Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird,

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1 Determinanten Wir entwickeln eine Lösungsformel für Gleichungssysteme mit zwei Variablen. ax + cy = e b bx + y = f a } abx bcy = be + abx + ay = af ya bc = af be Man schreibt y = af be a bc = a e b f analog x = e cf a bc = e c f für en Term a bc un nennt as Zahlenschema bzw. seinen Wert Determinante. Determinanten sin für ie Matrizenrechnung von grunlegener Beeutung. Zum besseren Verstännis er vielen Gesetzmäßigkeiten für Determinanten veranschaulichen wir uns = a bc. Hierzu betrachten wir ie beien Spaltenvektoren x = un y =, ie ie Matrix bilen.. Ermittle ie Determinante. 0 a x =, y = 0 3 b x =, y = 0 3. Was beeutet ie Determinante für zwei Vektoren in er Ebene? Stelle eine Vermutung auf. 3. Untersuche ie Veränerung er Determinante, falls a ie Spaltenvektoren vertauscht weren, b ein Spaltenvektor mit einer Zahl multipliziert wir, c zu einem Spaltenvektor as Vielfache es aneren Spaltenvektors aiert wir, ie Spaltenvektoren linear abhängig kollinear sin, e ie Matrix transponiert wir, Zeilen un Spalten weren vertauscht, genauer: ie. Spalte wir zur. Zeile, ie. Spalte wir zur. Zeile. f Beweise ie unter. aufgestellte Vermutung.

2 3. f soll bewiesen weren. Der Determinante entspricht - vom Vorzeichen abgesehen - em Flächeninhalt es von en Vektoren aufgespannten Parallelogramms. y c a b x Durch eine Scherung wir ie Berechnung vereinfacht. Inem wir eine Geraengleichung aufstellen un eine Nullstelle berechnen, erhalten wir x 0 = a c. y c a b x 0 x Multiplizieren wir x 0 mit er Höhe, so erhalten wir en Inhalt a bc es Parallelogramms. y c x 0 x Mit ieser Deutung sin ie meisten er für Determinanten gültigen Regeln offensichtlich. Die Überlegungen können auf Determinanten n-reihiger quaratischer Matrizen ausgeweitet weren. Wie weren wohl Determinanten reireihiger quaratischer Matrizen veranschaulicht?

3 Cramersche Regel Wir entwickeln eine Lösungsformel für Gleichungssyteme mit rei Variablen. a x + a x + a 3 x 3 = u a x + a x + a 3 x 3 = u a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 = u 3 oer A x = u mit A = a a a 3 a a 3, x = x x x 3, u = u u u 3 Eine mühsame Rechnung führt zu Nenner ungleich Null vorausgesetzt: x = u a a 33 u a 3 a 3 u a a 33 +u a 3 a 3 +u 3 a a 3 u 3 a a 3 a a a 33 a a 3 a 3 a a a 33 +a a 3 a 3 +a 3 a a 3 a 3 a a 3 Übersichtlicher wir es mit er Determinantenschreibweise: a u a 3 u a a 3 a + u a 3 3 x = a a a a 3 + a 3 a a 3 Wenn wir eine 3 3 Determinante urch = a a a 3 a a 3 = a a a a 3 + a 3 a a 3 efinieren, ergibt sich schließlich x = u a a 3 u u 3 un analog x = a u a 3 a u a 3 a 3 u 3 a 33, x 3 = a a u a a u a 3 a 3 u 3 Nun ist ie Regelmäßigkeit zu erkennen. Die sogenannten Untereterminanten ergeben sich urch Streichen von Zeilen un Spalten welchen?. Die Determinante wure hier urch Entwicklung nach er. Spalte efiniert. Jee anere Spalte oer Zeile wäre möglich gewesen, wobei sich ie Vorzeichen gemäß es Schemas + + abwechseln

