) ( ) Bereche Sie folgede (reelle) Matrizepoteze: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ϕ si ϕ si ϕ cos ϕ 32. Sei V ei Vektorraum, p 1, p 2 : V V lieare Abbilduge sodaß (a) p 1 + p 2 = id V (b) p 1 p 1 = p 1 p 2 p 2 = p 2 (d) p 1 p 2 = 0 = p 2 p 1 gelte. Zeige Sie: (a) V = Im p 1 Im p 2. (b) Im p 1 = Ker p 2 ud Im p 2 = Ker p Fide Sie eie Projektio p: R 2 R 2 mit Im p = (1, 1). 34. Es sei f : R 2 R 2 defiiert durch f(x 1, x 2 ) = (x 2, x 1 ). Bereche Sie X M X (f) für X = (e 1, e 2 ) ud X M Y (f) für X = (e 1, e 2 ), Y = (e 2, e 1 ). 35. Wähle Sie i de agegebee K-Vektorräume V eie Basis X ud bestimme Sie zu de lieare Abbilduge f : V V jeweils die zugehörige Matrix X M X (f). (a) V = R 2, K = R, f = Drehug um 90 im mathematisch positive Si. (b) V = R 2, K = R, f = Spiegelug a der Gerade y = x. V = Q( 2), K = Q, f = Multiplikatio mit α + β 2 wobei α, β Q. 36. Sei f : R 2 R 2 gegebe durch f(a 1, a 2 ) = (2a 2, a 1 /2). Wir fixiere zwei Base X = (x 1, x 2 ) ud Y = (y 1, y 2 ) mit x 1 = (0, 1), x 2 = (1, 1), y 1 = (1, 0) ud y 2 = ( 1, 1) i R 2. (a) Bestimme Sie X M Y (id R 2), Y M X (id R 2), X M X (f) ud Y M Y (f). (b) Zeige Sie, daß X M X (f) = Y M X (id R 2) Y M Y (f) XM Y (id R 2) gilt. 37. Zeige Sie durch explizites Nachreche, daß die Matrizemultiplikatio assoziativ ist. 6

7 38. Bestimme Sie de Rag folgeder Matrize a b c d Löse Sie folgede Gleichugssysteme. x 1 + x 2 3x 3 = 1 2x 1 + x 2 2x 3 = 1 a. x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 + 2x 2 3x 3 = 1 2x 1 x 2 + 3x 3 = 3 3x 1 + x 2 5x 3 = 0 c. 4x 1 x 2 + x 3 = 3 x 1 + 3x 2 13x 3 = 6 2x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 5 b. x 1 + x 2 + 5x 3 = 7 2x 1 + 3x 2 3x 3 = 14 x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 0 2x 1 x 2 + 3x 3 = 0 d. 3x 1 5x 2 + 4x 3 = 0 x x 2 + 4x 3 = Bereche Sie de Zeilerag der Matrix A = K jeweils für die Körper K = Q ud K = Z Prüfe Sie, ob die folgede Liearforme ϕ i : R 5 R ei liear uabhägiges System i (R 5 ) bilde: ϕ 1 (α 1,..., α 5 ) = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 + α 5, ϕ 2 (α 1,..., α 5 ) = α 1 + 2α 2 + 3α 3 + 4α 4 + 5α 5, ϕ 3 (α 1,..., α 5 ) = α 1 2α Es sei V ei K-Vektorraum. Wir betrachte sie Evaluatiosabbildug ev: V (V ) defiiert per ev(x)(ϕ) = ϕ(x) für x V ud ϕ V. Zeige Sie, daß ev liear ud ijektiv ist. 43. Für eie Körper K ud ei N betrachte wir K als K-Vektorraum. Für 1 k sei p k : K K jeweils die Projektio auf die k-te Koordiate. Zeige Sie, daß (p 1,..., p ) eie Basis des Dualraums (K ) bildet ud zwar gerade die zur kaoische Basis aus Eiheitsvektore (e 1,..., e ) duale Basis. 44. Bestimme Sie die zur Basis B = ((0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)) des R 3 duale Basis. 45. Für, m N sei f : R R m gegebe durch f(x) = Ax mit A R m, A = (a i,j ) 1 i m, 1 j. Wir idetifiziere (R m ) = R m ud (R ) = R, d.h., i R k, k =, m, wähle wir die Basis aus Eiheitsvektore ud ehme als Isomorphismus gerade diejeige Abbildug welche diese Basis auf die dazu duale Basis schickt. Zeige Sie, daß f : R m R durch f (x) = A T x gegebe ist wobei A T = (a i,j ) 1 j, 1 i m. 46. Löse Sie aus Beutelpacher die Aufgabe 7/1,2,3,4, Löse Sie aus Beutelpacher die Aufgabe 8/1,2,3,4,6,7,10. 7