Für das Allgemeine lineare Gleichungssystem mit n linearen Gleichungen und n Unbekannten

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1 Albert Ludwigs Universität Freiburg Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dr. Sevtap Kestel Winter Januar.009 Kapitel 6 Leontieff Modell, Lineare Unabhängigkeit, Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonaliseirung Beispiel 6: a. Gegeben sei und 0 0. Für welche Werte von hat eine inverse? b. Bestimmen Sie eine Matrix, so dass für eine eindeutige Lösung für die drei Variablen a. 0. Wenn dann existiert. b. Multiplizieren mit A von rechts 6.8 Cramer sche Regel Für das Allgemeine lineare Gleichungssystem mit n linearen Gleichungen und n Unbekannten. Das Gleichungssystem hat genau dann einige eindeutige Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix nichtsingulär ist. Die Lösung dann,,.., wobei

2 Beispiel 7: a. Für welche Werte von a hat das Gleichungssystem 4 3 eine, keine oder unendlich viele Lösungen? b. Ersetzen Sie die Zahlen, und a auf der rechten Seiten durch,,. Bestimmen Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass das neue System unendlich viele Lösungen hat. a Wenn, Keine Lösung. Für einige Lösung, soll,. 4 4 c Treppen Stuffe Form Wenn, ö Wenn, 00 Wenn, 0 unendlich Lösungen. Homogene Gleichungssysteme: Wenn im allgemeinen linearen Gleichungssystem mit Gleichungen und Unbekannten die rechte Seite 0,0 ist, heißt das System Homogen, d.h. Das homogene Gleichungssystem hat immer die triviale Lösung.. 0. Die nichttriviale Lösung wenn Koeffizientenmatrix singulär ist.

3 3 Beispiel 8: Beweisen Sie, dass das homogene Gleichungssystem Genau dann eine nichttriviale Lösung hat, wenn 3 0 ist. 30 nicht trriviale Lösung. Das Leontief Modell Mit den Outputgrößen,,..,, den Input Koeffizienten,.., und den Endnachfragegrößen,,.., ist das Leontief Modell gegeben durch:. Äquivalent sind das System.. In Matrixschreibweise gilt: Mit dem Stückpreis des Gutes i gilt Stück Kosten für Gut Stück Gewinn für Gut. Mit,.., und,.., ist Beispiel 9: (S/H, Kap. 5.. Aufgabe 5, Seite 63) Bestimmen Sie die Lösung des Systems:

4 4 Das G leichungssystem ist äquivalent / / 3 0 / / / 60, / / 40, / / / = 60. Beispiel 0 (S/H 6.9, Aufgabe 4, Seite 73) Betrachten Sie ein Input Output Modell mit 3 Sektoren. Sektor ist die Schwerindustrie, Sektor ist die Leichtindustrie und Sektor 3 ist die Landwirtschaft. Nehmen Sie an, dass die Inputforderungen durch die folgende Tabelle gegeben sind: S S S3 Einheiten S Einheiten S Einheiten S Nehmen Sie an, da ss die Endn achfragen für die drei Güter 85, 95, bzw. 0 Einheiten sind. Es seien,, die Anzahl der Einheiten, die in den drei Sektoren produziert werden müssen. Schreiben Sie das Leontief System für dieses Problem auf. Überprüfen Sie dass, 50, 00, 00 Lösungen sind , , 00,, (50) 0.(00 0.(00)=85

5 5 Lineare Unabhängigkeit (Literatür: Scherfner/Volland Lineare Algebra für das Erste Semester) Die Vektoren,.., im heißen linear abhängig, wenn es Zahlen,.., gibt, die nicht alle Null sind, so dass 0. Falls die Gleichung nur gilt, wenn 0, so heißen die Vektoren linear unabhängig. Der Vektor heißt eine Linearkombination der Vektoren,..,. Allgemeines lineares System mit Gleichungen und Unbekannten,,.., : Dabei sind,.., die Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix und ist der Vektor der rechten Seiten. Es gilt,.., ). Anmerkungen: (i) (ii) (iii) (iv) Wenn das Gleichungssystem mehr als eine Lösung hat, sind die Vektoren,.., linear abhängig. Wenn die Vektoren,.., linear unabhängig sind, hat das System höchstens eine Lösung. Die Spaltenvektor der Matrix,.., ) sind genau dann linear unabhängig, wenn 0. Falls die Vektoren,.., im ( paarweise orthogonal sind, d.h.. 0, für alle, so sind sie linear unabhängig. Beispiel : Beweisen Sie dass das folgende Gleichungssystem linear unabhängig sind , 0,, als Linearkombination: / Die Lösung des Systems ist:,, 3, / linear abhängig. 3

6 6 Beispiel : Beweisen Sie, ob die Vektoren (i) 3 und 6 (ii) 3 und linear unabhängig sind. Regel: 0 0 linear unabhängig!! (ii) und (i) 3 und 6 00, 0, dann die Vektoren linear abhängig sind wobei 3. 0 dann, und sind linear unabhängig. Der Rang einer Matrix : ist die Maximalzahl linear unabhängige r Spaltenvek toren in A. Es ist gleich der Ordnung des größten Minors von, der verschieden von 0 ist. Wenn eine quadratische Matrix der Ordnung ist, so ist die größte Minor von gleich, so dass gilt 0. Anmerkungen: (i) Der Ra ng einer Matrix wird durch die folgenden elementaren Umformungen nicht verändert a. Vertauschung zweier Zeilen (Spalten) b. Multiplik ation jedes Elements einer Zeile (Spalte) mit einem Skalar 0. c. Addition des α fachen der ten Zeile (Spalte) zur ten Zeile (Spalte), wobei ist. Regeln: Falls, und Matrizen, es gilt (i) (ii) (iii), falls und regulär sind. (iv) min, (v)

