Lösung (die Geraden laufen parallel) oder unendlich viele Lösungen.

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1 1 Albert Ludwigs Universität Freiburg Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dr. Sevtap Kestel Winter 2008 Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen 19. Januar Determinanten der Ordnung 2 Definition: heißt Determinante von A. Abbildung 1: Geometrische Interpretation von Determinante Das Gl eichungssystem ist., Koeffizient Matrix Geometrisch ist jede der beiden Gleichungen eine Gerade. Wenn 0, schneiden sich die beiden Geraden in,. Wenn 0, hat das Gleichungssystem entweder keine Lösung (die Geraden laufen parallel) oder unendlich viele Lösungen. Die Lösung des Gleichungssystems: Cram er sche Regel: Falls 0, ist die Lösung des Gleichungssystems:, 16.2 Determinanten der Ordnung 3 Definition: Für eine 3x3 Matrix ist die Determinante gegeben durch:

2 2 Entwicklung nach Co Faktoren: Die Lösung des Gleichungssystems: Cramer sche Regel D as Gleichungssystem,, Abbildung: Geometrische Interpretation (3x3 Determinante) Regel von Sarrus Für 3x3 Matrizen (und nur für diese) ka nn die folgende Regel verwendet werden: (i) Multiplizieren Sie entlang der drei nach rechts abfallenden Linien und geben Sie diesen Produkten ein Pluszeichen (ii) Multiplizieren Sie entlang der dre i nach links abfallenden Linien und geben Sie diesen Produkten ein Minuszeichen (iii) Die Summe aller sechs Terme ist.

3 3 Determinanten von Dreiecksmatrizen: Für Matrizen wenn alle Elemente oberhalb o der unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind, die Determinanten gilt: Regeln für Determinanten: Für Matritzen und gilt: (i) Wenn alle Ele mente in einer Zeile oder Spalte gleich 0 sind, dann ist 0 (ii) Wenn zwei Zeilen oder Spalten von A proportional sind, dann ist 0. (iii) Wen n, є (iv) (v). (vi) Wenn zwei Zeilen oder zwei Spalten einer Matrix vertauscht werden, wechselt die Determinante das Vorzeichnen. (vii) Wenn alle Elemente in einer Zeile oder Spalte mit einer Zahl multipliziert werden, wird die Determinante mit multipliziert. (viii) Beispiel 1 : (S/H 16, Aufgabe 6, Seite 714) Für welche Werte von t hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung für die drei Variablen. 2 4 Lösung: Wenn 1 oder 8, d ann 0, Keine Lösung!! Für einiges Lösung: 1 und 8. Beispiel 2: Gegeben sind die Matrizen 1 0 9, 6, , und α=2, (a). Berechnen Sie,,,. (b). prüfen Sie die Regeln (i) (viii) für Matrizen A, B und C. Lösung: (a). 1, 2, = 606 (Regel von Sarrus)

4 4 Matrizen A, C und F haben einiges Lösung. 0 Unendliche oder keine Lösung!! (b). Als Übung!! Entwicklung von nach Co Faktoren Die Entwicklung von nach den elementen der i ten Zeile ist: Die Entwicklung von nach den Elementen Anmerkung: der j ten Spalte ist: (i) Die Streichungsmatrix ist, die in der die i te Zeile und j te Spalte von A gestrichen ist. (ii) Minor heißt die Determinante der Streichungsmatrix. (iii) Co Faktor 1 Minor. Theorem: Für die Entwicklung einer Determinante nach den Co Faktoren der eigenen bzw. einer andere n Zeile (od er Spalte) gilt: ü ü Beispiel 3 (S/H 16.5, Aufgabe 2.b, Seite 696) Berechnen Sie die Determinante A= Nach Zeile 1: Minor

5 5 Nach Spalte 1: Minors Die Inverse einer Matrix Eine Matrix ist invertierbar, wenn es eine Matrix gibt, so dass, heißt die Inverse von A. Eine quadratische Matrix wird singulär genannt, wenn 0 existiert nicht!! Eine quadratische Matrix wird nichtsingulär (regulär) genannt, wenn 0 existiert. Beispiel 4: Gegeben sind die Matrizen Prüfen Sie, welche der Matrizen regulär (nichtsingulär) und welche singulär sind. Lösung: (a). 1, 2, = A,C,F,G sind nicht singulär singulär, inverse nicht existiert!!

6 6 Rechenregeln für Inverse Matrizen A, B und C seien invertierbare Matrizen, und,0. Dann gilt: (i) ist invertierbar und. (ii) ist invertierbar und. (iii) ist invertierbar und (iv) ist invertierbar und (v) (vi) Die Inverse einer symmetrischen Matrix ist symmetrisch. Lösung von Gleichun gen durch Matrizeninversion: Gegeben seien eine Matrix und eine beliebige Matrix. Falls 0 (nichtsingulär) und es Matrizen un d mit geeigneter Ordnung gibt, so gilt: und Die Inverse einer 2x2 Matrix: 1 Beispiel 5 : Gegeben sind die Matrizen , 6, a. Berechnen Sie Inverse Matrizen wenn es gilt. b. Prüfen Sie Rechenregeln (i) (vi), wenn es gilt. Lösu ng : a. 1, 2, , ist nicht existiert!! Bestim mung der Inversen mit Hilfe der Adjungierten: Sei die Matrix der Co Faktoren. Die transponierte davon wird als Adjungierte von A bezeichnet, d.h.. Falls 0, gilt 1

7 Beispiel: Sei 3 3 4, bestimmen Sie Bestimmung der Inversen durch Elementare Zeilenumformungen : Inverse einer Diagonalmatri x:, Beispiel: : Sei 3 3 4, bestimmen Sie.( Sehen Sie : S/H Seite: 705)