Lösungen Serie 5 (Determinante)

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1 Name: Seite: Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen Serie 5 (Determinante) Dozent: R Burkhardt Büro: 463 Klasse: Studienjahr Semester: Datum: HS 2008/09 Aufgabe Bestimme die Determinanten der folgenden Matrizen: (a) ( 3) 0 0 (b) ( ) 2 4 6

2 Name: Seite: 2 (c) (d) a b b b a b c c a b c d a b b b a b c c a b c d 0 b a b a b a 0 b a c a c a 0 b a c a d a 0 b a b a b a 0 0 c b c b 0 0 c b d b 0 b a b a b a 0 0 c b c b d c a (b a)(c b)(d c)

3 Name: Seite: 3 (e) (***) x x x x Sternchenaufgabe: Dies müsst ihr nicht können! Aber schaut es doch mal an (vollständige Induktion) Vermutung mit kleinem n suchen: n : (x) x n 2: x x x 2 (x ) (x +) n 3: x x x x3 3x +2(x ) 2 (x +2) n 4: x x x x 4 6x 2 +8x 3(x ) 3 (x +3) x Vermutung: x x x (x ) n (x + n ) x Beweis der Vermutung mit vollständiger Induktion (das es für alle natürlichen Zahlen n gilt): Verankerung (n 2): Wurde oben schon gezeigt! x (x ) 2 (x +2 ) (x ) (x +) x Induktionsschritt: Es gelte die Vermutung für k n Wir zeigen, dass daraus die Vermutung auch für das nachfolgende Element gilt Also es sei (für n -Zeilen): x x x (x ) (n ) (x +(n ) ) (x ) n 2 (x + n 2) x Und nun für k n: x x x 0 x 2 x x x x 0 x x 2 x x x x n 0 x x x 2 x x 0 x x x x 2

4 Name: Seite: 4 (x )n x n x 0 x + 0 x + 0 x + 0 x + Substitution: u x +: x x x x x (u 2)n (u ) n u 0 u 0 u 0 u 0 u Nun können wir nach der ersten Spalte entwickeln: x x x x x (u 2)n (u ) n (u ) u u u u (u 2)n (u ) n (u ) (u )n 2 (u + n 2) (u 2) n (u + n 2) Rücksubstitution: x x x x x (x ) n (x + n ) (f) λ 2 λ λ λ 2 λ λ λ λ 0 λ ( λ) 2 2( λ) λ ( λ)(λ 2) (λ +) λ 0 (λ 2) (λ +) 4 2λ 0 0 (2 λ)(λ 2) (λ +)+3(4 2λ) ( λ)(λ 2) (λ +) ( λ)(λ 2) (λ +) ((2 λ)(λ 2) (λ +)+3(4 2λ)) (2 λ)(λ 2) (λ +)+3(4 2λ) λ 3 +3λ 2 6λ +8 2 Aufgabe Bestimme die Inversen der folgenden Matrizen mittels der Adjunkten (es gilt A det(a) adj (A)):

5 Name: Seite: 5 (a) Kofaktoren bestimmen: A A A A A A A A A (b) Inverses: a b 0 2 A A 2 A 3 A 2 A 22 A A 3 A 32 A t a b b a b a b a a b adj b a b a a b a 2 b 2 b a a a 2 b b 2 a 2 b 2 b a 2 b 2 a a 2 b 2 3 Aufgabe Bestimme die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel: (a) 2 x y 4 D D x D y x D x D y D y D 3 3 t

6 Name: Seite: 6 (b) L {(3, )} x y z D D x D y D z x D x D y D y D z D z D L {(3,, 2)} 4 Aufgabe Nicht nur in der linearen Algebra werden Determinanten verwendet Hier zwei Beispiele: (a) Wronskische Determinante: n verschiedene reelle Funktionen y,y 2,, y n sind linear unabhängig, wenn die Wronski-Determinante ungleich Null ist Die Wronski-Determinante berechnet sich wie folgt: y y 2 y 3 y n y y2 y3 y n det y y2 y3 yn y (n ) y (n ) 2 y (n ) 3 y n (n ) Überprüfe, ob die folgenden Funktionen linear unabhängig sind: sin (x), cos (x) y y 2 y y2 sin (x) cos(x) cos (x) sin (x) sin2 (x) cos 2 (x) 0 linear unabhängig! sin (x),e x,e x y y 2 y 3 y y2 y3 y y2 y3,x,x 3,x 4 y y 2 y 3 y 4 y y2 y3 y4 y y2 y3 y4 y y2 y3 y4 sin (x) e x e x cos (x) e x e x sin (x) e x e x x x 3 x 4 0 3x 2 4x x 2x x (b) Seien die beiden Vektoren v x y 4sin(x) 0 linear unabhängig! 72x 2 0 linear unabhängig! x2,v 2 y 2 R 2 gegeben, so bilden diese beiden

7 Name: Seite: 7 Vektoren ein Parallelogramm Die Fläche dieses Parallelogramms berechnet sich folgendermassen: A x x 2 y y 2 Sind drei Vektoren im R 3 gegeben, so ergibt die dreireihige Determinante aus der Matrix mit diesen drei Vektoren das Volumen des Parallelepipeds, welches von diesen drei Vektoren aufgespannt wird: x x 2 x 3 V y y 2 y 3 z z 2 z 3 So könnte man nun weiterfahren! Zeige, dass die Formel für die Fläche korrekt ist Wir denken uns ein Dreieck mit einer Ecke im Koordinatenursprung und den beiden Seiten die durch die gegebenen Vektoren gegeben sind Nun drehen wir das Koordinatensystem so, dass der eine Seitenvektor parallel zur x-achse zu liegen kommt Dann müssen wir um den Winkel y δ arctan drehen Diebeidenneuen Seitenvektoren lauten somit: x y cos arctan y x sin sin arctan y x cos x 2 y 2 x 2 +y2 x x 2 +y2 x 2 0 cos arctan y x sin arctan y x x 2x +y y 2 x 2 x +y 2 x 2 yx2 y2x x x 2 +y 2 x 2 x arctan y x arctan y x sin arctan y x cos arctan y x x y x2 y 2 Die Flächeder beiden Dreiecke sind gleich Im neuen Dreieck kennen wir nun die Länge der Grundlinie und die Höhe y x 2 y 2 x Somit finden wir für die Fläche: A 2 x 2 + y2 x x 2 +y 2 x 2 x2 +y2 x 2 x +y 2 x 2 x x 2 +y 2 x 2 y x 2 y 2 x x 2 x +y 2 2 (x y 2 x 2 y ) 2 x x 2 y y 2 x 2 Berechne die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten A (0, 0), B (2, 4) und C ( 2, 3) Berechnung der Seitenvektoren: 2 0 AB AC Berechnung der Fläche: F

8 Name: Seite: 8 Bestimme das Volumen der Pyramide, die durch die vier Punkte A (,, ), B (, 2, 2), C (4, 2, 0) und D ( 3, 2, 5) gegeben ist Berechnung der Seitenvektoren: AB AC AD Berechnung des Volumens: V