Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Die beiden Eigenwerte sind demnach. λ 1 = 0, λ 2 = 2i. 1 i

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1 TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik Lösung zur Aufgabe (b des Übungsblattes Ermitteln Sie on der folgenden Matrix alle (komplexen Eigenwerte und zu jedem Eigenwert einen zugehörigen Eigenektor ( i B = i Lösung: Die Eigenwerte berechnen wir als Lösungen der charakteristischen Gleichung: det(b λe = i λ i λ = (i λ + = λ iλ = λ(λ i =! Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist Die beiden Eigenwerte sind demnach λ =, λ = i Als nächstes berechnen wir je einen zugehörigen Eigenektor Zu λ = (B E = ( i i ( = Durch Nachrechnen lässt sich bestätigen, dass die erste Gleichung das i-fache der zweiten Gleichung ist und somit gestrichen werden kann Es bleibt also nur die zweite Gleichung + i = übrig Sie ist (zum Beispiel für = i und = erfüllt Ein Eigenektor zu λ = ist somit Zu λ = i (B i E = ( = ( i ( i i ( = Durch Nachrechnen lässt sich bestätigen, dass die erste Gleichung das i-fache der zweiten Gleichung ist und somit gestrichen werden kann Es bleibt also nur die zweite Gleichung i = übrig Sie ist (zum Beispiel für = i und = erfüllt Ein Eigenektor zu λ = i ist somit ( = Bemerkung: Bei der Bestimmung der Eigenektoren der Matrix A wurde darauf hingewiesen, dass die Eigenektoren zu konjugiert komplexen Eigenwerten ebenfalls konjugiert komplex sind, falls die Matrix ausschließlich reelle Einträge hat Anhand der Eigenwerte und Eigenektoren der Matrix B sehen wir, dass dieser Zusammenhang im Allgemeinen nicht gilt, wenn die Matrix auch nicht-reelle Einträge besitzt ( i ( (

2 TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik Lösung zur Aufgabe 4 (b des Übungsblattes Überführen Sie die folgenden Quadriken durch Hauptachsentransformation in eine Form, in der keine gemischt quadratischen Glieder mehr orkommen, das heißt keine Summanden mehr, die Vielfache on xy sind Entscheiden Sie jeweils, ob es sich bei der Quadrik um eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabel handelt, und skizzieren Sie die Quadrik jeweils im xy-koordinatensystem (b x +xy +y = (b 4x 4xy +y +x+y = Lösung: Bemerkung zur Notation: Im Folgenden werden Vektoren fettgedruckt, um sie on ihren Komponenten zu unterscheiden Matrizen sind ebenfalls fettgedruckt dargestellt (b Die Gleichung lässt sich in Matrix-Vektor-Form x Ax+b x+c = schreiben, und zwar mit x = (x,y sowie ( A =, b = (, c = Zur Beseitigung der gemischt-quadratischen Glieder ist eine geeignete Transformation (Hauptachsentransformation durchzuführen, bei der die Koordinaten x, y übergehen zu neuen Koordinaten u, Um eine solche Transformation zu bestimmen, berechnen wir zunächst alle Eigenwerte der Matrix A als Nullstellen der charakteristischen Gleichung: det(a λe = λ λ = ( λ( λ 9 4 = λ 6λ+ 4 Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhalten wir λ / = ± 9 4 = ± λ =, λ =! = Als nächstes benötigen wir zu jedem Eigenwert einen zugehörigen normierten Eigenektor Zu λ = Das homogene Gleichungssystem (A E = o sieht wie folgt aus: ( ( ( = 9 Die zweite Gleichung ist das ( -fache der ersten Gleichung und kann somit gestrichen werden Es bleibt nur die Gleichung + = übrig Eine nichttriiale Lösung ist (zum Beispiel =, = Unter Beachtung on + = lautet ein normierter Eigenektor zum Eigenwert λ = somit = ( zu λ = Das homogene Gleichungssystem (A E = o sieht wie folgt aus: ( ( 9 = (

