Kapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren

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1 Kapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren 5.1 Definition und allgemeine Eigenschaften Definition 5.1 Sei A eine quadratische (n n)-matrix. λ C heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor x C n mit x 0 existiert, sodass gilt: Ax = λx bzw. (A λi)x = 0. Der Vektor x heißt dann Eigenvektor zum Eigenwert λ. Bemerkung: Die Aufgabe, zu einer vorgegebenen Matrix A die Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen, heißt Eigenwertproblem. Definition 5.2 Sei A eine quadratische (n n)-matrix. Dann heißt q(λ) := det(a λi) charakteristisches Polynom von A. Seite 1

2 Satz 5.1 Die Eigenwerte einer quadratischen Matrix A sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms q(λ): q(λ) = det(a λi) = 0. Bemerkung: Das Polynom q(λ) = det(a λi) lässt sich stets in die Gestalt n q(λ) = det(a λi) = (λ i λ) bringen, wobei λ 1,..., λ n die Nullstellen des Polynoms sind. Dieses Polynom hat n nicht notwendig verschiedene und nicht notwendig reellwertige Nullstellen. Nach Satz 5.1 sind die Nullstellen λ 1,..., λ n dann genau die Eigenwerte von A. i=1 Beispiel 5.1 Bestimme die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 2 1 (a) A = 5 2 Seite 2

3 (b) B = ( ) Satz 5.2 Für die Eigenwerte λ i einer (n n)-matrix gelten folgende Eigenschaften: 1. det(a) = 2. sp(a) = n i=1 n i=1 λ i λ i 3. A ist genau dann regulär, wenn alle Eigenwerte ungleich Null sind. 4. Die Matrizen A und A besitzen dasselbe charakteristische Polynom und damit dieselben Eigenwerte. 5. Ist λ ein Eigenwert einer regulären Matrix A, dann ist 1 λ ein Eigenwert von A 1. Seite 3

4 6. Die Eigenwerte der Diagonalmatrix D sind die Elemente der Hauptdiagonalen. Definition 5.3 Sei A eine quadratische (n n)-matrix und λ ein Eigenwert von A. Die Menge A λ := {x C n x ist Eigenvektor zu λ} {0} heißt Eigenraum zum Eigenwert λ. Bemerkungen: Zu jedem Eigenwert existiert eine Menge an Eigenvektoren, die gemeinsam mit dem Nullvektor den so genannten Eigenraum bilden. Berechnung von Eigenvektoren: Gegeben sei eine (n n)-matrix A sowie ihre r verschiedenen Eigenwerte λ 1,..., λ r. Löst man für jeden Eigenwert λ i mit i = 1,..., r das LGS (A λ i I)x = 0 nach x auf, so ergeben sich die zu λ i gehörigen Eigenvektoren. Für x ergibt sich keine eindeutige Lösung, sondern eine Lösungsmenge, der so genannte Eigenraum zum Eigenwert λ i. Jede von 0 verschiedene Lösung des LGS nennt sich Basis des Eigenraums zum Eigenwert λ i. Seite 4

5 Beispiel 5.2 Eigenvektoren zur Matrix aus Beispiel 5.1: A = ( ) Seite 5

6 5.2 Eigenwerte symmetrischer Matrizen Satz 5.3 Sei A eine symmetrische (n n)-matrix. Dann gilt: 1. Alle Eigenwerte sind reell. 2. Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind paarweise orthogonal. 3. Der Rang von A ist gleich der Anzahl der von Null verschiedenen Eigenwerte. Satz 5.4 Sei A eine symmetrische (n n)-matrix mit den (reellen) Eigenwerten λ 1,..., λ n. Dann ist A genau dann: 1. positiv definit, wenn λ i > 0 für i = 1,..., n 2. positiv semidefinit, wenn λ i 0 für i = 1,..., n 3. negativ definit, wenn λ i < 0 für i = 1,..., n 4. negativ semidefinit, wenn λ i 0 für i = 1,..., n 5. indefinit, wenn A mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt Seite 6

7 Satz 5.5 Spektralzerlegung Sei A eine symmetrische (n n)-matrix mit rg(a) = r. Dann existiert eine (n r)-matrix P, sodass gilt: P AP = diag(λ 1,..., λ r ) bzw. A = P diag(λ 1,..., λ r )P Dabei sind λ i die von Null verschiedenen Eigenwerte von A. Die Spaltenvektoren von P bestehen aus paarweise orthonormalen Eigenvektoren von A. Spezialfälle: Spektralzerlegung für die Inverse A 1 : A 1 = P diag(λ 1 1,..., λ 1 r )P Symmetrische Wurzelzerlegung (falls für alle λ i > 0 gilt): A 1 2 = P diag(λ 1 2 1,..., λ 1 2 r )P A 1 2 = P diag(λ 1 2 1,..., λ 1 2 r )P Anwendungen in der Statistik: Ziehen von Zufallszahlen aus der multivariaten Normalverteilung Hauptkomponentenanalyse Faktorenanalyse Seite 7