Eigenwerte und Eigenvektoren

Transkript

1 Eigenwerte und Eigenvektoren

2 Motivierendes eispiel Lineare Abbildungen werden durch Matrizen dargestellt: Abbildung : Spiegelung A =. Abbildung A = : Verzerrung. ei der Spiegelung wird ~e auf sich selbst abgebildet und ~e auf ~e. Damit erfüllen sie die Gleichung A~v = ~v mit = bzw. =. Welche Abbildung stellt die Matrix dar?

3 De nition Eine Zahl 2 heißt Eigenwert einer reellen (oder komplexen) n n-matrix A, wenn es mindestens einen Spaltenvektor ~v 2 n, ~v 6= ~, gibt mit A~v = ~v. Jeder Vektor ~v 6= ~, der diese Gleichung erfüllt, heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert. Der Nullvektor ~ ist niemals ein Eigenvektor. Ergibt Ihre Rechnung den Nullvektor als Eigenvektor, so ist der Wurm drin Die Zahl Null kann aber ein Eigenwert sein

4 Eigenwerte Zur erechnung der Eigenwerte einer n n-matrix A betrachtet man (mit einer Variablen ) das charakteristische Polynom von A A( ):=det (A E). Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bzw. die Lösungen der charakteristischen Gleichung det (A E) =.

5 Eigenvektoren De nition Jede Lösung ~ b 6= ~ von (A E) ~ b = ~ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert. V( )={~x 2 n :(A E)~x = ~ } heißt Eigenraum zum Eigenwert. Insbesondere ist jeder asisvektor von V ein Eigenvektor zum Eigenwert der Matrix A. Als Eigenvektoren von A gibt man deshalb immer eine asis des Eigenraums an.

6 Polynomdivision Voraussetzung: Normiertes Polynom mit ganzzahligen Koe zienten n + a n n + a n n a + a = () ( )( ) ( n )( n) =, Insbesondere ist a = n n. esitzt das Polynom die ganzzahlige Nullstelle x = m, dann ist m Teiler des Absolutglieds a. ( n + a n n + a n n a + a ):( m) = n + b n n + b + b Analog zu schriftlichen Dividieren vorgehen. Es darf keinen Rest geben, weil m 2 Z eine Nullstelle ist.

7 Algebraische und geometrische Vielfachheit De nition harakteristisches Polynomcharakteristische Gleichung: det (A E) = () a n n + a n n a + a = () c( ) k ( ) k ( l) k l =. Man bezeichnet die Vielfachheit k i der Nullstelle algebraische Vielfachheit des Eigenwertes i. i als die Dagegen ist die Dimension des Eigenraumes Dim V( i ) die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes i.

8 isher... Eigenwert und Eigenvektor: A~v = ~v, ~v 6= ~. erechnung der Eigenwerte aus der charakteristischen Gleichung det (A E) =. Die Vielfachheit der Nullstelle Eigenwerts. algebraische Vielfachheit des Eigenraum V zum Eigenwert Lösungsmenge von (A E)~x = ~. Die Dimension des Eigenraums Eigenwerts. geometrische Vielfachheit des der Eigenvektor ist eine asis des Eigenraums zum Eigenwert.

9 eispiel Man bestimme die Eigenwerte und normierte Eigenvektoren der Matrix 0 1 A = A. Lösungen der charakteristischen Gleichung: det (A E) = = + + =. Raten =. Polynomdivision ergibt ( + )( + + )= + +. Die p-q-formel kann nur auf = angewandt werden und ergibt =, = =.

10 Fortsetzung... Der Eigenwert = hat die algebraische Vielfachheit und der Eigenwert = hat die algebraische Vielfachheit.. Eigenvektoren zu =. estimmen die Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems: A A besitzt die Lösung ~x = t A + s 1 A, t, s 2 R.

11 Fortsetzung... Eigenraum V = {~x 2 R : t A + s A, t, s 2 R}. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts = ist. Es gibt deshalb linear unabhängige normierte Eigenvektoren ~v = p A und ~v = p A.

12 Fortsetzung.... Eigenvektoren zu =. estimmen die Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems: A A 1 A besitzt die Lösung ~x = t 0 1 A, t 2 R.

13 Fortsetzung... Eigenraum 0 1 V = {~x 2 R : t A, t 2 R}. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts = ist. Es gibt deshalb normierten Eigenvektor 0 1 ~v = p A.

14 Householder-Matrizen A = E ~v~v T v v v = v v v mit einem Einheitsvektor ~v, d.h. ~v = v + v =. Eigenwerte und -vektoren: = mit ~v = ~v T und = mit ~v = ~v. Die Householder-Matrix beschreibt eine Spiegelung an der Geraden durch den Ursprung in Richtung von ~v T. ~x = x ~v + x ~v, A~x = x A~v + x A~v Abbildung : Householder-Abbildung = x ~v x ~v.

15 Dehnmessstreifen-Rosette Durch eine Dehnmessstreifen-Rosette kann auf der Ober äche eines ewegungsmechanismus einer aggerschaufel der Verzerrungszustand in Form des Verzerrungstensors bzgl. des x, x, x - Koordinatensystems bestimmt werden. Aus dem Tensor werden die Hauptdehnungen bestimmt. Diese sind bei isotropen Materialen ein Maß für die auftretenden maximalen Kräfte in den zugehörigen Richtungen. Abbildung : Dehnmesstreifen-Rosette

16 Dehnmessstreifen-Rosette erechnen Sie zum aus der Messung bestimmten Tensor 0 1 " = A alle Hauptdehnungen (d.h. die Eigenwerte von ") und geben Sie zu jeder Hauptdehnung einen auf die Länge normierten Eigenvektor als zu gehörige Hauptdehungsrichtung an. ilden die Hauptdehnungsrichtungen eine asis? Anmerkungen: Realistisch wird der einheitslose Verzerrungstensor nach Multiplikation mit. Dadurch erhält man Hauptdehnungen in der Größenordnung von maximal, und dies spiegelt wieder, dass Metalle fast inkompressibel sind.