4 Inverse Matrix n = Die Lösungsformel für Gleichungssysteme A x = u mit zwei Variablen lautet, falls es eineutig lösbar ist: a x + a x = u a x + a x = u x = x = u a u a a a a a a u a u a a a a = u a u a = u a u a a a a a eta = a u a u = a u a u a a a a eta Dies kann auch in Matrizenform geschrieben weren: x = A u mit A = a a a a Setzen wir x = A u in A x = u ein, so ergibt sich AA u = u un amit AA = E mit er Einheitsmatrix E = 0 0. Nun wir auch ie Schreibweise er zu A inversen Matrix A verstänlich. Beispiel: A = 3 5 4, A =

5 Inverse Matrix n = 3 Nach em Vorigen lautet ie Lösung es linearen Gleichungssystems A x = u mit 3 Variablen, falls es eineutig lösbar ist: x = u u a a 3 + u 3 a a 3 x = u a a 3 a 3 a 33 + u a a 3 a 3 a 33 u 3 a a 3 a a 3 x 3 = u a a a 3 a 3 u a a a 3 a 3 + u 3 a a a a Dies kann auch in Matrizenform geschrieben weren: x = A u mit A = + a a 3 a 3 a 33 + a a a 3 a 3 a a 3 + a a 3 a 3 a 33 a a a 3 a 3 + a a 3 a a 3 a a 3 + a a a a Setzen wir x = A u in A x = u ein, so ergibt sich AA u = u un amit AA = E mit er Einheitsmatrix E = Beispiel: A = , A =

6 Eigenwerte un Eigenvektoren Es sei A = eine quaratische Matrix. Durch Multiplikation mit A wir einem x u Vektor x = ein Vektor u = zugeornet. Die Abbilung lautet: A x = u. y v Bei vielen Anwenungen stellt sich ie Frage, ob ein Vektor x existiert, er urch ie Abbilung auf sich selbst oer auf ein Vielfaches von sich selbst abgebilet wir. Es weren also Lösungen er Gleichung A x = λ x bei gegebenen A gesucht. Betrachten wir ein Beispiel. Gegeben sei ie Matrix A = 3. Die Fragestellung führt auf as Gleichungssystem: 3x y = λx x y = λy Um es zu lösen, formen wir um: 3 λx y = 0 x +λy = 0 Für ieses Gleichungssystem existiert eine triviale Lösung: x = 0 un y = 0. Eine nichttriviale Lösung existiert genau ann, wenn ie Spaltenvektoren kollinear linear abhängig sin, ie Determinante er Koeffizienten mithin verschwinet. Somit ist ie Gleichung 3 λ +λ = 0 oer λ λ = 0 zu lösen, ie ie charakteristische Gleichung es Problems heißt. Die Lösungen, genannt Eigenwerte, sin λ =, λ = Zu jeem Eigenwert kann nun ein azugehörige sogenannte Eigenvektor bestimmt weren: Zu λ = erhalten wir 4x y = 0 x y = 0 Die beien Gleichungen sin voneinaner abhängig, eine von ihnen kann weggelassen weren. Eine mögliche Lösung ist x =, y =, zusammengefasst: x =. Jees Vielfache von x wäre ebenfalls ein Eigenvektor zum Eigenwert λ =. Analog erhalten wir zum Eigenwert λ = en Eigenvektor x = oer jees Vielfachen avon. 6

7 Eigenwerte Beispiel Gesucht sin ie Eigenwerte er Matrix A = Zunächst ist λ von jeem Diagonalelement zu subtrahieren. Dies kann übersichtlich mit er Einheitsmatrix E urchgeführt weren: A λe = λ = λ λ λ Nun ist ie Determinante er entstanenen Matrix gleich Null zu setzen: eta λe = λ λ λ = 0 Entwickeln wir ie Determinante nach er. Spalte, so ergibt sich λ 0 λ 3 7 λ = 0 un weiter λλ 0λ+ = 0 mit en Lösungen Eigenwerten λ =, λ = 3, λ 3 = 7 Für as charakteristische Polynom gilt für n = : pλ = λ SpurAλ+etA, wobei ie Spur einer Matrix ie Summe er Elemente auf er Hauptiagonalen links oben bis rechts unten ist. Für n = 3 gilt: pλ = λ 3 +SpurAλ cλ+eta, a b c hierbei ist für A = e f c = a b e + g j + e f h j. g h j 7