Mathematik für Physiker I. Carsten Schütt WS 2009/10

Transkript

1 . Falls hrista Purzelbäume schlägt, dann isst runo Torte. hrista ist genau dann übel, wenn nton Likör trinkt und hrista Purzelbäume schlägt. Falls hrista übel ist, dann ist runo besorgt und isst Torte. Entweder ist nton traurig oder hrista ist übel. Falls nton traurig oder runo besorgt ist, dann schlägt hrista Purzelbäume. Was geschieht? 2. Es sei K eine Menge und M eine Menge vom Mengen mit M K. Dann gilt! c \ M = [ M c M2M wobei M c das Komplement von M in K ist. 3. Löse die folgenden Gleichungssysteme. M2M 2x 3y + z = 3 x + 2y 3z = 5 x + y + 2z = 2 x + 3y + z = 6 x + y z = 2 2x + 3y z = 5 x + y + z = 3 x + y 3z = 2x y + 5z = 3 bgabe: Montag, 9..29

2 4. eweise durch vollständige Induktion: Für alle n 2 N gilt nx k= k 2 = n(n + )(2n + ) 6 5. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Hinweis: Nehme an, dass es nur endlich viele Primzahlen p,..., p n gibt, und betrachte! ny p i eweise die folgenden Gleichungen. (i) (Regel von De Morgan) Es seien M 2 M Teilmengen einer Menge K! c [ M = \ M c M2M i= M2M wobei M c das Komplement von M in K ist. (ii) M \ (M 2 [ M 3 ) = (M \ M 2 ) [ (M \ M 3 ) bgabe: Montag,

3 7. Es sei n 2 N und n 2. p n ist genau dann rational, wenn es ein m 2 N mit n = m 2 gibt. Hinweis: Man benutze den Satz über die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegungen. Dieser besagt, dass es für jede natürliche Zahl n paarweise verschiedene Primzahlen n i, i =..., k und natürliche Zahlen s i, i =,..., k, gibt, so dass n = ky i= n s i i. 8. eweise oder widerlege: Für alle 2 2-Matrizen und gilt: =. 9. Es sei E eine elementare n n Matrix und eine n m Matrix. Dann ist die Matrix E die Matrix, die man erhält, wenn man auf die elementare Zeilenop ration anwendet, die man auf I n angewendet hat, um E zu erhalten. bgabe: Montag,

4 . = erechne das n-fache Produkt n, n 2 N, von mit sich selbst.. Es sei eine n n Matrix, die mit allen n n Matrizen kommutiert, d.h. =. Dann gibt es ein a 2 R, so dass = ai n gilt. 2. erechne den Rang der folgenden Matrizen. 2 (i) (ii) 2 2 (iii) (iv) (ii) 3. Löse die folgenden Gleichungssysteme. (i) x + 2x 2 x 3 = x + 3x 2 x 3 2x 4 = 4 x + x 3 4x 4 = 5 2x + 3x 2 2x 3 + 2x 4 = 3x + 4x 2 3x 3 + 4x 4 = 3 2x 4x 2 + x 3 2x 4 = x + x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x x 2 + x 3 x 4 = x 3x 2 x 4 = bgabe: Montag,

5 4. Welche der folgenden Matrizen sind invertierbar? erechne die Inverse von den invertierbaren Matrizen i + j i,j= Es seien a, b, c, d 2 R. Unter welchen Voraussetzungen an a, b, c, d hat die Matrix a b c d eine Inverse? erechne die Inverse. 6. (i) Zeige, dass für alle invertierbaren, quadratischen Matrizen die Gleichung = ( ) gilt. (ii) Zeige, dass n für alle n invertierbar ist, falls invertierbar ist. Gebe eine Formel für ( n ) an. (ii) Zeige () t = t t. 7. Es sei N eine n n Matrix, so dass es ein k 2 N mit N k = gibt (Solche Matrizen heißen nilpotent). Zeige: (i) N ist nicht invertierbar. (ii) I n N ist invertierbar. (Hinweis: Zeige, dass I n + N + N N k die Inverse von I n N ist.) (iii) Falls und N kommutieren, so ist I n + N invertierbar. (Man sagt, dass zwei Matrizen und kommutieren, falls = gilt.) bgabe: Montag,

