Ferienkurs Mathematik für Physiker I Blatt 3 ( )

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1 Ferienkurs Mathematik für Physiker I WS 6/7 Ferienkurs Mathematik für Physiker I Blatt 3 (9.3.7) Aufgabe : Matrizenrechung 3 (a) Ermitteln Sie für die Matrix A = 3 4 den Ausdruck A + A + A + 6 A (b) Berechnen Sie B T B und B T AB für die Matrizen i A = i und B = i (c) Bilden Sie -sofern möglich - mit den Matrizen und den Vektoren 3 A = 4, B = 5 ( ) 3 und C = 7 i x = (,, 4) T, y = (8, 5) T und z = (3, ) T die Ausdrücke A + C, B, A(z + y), C( 4z), (A + C)y, AB, BC, AC T, x T A, y T z, yz T. (a) Es ist A = E 3 =, A = 9 38, A 3 = Wir erhalten daher E 3 + A + A + 6 A3 = (b) Es ist B T = i B T B = = E 3, B T AB = i 3

2 Wegen B T B = E 3 ist das Konjugierttransponierte von B gleich dem Inversen. Man nennt diese Eigenschaft unitär. (c) Es gilt 7 ( ) A + C = 6 4, B =, A(y + z) = Ay + Az = 4, C( 4z) = 4Cz = 6, (A + C)y = Ay + Cy = 37, AB = 3 7, BC ist nicht definiert, AC T = 8 7 x T A = ( 6 3 ) ( ) 4 6, y T z = 4, yz T = 5 9

3 Aufgabe : Determinante und Inverses Zeigen Sie dass gilt ( ) a b A = M( ; K)ist invertierbar ad bc c d Berechnen Sie für diesen Fall das Inverse von A sowie dessen Determinante. Wie ist die Determinante von A A? Die Matrix A wird auf herkömmliche Art invertiert. D.h. wir machen den Ansatz: ( a b ) c d und nutzen solange Gaussumformungen bis links des Strichs die Einheitsmatrix steht. Rechts ist dann die Inverse Matrix gegeben als ( ) d b ad bc c da wir wissen, dass das Inverse eindeutig ist und der gefundene Ausdruck nur für ad bc definiert ist, ist die oben genannte Äquivalenz gezeigt. Die Determinante des Inversen kann einfach berechnet werden zu ad bc, denn es gilt det(λa) = λ n det(a) für A K n n. Da det(ab) = det(a) det(b) gilt ist die Determinante von A A = E gegeben mit det(a ) det(a) = det(a) det(a) = det(a) det(a) =. a 3

4 Aufgabe 3: Determinante Begründen Sie warum die Determinanten der folgenden Matrizen gleich null sind. Dazu muss die Determinante nicht explizit ausgerechnet werden. (a) det (b) det 6 3 (c) det (d) det 5 4 (a) Die Determinante enthält den Nullvektor (3. Spalte). (b) Die Determinante enthält zwei proportionale Spalten (die 3. Spalte ist das 5-fache der.spalte). (c) Die 4. Zeile ist die Summe der ersten beiden Zeilen und somit ist sie linear Abhängig (d) Die Determinante enthält zwei gleiche Spalte (. und 3. Spalte) 4

5 Aufgabe 4: Determinante Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen (a) A = 3 (b) B = x (c) C = x x a + ab ac (d) D = ab b + bc ac bc c + sin α cos α a sin α b cos α ab cos α sin α a sin α b cos α a b (e) E = a b a b b a Hinweis: [( Zu Aufgabenteil )(d): ( Es ist ) (a a + ) b a + + b a + c a + + c + (a) det(a) = 4 (b) det(b) = 8 (c) det(c) = (x ) (x + ) (d) det(d) = a + b + c + (e) det(e) = a + b ( ) ( )] a bc a + + bc a bc a + + bc = a + b + c +. 5

6 Aufgabe 5: Lineare Gleichungssysteme Ermitteln Sie die smenge des komplexen Gleichungssystems (A b) mit ( ) ( ) i i 3 + i und b = 3 + 6i 5 +i (+4i) i Wir vereinfachen zunächst die komplexen Brüche. Es ist 5 + i = 5( i) 5( i) = = i ( + i)( i) 5 und ( + 4i) i = 4 + 6i 6 i = ( + 6i) i + 6i 6 = = 4 + i ( + i)( i) das resultierende LGS führt nun auf ( ) i. i Damit gilt also L = {(i, i)} 6

7 Aufgabe 6: Lineare Gleichungssysteme Gegeben ist das Gleichungssystem (A b) mit A = α und b = Für welche Werte von α und β besitzt das Gleichungssystem (a) eine eindeutige (b) keine (c) unendlich viele en β 6 (d) Geben Sie die smenge für den Fall unendlich vieler en explizit an mit dem Gauß schen Eliminationsverfahren erhält man β 3 3 β α 6 α 3(β + ) (a) Es gibt genau dann eine eindeutige venn α α ist (b) Es gibt genau dann keine wenn α = 3(β + ) α = β (c) Es gibt genau dann unendlich viele en, wenn α = 3(β + ) = α = β = (d) Die smenge im Falle unendlich vieler en ergibt sich zu Damit folgt x 4 = s R x 3 = s x = 3s 3( s) = 8 x = s + ( s) 8 = 8 8 und so letztendlich L = 8 + s α = β = s R 7