Inhaltsverzeichnis. I Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1. Vorwort

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1 Vorwort V I Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1 1 Der Begriff des Körpers Mengen Köiperaxiome Grundlegende Eigenschaften von Körpern Teilkörper Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben Maple 8 2 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Matrizen, Transponierte, Zeilen- und Spaltenvektoren Lösungen und Äquivalenz von Gleichungssystemen Aufgaben 12 3 Der Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme Matrizen in Treppenform Lösungen eines Gleichungssystems in reduzierter Treppenform Elementare Zeilenumformungen Transformation auf reduzierte Treppenform Die Struktur des Lösungsraums Reduktion auf homogene Gleichungssysteme Homogene Gleichungssysteme Eindeutig lösbare Gleichungssysteme und invertierbare Matrizen 21 Bibliografische Informationen digitalisiert durch

2 X Inhaltsverzeichnis 3.7 Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben Maple 24 4 Multiplikation von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor Iterierte Multiplikationen und lineare Substitutionen Allgemeine Definition der Matrizenmultiplikation Die Inverse einer Matrix Geometrische Interpretation Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben Maple 34 II Vektorräume und lineare Abbildungen 35 5 Gruppen, Ringe und Vektorräume Gruppen Ringe Vektorräume Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben 44 6 Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Lineare Unabhängigkeit und Basen für allgemeine Vektorräume Endlich-dimensionale Vektorräume Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben 51 7 Unterräume von endlich-dimensionalen Vektorräumen Summe und Durchschnitt von Unterräumen Geometrische Interpretation Geometrische Interpretation der Unterräume für # = R 57

3 XI Veranschaulichung der Dimensionsformel Höherdimensionale Räume Anwendungen in der Kodierungstheorie (im Fall K < oo) Codes, Fehlererkennung und Hamming-Abstand Lineare Codes Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben Maple 62 8 Lineare Abbildungen Abbildungen Strukturerhaltende Abbildungen Grundlegende Eigenschaften linearer Abbildungen Beschreibung von linearen Abbildungen durch Matrizen Der Rang einer Matrix Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben Maple 79 III Determinanten und Eigenwerte 81 9 Determinanten Vorbemerkungen über Invertierbarkeit von Matrizen Determinantenformen Das Signum einer Permutation Allgemeine Definition der Determinante Existenz und Eindeutigkeit der Determinantenform Grundlegende Eigenschaften der Determinante Die Determinante eines Endomorphismus Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte Die Adjungierte einer quadratischen Matrix Laplace-Entwicklung und Cramer'sche Regel Eine Anwendung: Die Vandermonde'sche Determinante und Polynominterpolation Beweis der Formel fur die Vandermonde'sche Determinante Anwendung auf Polynominterpolation Eine Anwendung auf nicht-lineare algebraische Gleichungssysteme 98

4 XII Inhaltsverzeichnis 9.8 Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben Maple Eigenwerte und Eigenvektoren Vorbemerkungen und einführende Beispiele Potenzrechnung und Polynomauswertung im Matrixring M n (K) Die Gleichung x 2 = 1 im Matrixring M (K) Ausblick auf die Anwendung auf lineare Differentialgleichungen Eigenräume, Eigenvektoren, Eigenwerte und charakteristisches Polynom Eigenräume und Diagonalisierbarkeit Das charakteristische Polynom Berechnung von Eigenwerten und Eigenräumen, explizite Diagonalisierung Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben Maple Die Jordan'sche Normalform einer quadratischen Matrix Multiplikation von Blockmatrizen Nilpotente Matrizen die Gleichung x k 0 im Matrixring M n (K) Verallgemeinerte Eigenräume und Triangulierbarkeit Die Jordan'sche Normalform Ein Beispiel zur Berechnung der Jordan'schen Normalform Anwendung auf lineare Differentialgleichungen Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung Die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben Maple 132 IV Skalarprodukte und Bilinearformen Skalarprodukte und orthogonale Matrizen Vorbemerkungen über Längen- und Winkelmessung im Anschauungsraum Die Länge eines Vektors Von der Länge zur Orthogonalprojektion Eigenschaften des Skalarprodukts in V3(R) 137

5 XIII 12.2 Skalarprodukt, ON-Systeme und das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt Orthogonale Matrizen Definition und wichtigste Eigenschaften orthogonaler Matrizen Orthogonale Matrizen in Dimension Orthogonale Matrizen in Dimension Eine Matrix-Faktorisierung Beste Näherungslösung eines Gleichungssystems die Methode der kleinsten Quadrate Die Orthogonalprojektion auf einen Unterraum Die Methode der kleinsten Quadrate Effektive Berechnung von xo durch das Gram-Schmidt-Verfahren A A Die Anwendung auf Polynominterpolation Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben Maple Bilinearformen Beschreibung einer Bilinearform durch eine Matrix Symmetrische Bilinearformen und symmetrische Matrizen Orthogonales Komplement und Orthogonalbasis Symmetrische Bilinearformen und symmetrische Matrizen über den reellen Zahlen Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben 158 V Affine und projektive Geometrie Affine Räume Die Beziehung zwischen affinen Räumen und Vektorräumen Unterräume eines affinen Raums Der Lösungsraum eines Gleichungssystems ist ein affiner Unterraum Der von einer Teilmenge aufgespannte Unterraum Die Automorphismengruppe eines affinen Raums Affine Quadriken und Kegelschnitte Affine Räume mit Skalarprodukt und die euklidische Bewegungsgruppe Aufgaben 172

6 XIV Inhaltsverzeichnis 15 Projektive Räume Die projektive Ebene über K Der projektive Raum P{m, K) und seine Projektivitäten Quadriken in P(m, K) Quadratische Formen Quadriken Normalform von Quadriken über K Aufgaben Grundlegende Aufgaben Weitergehende Aufgaben 183 A Die endlichen Primkörper 185 A. 1 Lösbarkeit von Gleichungen und das Schubfachprinzip 185 A.2 Die endlichen Primkörper 185 A.3 Der Körper F p der Restklassen modulo p 187 B Endliche projektive Ebenen und ihre Inzidenzmatrizen 191 B.l Abstrakte projektive Ebenen 191 B.2 Ordnung und Inzidenzmatrix einer endlichen projektiven Ebene 192 B.3 Eine projektive Ebene der Ordnung 9, welche nicht von der Form P(2, K) ist. 194 B.3.1 Verifizierung der Axiome (PE1) und (PE2) 195 B.3.2 Vollständige Vierecke in n 198 C Beispielrechnungen zu den behandelten Algorithmen 201 C. 1 Lösungen eines Gleichungssystems in reduzierter Treppenform 201 C.2 Transformation einer Matrix auf reduzierte Treppenform 202 C.3 Berechnung der inversen Matrix 204 C.4 Berechnung der Determinante einer Matrix 205 C.5 Polynominterpolation 207 C.6 Cramer'sche Regel 209 C.7 Berechnung der Eigenwerte einer Matrix 210 C.8 Berechnung der Eigenräume einer Matrix 212 C.9 Diagonalisierung einer Matrix 215 CIO Berechnung der Jordan'schen Normalform einer Matrix 216 C.l 1 Systeme linearer Differentialgleichungen 217 C. 12 Das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt 218

7 XV C.13 Berechnung einer Matrix-Faktorisierung 220 C. 14 Beste Näherungslösung eines Gleichungssystems 224 C. 15 Quadratische Gleichungen in mehreren Variablen 226 C.16 Diagonalisierung symmetrischer Matrizen mittels orthogonaler Matrizen 227 Index 229