3 TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik Die erste Gleichung ist das -fache der zweiten Gleichung und kann somit gestrichen werden Es bleibt nur die Gleichung + = übrig Eine nichttriiale Lösung ist (zum Beispiel =, = Unter Beachtung on + = lautet ein normierter Eigenektor zum Eigenwert λ = somit = ( Damit lässt sich die Hauptachsentransformation zur Beseitigung des gemischt-quadratischen Gliedes bestimmen: x = Qu (mit u = (u,, wobei Q die Matrix ist, die die normierten Eigenektoren on A in den Spalten stehen hat, also Q = ( Für diese Matrix gilt Q AQ = D, wobei D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten on A auf der Hauptdiagonalen ist Damit lässt sich die Gleichung bestimmen, durch die der Kegelschnitt im u-koordinatensystem beschrieben wird: x Ax+b x+c = x=qu u Q AQu+b Qu+c = u Du+b Qu+c = ( ( ( u u u + = u + ( = + ( ( ( u = Anhand dieser Gleichung ist zu erkennen, dass es sich bei der Quadrik um eine Ellipse handelt Der Symmetriepunkt der Ellipse ist der Nullpunkt Die Symmetrieachsen zeigen gerade in Richtung der Eigenektoren on A Die Längen der Halbachsen sind bzw 6,6 Die folgende Abbildung zeigt die Lage der Ellipse im xy-koordinatensystem und auch die Lage der u- und der -Achse (die gleichzeitig die Symmetrieachsen der Ellipse sind in Richtung der Eigenektoren on A y u x

4 TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 4 Die Markierungen auf den Achsen geben die Stellen an, an denen die jeweiligen Koordinaten gleich,,, sind (b Die Gleichung lässt sich in Matrix-Vektor-Form schreiben, und zwar mit x = (x,y sowie ( 4 A = x Ax+b x+c =, b = (, c = Zur Beseitigung der gemischt-quadratischen Glieder ist eine geeignete Transformation (Hauptachsentransformation durchzuführen, bei der die Koordinaten x, y übergehen zu neuen Koordinaten u, Um eine solche Transformation zu bestimmen, berechnen wir zunächst alle Eigenwerte der Matrix A als Nullstellen der charakteristischen Gleichung: det(a λe = 4 λ λ = (4 λ( λ 4 = λ λ = λ(λ =! Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist Die beiden Eigenwerte betragen somit λ =, λ = Als nächstes benötigen wir zu jedem Eigenwert einen zugehörigen normierten Eigenektor Zu λ = Das homogene Gleichungssystem (A E = o sieht wie folgt aus: ( ( ( 4 = Die erste Gleichung ist das ( -fache der zweiten Gleichung und kann somit gestrichen werden Es bleibt nur die Gleichung + = übrig Eine nichttriiale Lösung ist (zum Beispiel =, = Unter Beachtung on + = lautet ein normierter Eigenektor zum Eigenwert λ = somit = ( zu λ = Das homogene Gleichungssystem (A E = o sieht wie folgt aus: ( ( ( = 4 Die zweite Gleichung ist das Doppelte der ersten Gleichung und kann somit gestrichen werden Es bleibt nur die Gleichung = übrig Eine nichttriiale Lösung ist (zum Beispiel =, = Unter Beachtung on + = lautet ein normierter Eigenektor zum Eigenwert λ = somit = ( Damit lässt sich die Hauptachsentransformation zur Beseitigung des gemischt-quadratischen Gliedes bestimmen: x = Qu (mit u = (u,, wobei Q die Matrix ist, die die normierten Eigenektoren on A in den Spalten stehen hat, also Q = (

5 TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik Für diese Matrix gilt Q AQ = D, wobei D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten on A auf der Hauptdiagonalen ist Damit lässt sich die Gleichung bestimmen, durch die der Kegelschnitt im u-koordinatensystem beschrieben wird: x Ax+b x+c = x=qu u Q AQu+b Qu+c = u Du+b Qu+c = ( ( ( u u + ( + u = u = ( ( ( u = Anhand dieser Gleichung ist zu erkennen, dass es sich bei der Quadrik um eine Parabel handelt Bzgl des u-koordinatensystems befindet sich der Scheitelpunkt bei (u, = (, und die Parabel ist in Richtung der negatien u-achse geöffnet Die u-achse ist Symmetrieachse der Parabel Die folgende Abbildung zeigt die Lage der Parabel im xy-koordinatensystem und auch die Lage der u- und der -Achse in Richtung der Eigenektoren on A y u x Die Markierungen auf den Achsen geben die Stellen an, an denen die jeweiligen Koordinaten gleich,,, sind