17 Motivationsbeispiel Es sei A =. Man berechne A. Am einfachsten wäre es mit einer Diagonalmatrix 0 1 d... d... D =..... A,... d n dann ist D k = 0 d k... d k A.... d k n

18 Ähnliche Matrizen De nition Die n n-matrix A ist ähnlich zur Matrix, wenn es eine invertierbare n n-matrix gibt mit = A. Ist eine Diagonalmatrix, dann heißt A diagonalisierbar.

19 eispiel etrachten die Matrix A =. erechnung der Eigenwerte det (A E) = =( )( )=, folglich sind = und = die Eigenwerte der Matrix A. Eigenvektor zu = :, ~v =. Eigenvektor zu = :, ~v =.

20 Fortsetzung... Die Eigenvektoren bilden eine asis. Transformation auf Diagonalgestalt mit Hilfe der Matrix = und ihrer Inversen = und es gilt A = = = D. A = D = = = = ( ).

21 Householder-Matrix A = E ~v~v T = v v v v v v mit einem Einheitsvektor ~v, d.h. ~v = v + v =. = v v v v v v v v Eigenwerte und Eigenvektoren: = mit ~v = ~v T v = und = mit ~v = ~v = v. v v v v = =, weil eine orthogonale Matrix ist, d.h. = T =. v v A = v v v v v v v v Ergebnis: Im Koordinatensystem {~v, ~v } = {~v?, ~v} stellt die Householder-Matrix eine Spiegelung an der Achse ~v = ~v? dar.

22 Eigenschaften symmetrischer Matrizen De nition Eine reelle n n-matrix A heißt symmetrisch, wenn A = A T gilt. Satz Für reelle symmetrische n n-matrizen gilt Alle Eigenwerte sind reell. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Algebraische und geometrische Vielfalt eines jeden Eigenwerts sind gleich.

23 De nitheit von Matrizen De nition Eine n n Matrix A heißt positiv de nit (negativ de nit), wenn für alle ~x 2 R n, ~x 6= ~, gilt (A~x) ~x = ~x T A~x > ((A~x) ~x = ~x T A~x < ). Die n n Matrix A heißt inde nit, wenn (A~x) ~x = ~x T A~x sowohl positive als auch negative Werte annimmt. Sie heißt positiv (negativ) semide nit, wenn für alle ~x 2 R n gilt ~x T A~x (~x T A~x apple ).

24 De nitheit reeller symmetrischer Matrizen Satz (Diagonalmatrix) Eine Diagonalmatrix D = diag (d, d,...,d n ) ist genau dann. positiv de nit, wenn alle d i, i =,..., n, positiv sind,. negativ de nit, wenn alle d i, i =,..., n, negativ sind,. inde nit, wenn es sowohl positive als auch negative d i gibt. Satz (reelle symmetrische Matrix) Eine reelle symmetrische Matrix A ist genau dann. positiv de nit, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind.. negativ de nit, wenn alle Eigenwerte von A negativ sind.. inde nit, wenn es sowohl negative als auch positive Eigenwerte gibt.

25 Positivität reeller symmetrischer Matrizen Satz (Notwendige edingung) Wenn die n n-matrix A positiv de nit ist, dann müssen alle Hauptdiagonalelemente positiv sein. Satz (reelle symmetrische Matrizen). Eine Diagonalmatrix D = diag (d, d,...,d n ) ist genau dann positiv de nit, wenn alle d i, i =,..., n, positiv sind.. Eine reelle symmetrische Matrix A ist genau dann positiv de nit, wenn eine der folgenden äquivalenten edingungen erfüllt ist:. Alle Eigenwerte von A positiv sind.. Die Zeilenstufenform (Dreiecksform) nur positive führende Elemente besitzt.. Hauptminorantenkriterium.. W T AW ist für irgendeine invertierbare n n Matrix W positiv de nit ist.

26 Welche der folgenden Matrizen sind positiv de nit? A =, A = 0 1 A. Für welche b 2 R ist die folgende Matrix positiv semi-de nit? 0 1 b A = A. b Antwort: A ist nicht positiv de nit, A ist positiv de nit, A ist positiv semi-de nit für apple b apple.

27 Elastostatisches Finite-Element-Modell ergibt ein lineares Gleichungssystem A~x = ~ b. Aus physikalischen Gründen muss die Matrix A positiv de nit sein. Deshalb wird vom Programm immer überprüft ob die Matrix positiv de nit ist. Fast immer ist eine der beiden folgenden Ursachen der Grund für diesen Fehler: Das System ist nicht ausreichend gelagert oder innerlich nicht tragfähig. Es wird ein inkorrektes Gleichungssystem. Es gibt Teile des Systems, denen keine Stei gkeitsparameter zugeordnet wurden (z.. Elastizitätsmodul, Querschnitts ächen, Flächenträgheitsmomente,...) Mathematisch ist A dann nicht invertierbar, also singulär. Das sieht man daran, dass die Matrix A den Eigenwert besitzt.