6 8. Eine n n Matrix heißt symmetrisch, falls = t gilt. Es seien und symmetrische n n Matrizen. Zeige: ist genau dann symmetrisch, wenn und kommutieren. Finde zwei symmetrische Matrizen, deren Produkt nicht symmetrisch ist. 9. Es seien = = Gibt es eine Matrix, so dass =? Falls ja, finde diese Matrix. 2. Es sei n 2 N. Wir sagen, dass zwei Elemente x, y 2 Z gleich modulo n sind, x y, falls x y ein ganzzahliges Vielfaches von n ist. Wir definieren die zu x 2 Z gehörige Klasse als [x] = {z x z} und bezeichnen die Menge der Klassen mit Z n. Wir definieren Dann gelten: [x] + [y] = [x + y] (i) ist eine Äquivalenzrelation. [x][y] = [xy] (ii) ddition und Multiplikation sind auf Z n wohldefiniert. (iii) Z n ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist. 2. Welche der folgenden Vektorensysteme sind linear unabhängig? (i),,, (ii), im R 3. (iii) (v) im Raum der 2 2 Matrizen. bgabe: Montag, , 2 2 2, 2 6 (iv), e 2 3

7 22. Es seien,,, Vektoren des Vektorraumes K 5 mit K = Z 2. Sind die Vektoren linear unabhängig? 23. erechne det det (Laplace-Entwicklung von Determinanten) Es sei = (a ij ) n i,j= eine n n Matrix. Die Matrix (i,j) ist die (n ) (n ) Matrix, die man aus erhält, wenn man die i-te Zeile und j-te Spalte streicht. Dann gilt für alle i =,..., n und für alle j =,..., n det() = det() = nx ( ) i+j a ij det( (i,j) ) j= nx ( ) i+j a ij det( (i,j) ) i= 25. Es seien x,..., x n relle Zahlen. Dann gilt für alle natürlichen Zahlen n 2 x x 2 x n x 2 x 2 2 x n 2 det.. = Y (x i x k ) x n x 2 n x n n i>k (Hinweis: Subtrahiere die erste Zeile von allen anderen. enutze nun die Laplace- Entwicklung nach der ersten Spalte. Nun kann man aus jeder Zeile einen Faktor ausklammern und diesen vor die Determinante ziehen.) bgabe: Montag,..2 7

8 gilt. 26. Es sei x 2 R mit x <. Zeige, dass für alle n 2 N nx x k = x k= xn+ 27. Welche der Folgen konvergieren, welche divergieren? estimme die Grenzwerte. n 2 + n + 5 n! n! (i) (ii) (iii) n 2 + 3n + n2n n n n2n 2 n n2n 28. Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche divergieren? (i) X n2n n! (ii) X n2n n! n n (iv) X n2n (iii) p n X ( ) n ( p n Welche der Folgen konvergieren? Welches sind die Grenzwerte? n2n p n) n 2 (i) n + 2, n 2 N (ii) n(p p n + n), n 2 N n 2n n + p p p (iii), n 2 N (iv) n( n + n), n 2 N n bgabe: Montag,

9 3. (i) Es sei a n, n 2 N, eine Folge positiver, reeller Zahlen. Die Folge r q a + a p a n n 2 N konvergiert genau dann, wenn es eine Zahl c > gibt, so dass für alle n 2 N die Ungleichung a n apple c (2n) gilt. (ii) Insbesondere konvergiert r x + q x + + p x für x > und der Grenzwert ist 2 + qx + 4. (Dieses eispiel steht im Skript und muss nicht schriftlich bearbeitet werden. Das eispiel soll durchgearbeitet werden und man soll in der Lage sein, es an der Tafel vorzurechnen.) 3. Welche der Reihen konvergieren, welche divergieren? (i) X n= n 2 (ii) X n= 3n + 5 n 2 + (iii) X n= 4n + 7 n (iv) X n= n 3 (v) X n= 4p n (vi) X n= n Man stapelt Dominosteine übereinander und bildet einen halben Torbogen. lle Steine werden durch die Schwerkraft im Gleichgewicht gehalten. Welche Strecke kann dieser halbe Torbogen maximal überspannen, ohne dass Steine aus dem Gleichgewicht geraten? 33. Eine beschränkte Folge konvergiert genau dann, wenn Limes Superior und Limes Inferior gleich sind. Falls Limes Superior und Limes Inferior gleich sind, dann sind sie auch gleich dem Grenzwert der Folge. bgabe: Montag,

10 34. Seien {a n } n2n und {b n } n2n nach oben beschränkte Folgen in [, ). Zeige, dass gilt: lim sup(a n b n ) apple lim sup a n lim sup b n. n! n! n! Zeige ferner durch ngabe eines eispiels, dass in der ussage apple nicht unbedingt durch = ersetzt werden kann. 35. Wo sind die folgenden Funktionen stetig? enutze die -Definition der Stetigkeit. (i) f : R! R, f(x) = x 3. (ii) f : R! R, 8 < falls x > f(x) = x : 2 x falls x apple 36. Es sei f : [, 2]! R eine stetige Funktion derart, dass f() = f(2) ist. Zeige, dass ein x 2 [, ] existiert, für das f(x) = f(x + ) gilt. 37. Es sei f : [, ]! [, ] eine stetige bbildung. Dann hat f einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein x 2 [, ] mit f(x) = x. bgabe: Montag,.2.2