Analysis I. Carsten Schütt WS 2010/11

Transkript

1 . Falls Christa Purzelbäume schlägt, da isst Bruo Torte. Christa ist geau da übel, we Ato Likör trikt ud Christa Purzelbäume schlägt. Falls Christa übel ist, da ist Bruo besorgt ud isst Torte. Etweder ist Ato traurig oder Christa ist übel. Falls Ato traurig oder Bruo besorgt ist, da schlägt Christa Purzelbäume. Was geschieht? 2. Es sei K eie Mege ud M eie Mege vom Mege mit M K. Da gilt! c \ M = [ M c M2M wobei M c das Komplemet vo M i K ist. M2M 3. Beweise die folgede Gleichuge. (i) (Regel vo De Morga) Es seie M 2 M Teilmege eier Mege K! c [ M = \ M c M2M M2M wobei M c das Komplemet vo M i K ist. M \ (M 2 [ M 3 ) = (M \ M 2 ) [ (M \ M 3 ) Abgabe: Freitag,

2 4. Beweise durch vollstädige Iduktio: Für alle 2 N gilt k= k 2 = ( + )(2 + ) 6 5. (i) Zeige card(n N) = card(n). Hiweis: Betrachte die Abbildug : N N! N mit (k, `) = 2` (2k ). Es gibt mehrere Lösugswege. Für eie braucht ma die Eideutigkeit der Primzahlzerlegug. Zeige card(n) = card(q). 6. (i) Für alle k, ` 2 N mit k < ` ud für alle 2 N gilt k < `. Es sei 2 N. Die Abbildug h : N! N sei durch h (k) = k gegebe. Ist diese Abbildug ijektiv? Ist die Abbildug surjektiv? (iii) Sid die Abbilduge, : N N! N, die durch defiiert sid, ijektiv oder surjektiv? gilt. (, k) = + k ud (, k) = k 7. Zeige durch vollstädige Iduktio, dass für alle 2 N! apple Abgabe: Freitag, , um 0:00 2

3 8. Welche der Folge kovergiere i R ud welche divergiere? Bestimme die Grezwerte (i) (iii) { ( ) } Welche der Folge kovergiere, welche divergiere? Bestimme die Grezwerte !! (i) (iii) Welche der Folge kovergiere? Welches sid die Grezwerte? 2 (i) + 2, 2 N (p p + ), 2 N 2 + p p p (iii), 2 N (iv) ( + ), 2 N. Eie kovergete Folge i R ist beschräkt. 2. (i) Es sei a, 2 N, eie Folge positiver, reeller Zahle. Die Folge r q a + a p a 2 N kovergiert geau da, we es eie Zahl c > 0 gibt, so dass für alle 2 N die Ugleichug a apple c (2) gilt. Isbesodere kovergiert r q x + x + + p x für x > ud der Grezwert ist 2 + qx + 4. (Diese Aufgabe soll vo Bachelor -Fach Studete bearbeitet werde. Dieses Beispiel steht im Skript ud muss icht schriftlich bearbeitet werde. Das Beispiel soll durchgearbeitet werde ud Du sollst i der Lage sei, es a der Tafel vorzureche.) Abgabe: Freitag, um 0:00 3

4 3. Die Fiboacci Zahle sid durch die Rekursio a +2 = a + + a mit a 0 = 0 ud a = gegebe. Da gilt a + lim = + p 5 =, ! a 2 (Mit Hilfe dieser Zahlefolge hat Leoardo Fiboacci (80-24) das Wachstum + eier Kaichepopulatio beschriebe. Die Zahl p 5 bezeichet ma als de 2 Goldee Schitt. Zwei Strecke stehe im Verhältis des Goldee Schittes, we sich die größere zur kleiere Strecke verhält wie die Summe aus beide zur größere.) 4. Fide die Lösug der Di erezegleichug x 3 2 x + 2 x 2 = 0 2 mit x 0 = a ud x = b. Kovergiert diese Folge? Was ist der Grezwert? 5. (i) Sei a 2 R ud {a } eie reelle Zahlefolge mit lim a = a. Kovergiert die Folge ( )! a j? j= Falls die Folge kovergiert, fide de Grezwert. Es sei {a } eie reelle Zahlefolge, so dass ( ) a j j= kovergiert. Kovergiert da auch die Folge {a }? Beweise dies oder gebe ei Gegebeispiel a. 6. Die reelle Zahlefolge {a } sei durch a = 2 ud 8 2 N : a + = a + a 2 gegebe. Zeige, dass die Folge {a } kovergiert, ud bestimme ihre Grezwert. (Aufgabe 6 muss icht schriftlich bearbeitet werde, sie steht im Skript. Du sollst i der Lage sei, die Aufgabe a der Tafel vorzureche.) Abgabe: Freitag, , um 0:00 4