7 7 Beispiel 3: Beschreiben Sie alle Minors von Matrix A und finden Sie der Rang (3 Zeilen, 4 Spalten) Für Matrix, gib t es Minors der Ordnungen, und 3. Ordnun g : Elementen. sind die Minors der Ordnung. Ordnung : 8 Elementen. 0 0, 0 4, 0,..4 Ordnung 3: 4 Elementen,,,,. Spur einer Matrix: Definition: Für eine Matrix ist die Spur von definiert durch Regeln: Falls, und Matrizen, es gilt (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) tr (vii) tr (viii) tr Beispiel 4: Finden Sie die Spur von folgende Matritzen (i) A 0 8 =, (ii) 4 0 und (iii) i 0, 5,

8 8 Beispiel 5: Kundenwanderung Auf einem Markt mit 4000 Kunden wird ein Produkt von 3 Herstellern A, B, C angeboten. Ihre Marktenteile betragen zu beginn der. Periode: 5% für A, 45% für B und 40% für C. Die Matrix der Kundenwanderung von einer zur nächsten Periode sei gegeben durch W = Bestimmen Sie Marktanteile nach Ablauf der ersten und zweiten Periode (absolut, in % und als Kundenzahl) T Marktanteile a = ( ) Marktanteile nach der ersten Periode: a = ( a a a ) T,, 3, % für A, 0.30x4000=600 Kunden für A 9% für B, 0.9x 4000= 80 Kunden für B 4% für C, 0,4x4000= 70 Kunden für C 00% 4000 Kunden T Marktanteile nach der ersten Periode: a = ( a, a, a, 3) 36.% für A, 0.36x4000=56 Kunden für A 5.8 % für B, 0.58x 4000= 0836 Kunden für B 38. % für C, 0.38x4000= 600 Kunden für C 00% 4000 Kunden Dann, T wobei λ = ( )

9 9 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit (Literatür: Scherfner/Volland Lineare Algebra für das Erste Semester) Neben der Determinante sind Eigenwerte und Eigenvektoren die wichtigsten Charakteristika von linearen Abbildungen. Auf Eigenvektoren wirken lineare Abbildungen besonders einfach, nämlich lediglich als Streckung oder Stauchung. Dies macht uns möglich, eine lineare Abbildung durch die Bestimmung ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren sehr einfach zu veranschaulichen. Definition: Sei V ein R Vektorraum, L: V V linear und λ Eigenwert von L. Dann heißt { λ } V = v V Lv= v V Eigenraum von L zum Eigenwert λ. λ Berechnung der Eigenwerte Gegeben die lineare Abbildung durch eine Matrix A, die Eigenwertgleichung ist Av= λv und ist ein lineares Gleichung System. Frage: Für welche λ hat die Eigenwertgleichung Lösungen haben? ( A λi) v= 0 P( λ) = det( A λi) = 0. P( λ ) ist charakteristisches Polynom genannt. Diel Nullstellen des charakteristischen Polynom liefern also die Eigenwerte von A. Anmerkung:. und Beispiel 6: Bestimmen Sie von 0 3 (i) A = (ii) und (iii) 3, B = C = die Eigenwerte. λ 0 λ (i) A λi = 3 0 λ = 3 λ, det( A λi) = ( λ)( + λ) 6 λ = 7, λ = 7 (ii) λ 0 0 λ B λi = λ 0 = 0 3 λ λ λ

10 0 ( det( B λi) = ( 3+ λ)( λ( λ 3) ) = 0 λ= 3, λ = 0, λ3 = λ 0 0 λ 0 3 (iii C λi = λ 0 ) = 0 λ λ 0 λ det( C λi) = ( λ)( λ 4) = 0 λ =, λ = Berechnung der Eigenvektoren:, 3 Ein Eigenwert λ determiniert die zuhörigen Eigenvektoren über ( A λi) v= 0 Beispiel 7: (Scherfner/Volland ) Bestimmen Sie von 0 A = 0 die Eigenvektoren. det( A ) λi = λ λ=± Wenn λ = A I = Gaussian Elimination x x= y v= x v x = = Wenn λ = A ( ) I = 0 0 Gaussian Elimination x x= y v= = x v = x k Nullzeilen gibt k lineare unabhängige Eigenvektoren, zum Eigenwert λ. Beispiel 8: Bestimmen Sie von A 0 = 0 die Eigenwerte. det( A I) ( i)( i) λ = λ + λ + λ = 0 λ, =± i Matrix A hat die komplexen Eigenwerte.

11 Diagonalisierbarkeit: Definition: Eine Matrix heißt diagonalisierbar, falls ein invertierbares existiert, so dass die Matrix eine diagonal Matrix ist. Offenbar ist dann umkehrt. Beispiel 8: (Scherfner/Volland ) Gegeben Matrix, diagonalisieren Sie Matrix falls möglich. Eigenwerte: das charakteristische Polynom von ist det 3,3 Dann, schreiben wir 0 als Diagonal Matrix. 0 3 Eigenvektoren: Wenn, Wenn 3, Koordinatentransformation: Die beide Eigenvektoren, als Spaltenvektoren geschrieben, die Transformationsmatrix,