6 TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 6 Lösung zur Aufgabe des Übungsblattes Aus Aufgabe des Übungsblattes ist für die folgenden Matrizen A,,A 6 bekannt, welche geometrische Bedeutung die Multiplikation der jeweiligen Matrix mit einem Vektor hat ( ( ( A = A = A = ( ( ( A 4 = A = A 6 = Geben Sie für jede dieser Matrizen ihre reellen Eigenwerte und die zugehörigen Eigenektoren an, und zwar möglichst ohne Rechnung, sondern mittels anschaulicher Überlegungen Gehen Sie auch auf die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte ein Lösung: Wir müssen für jede Matrix überlegen, welche Vektoren durch die Matrix-Vektor-Multiplikation auf Vielfache on sich selbst abgebildet werden A : Diese Matrix bewirkt die Spiegelung an der x-achse Demzufolge wird jeder Vektor der Gestalt t(, auf sich selbst abgebildet, wohingegen jeder Vektor der Gestalt t(, auf den entgegengesetzten Vektor t(, abgebildet wird Diesen Überlegungen entnehmen wir: die Matrix hat zwei unterschiedliche reelle Eigenwerte, nämlich λ = mit den zugehörigen Eigenektoren t(,, t R\{} und λ = mit den zugehörigen Eigenektoren t(,, t R\{} Die geometrische Vielfachheit beider Eigenwerte ist gleich (Zur Erinnerung: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also die maximale Anzahl zugehöriger linear unabhängiger Eigenektoren A : Diese Matrix bewirkt die Spiegelung an der y-achse Demzufolge wird jeder Vektor der Gestalt t(, auf sich selbst abgebildet, wohingegen jeder Vektor der Gestalt t(, auf den entgegengesetzten Vektor t(, abgebildet wird Diesen Überlegungen entnehmen wir: die Matrix hat zwei unterschiedliche reelle Eigenwerte, nämlich λ = mit den zugehörigen Eigenektoren t(,, t R\{} und λ = mit den zugehörigen Eigenektoren t(,, t R\{} Die geometrische Vielfachheit beider Eigenwerte ist gleich A : Diese Matrix bewirkt die Drehung um 9 mit dem Koordinatenursprung als Drehzentrum Es gibt keinen om Nullektor erschiedenen Vektor des R, der durch die Matrix-Vektor- Multiplikation auf ein Vielfaches on sich selbst abgebildet wird Das bedeutet, dass die Matrix A keine reellen Eigenwerte hat (Sie hat ein Paar konjugiert komplexer Eigenwerte A 4 : Diese Matrix bewirkt die Drehung um 4 mit dem Koordinatenursprung als Drehzentrum Auch für diese Matrix gibt es keinen om Nullektor erschiedenen Vektor desr, der durch die Matrix-Vektor-Multiplikation auf ein Vielfaches on sich selbst abgebildet wird Das bedeutet, dass auch die Matrix A 4 keine reellen Eigenwerte hat (Sie hat ein Paar konjugiert komplexer Eigenwerte A : Diese Matrix bewirkt die zentrische Streckung um den Faktor mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum Jeder Vektor desr wird auf das Doppelte on sich abgebildet, insbesondere die kanonischen Einheitsektoren(, und(,, aber auch sämtliche Linearkombinationen daraus

7 TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 7 Die Matrix A besitzt demzufolge genau einen reellen Eigenwert, nämlich λ = Alle om Nullektor erschiedenen Vektoren des R sind zugehörige Eigenektoren Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ = beträgt, denn der zugehörige Eigenraum ist R, hat also die Dimension A 6 : Diese Matrix bewirkt die Hintereinanderausführung on Punktspiegelung am Koordinatenursprung und zentrischer Streckung um den Faktor mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum Jeder Vektor des R wird auf das ( -fache on sich abgebildet, insbesondere die kanonischen Einheitsektoren (, und (,, aber auch sämtliche Linearkombinationen daraus Die Matrix A 6 besitzt demzufolge genau einen reellen Eigenwert, nämlich λ = Alle om Nullektor erschiedenen Vektoren des R sind zugehörige Eigenektoren Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ = beträgt, denn der zugehörige Eigenraum ist R, hat also die Dimension Bemerkung: Für alle betrachteten Matrizen sind die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte gleich den geometrischen Vielfachheiten Denn: die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes kann nie kleiner als seine geometrische Vielfachheit sein und die Summe der algebraischen Vielfachheiten aller (unter Umständen komplexen Eigenwerte ist stets gleich der Anzahl der Spalten der Matrix, in unserem Fall also gleich