5 7. Welche der folgede Reihe kovergiere, welche divergiere? (i)!! (iv) (iii) p ( ) ( p + 8. Welche der Reihe kovergiere, welche divergiere? p ) (i) = = (iii) = 3 (iv) = 4p 9. Es sei {a } eie reelle Folge, so dass für alle 2 N gilt: Zeige, dass {a } kovergiert. a + a < Es seie P = x ud P = y zwei absolutkovergete Reihe. Da kovergiert auch! x k y k ud es gilt! x = = k=! y = = =! x k y k (Aufgabe 20 muss icht schriftlich bearbeitet werde, sie steht im Skript. Du sollst i der Lage sei, die Aufgabe a der Tafel vorzureche. ) k= Abgabe: Freitag, , um 0:00 5

6 2. Es sei x = ( ) p 2 N Da kovergiert P = x, aber das Cauchy-Produkt x k x = k= k divergiert. Diese Aufgabe steht im Skript. Sie muss icht schriftlich bearbeitet werde. Du sollst aber i der Lage sei, sie a der Tafel vorzureche. 22. Wir defiiere a = 0, 2 N, falls i der Dezimaldarstellug vo eie Null auftritt ud sost a =. Etscheide, ob die Reihe kovergiert oder divergiert. 23. Ma stapelt Domiosteie übereiader ud bildet eie halbe Torboge. Alle Steie werde durch die Schwerkraft im Gleichgewicht gehalte. Welche Strecke ka dieser halbe Torboge maximal überspae, ohe dass Steie aus dem Gleichgewicht gerate? 24. Die Doppelfolge {a i,j } i,j2n sei durch 8 >< i = j a i,j = j = i + >: 0 sost gegebe. Kovergiere die Doppelsumme a i= j= a i,j j= i= a i,j? Sid sie gleich? Abgabe: Freitag, , um 0:00 6

7 25. Es sei P x eie kovergete, aber icht absolut kovergete Reihe. {p k } k2n sei die Folge atürlicher Zahle, so dass x pk die k-te ichtegative Zahl der Folge {x } ist. Etspreched seie { k } k2n die Idices der egative Folgeglieder: x k ist die k-te egative Zahl. Da divergiere die Reihe k2n x k k2n x pk 26. Eie Permutatio der atürliche Zahle N ist eie bijektive Abbildug : N! N. Eie Reihe P = x heißt ubedigt koverget, we für alle Permutatioe die Reihe P = x () kovergiert. Eie Reihe P = x kovergiert geau da absolut, we sie ubedigt kovergiert. We eie Reihe P = x ubedigt kovergiert, da gilt für alle Permutatioe x = x (). = = (Hiweis: Beutze für eie Richtug Aufgabe 25.) 27. (i) Bestimme eie Folge {a k } k2z mit a k 2 {0, } derart, dass = k2z a k 2 k gilt. Bestimme eie Folge {b k } k2z mit b k 2 {0,, 2} derart, dass gilt. gilt. 3 = k2z 28. (i) Bestimme eie Folge (a k ) k2n mit a k 2 {0,, 2} derart, dass a k 3 k 5 = a k 3 k k= 7

8 gilt. Bestimme eie Folge (b k ) k2n mit b k 2 {0,, 2, 3, 4, 5, 6} derart, dass 5 = a k 7 k k= Abgabe: Freitag, , um 0:00 8

9 29. p Primzahl p = (Diese Aufgabe soll ur vo de Studete des Studiegages -fach Bachelor bearbeitet werde. Sie steht im Skript ud muss icht schriftlich bearbeitet werde.) 30. Es seie {a } ud {b } beschräkte Folge. Da gilt lim sup! (a + b ) apple lim sup! a + lim sup a.! Es seie {a } ud {b } beschräkte Folge. Da gilt lim if! (a + b ) lim if! a + lim if! a. Gebe für beide Ugleichuge Beispiele a, i dee keie Gleichheit herrscht. 3. Seie {a } ud {b } ach obe beschräkte Folge i [0, ). Da gilt lim sup(a b ) apple (lim sup a )(lim sup b ).!!! Gebe ei Beispiel a, bei dem i der Ugleichug keie Gleichheit herrscht. 32. Es seie eie Teilmege vo R ud f, g :! R Fuktioe, die i x 0 stetig sid. Da gelte (i) f + g ist i x 0 stetig. f g ist i x 0 stetig. (iii) We überdies g 6= 0 auf gilt, da ist f g i x 0 stetig. 33. Es sei a, 2 N, eie Folge reeller Zahle, dere Limes Iferior ud Limes Superior existiere ud gleich sid. Da kovergiert die Folge ud der Grezwert ist gleich dem Limes Iferior bzw. Limes Superior. Abgabe: Freitag, 4..20, um 0:00 9

10 34. Welche der folgede Reihe kovergiere ud welche divergiere? (i) =2 (l ) =2 (l ) 2 (iii) =3 (l )(l(l )) (iv) =3 (l )(l(l )) Welche der Folge kovergiere ud welches sid die Grezwerte? ( ) (i) { } (iii) {( 2 ) } Hiweis: Beutze die biomische Formel, um zu zeige, dass für alle 2 N die Abschätzug apple + p 2 gilt. 36. Die Folge k= k l 2 N kovergiert. (Der Grezwert wird als Eulersche Zahl bezeichet ud ist verschiede vo der Zahl e.) 37. (i) Es sei f : [0, ]! [0, ] eie stetige Abbildug. Da hat f eie Fixpukt, d.h. es gibt ei x 2 [0, ] mit f(x) = x. Es sei f : [0, 2]! R eie stetige Fuktio derart, dass f(0) = f(2) ist. Zeige, dass ei x 2 [0, ] existiert, für das f(x) = f(x + ) gilt. Abgabe: Freitag, 2..20, um 0:00 0

11 38. Es sei s r q x =! 2! 3! p! 2 N Kovergiert die Folge {x }? 39. Es sei 0 < r <. Die Reihe = kovergiert geau da, we < r gilt. r 40. Wo ist die Fuktio f : R! R mit t für t apple 0 f(t) = t 2 für t > 0 stetig ud wo ist sie di erezierbar? 4. Seie f : (, 0]! R ud g : [0, )! R Fuktioe, die i 0 stetig sid. Defiiere h : R! R durch f(x) falls x apple 0 h(x) := g(x) falls x > 0 Zeige, dass h geau da i 0 stetig ist, we f(0) = g(0) ist. 42. Es sei f : [0, )! R f(x) = (i) f ist di erezierbar auf (0, ). f ist auf [0, ) stetig. ( falls x = 0 x x falls x > 0 (iii) Existiert die rechtseitige Ableitug vo f i 0? (iv) Gebe alle lokale Extrema vo f a. (v) Skizziere de Verlauf vo f. (vi) Beutze die obige Ergebisse, um zu etscheide, welche der beide Zahle 00 0 ud 0 00 die größere ist. Abgabe: Freitag, , um 0:00

12 43. Bereche die folgede Grezwerte. (i) Es seie 0 < a, b. (iii) lim x!0 e ax a ex e bx b ex e 2x lim x!0 x lim x!0 (e3x 5x) x 44. Wo kovergiert die folgede Reihe puktweise ud wo gleichmäßig? = x 2 ( + x 2 ) 45. Sei f : R! R eie zweimal di erezierbare Fuktio so, dass für alle x 2 R gilt: f 00 (x) > 0. Zeige dass die Fuktio g : R! R, x 7! f(x + ) f(x) streg mooto wachsed ist. Es lebte eist ei Ma, der das Drachetöte erlerte ud der alles hergab, was er besaß, um diese Kust zu erlere. Nach drei Jahre war er ei Meister dieser Kust. Leider fad er keie Gelegeheit, seie Fähigkeite azuwede. Zhuagzi Daraufhi bega er zu uterrichte, wie ma Drache tötet. Reé Thom Abgabe: Freitag, , um 0:00 2