Aufgabenkomplex 5: Inverse Matrix, Determinanten, Analytische Geometrie
|
|
- Max Waltz
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Technische Universität Chemnitz 0. Dezember 0 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 5: Inverse Matrix, Determinanten, Analytische Geometrie Letzter Abgabetermin: 3. Januar 0 (in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 39/7) Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I., Aufgabenkomplex 5 kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll Alle Aufgaben sind ohne elektronische Hilfsmittel zu lösen a 3. Seien a und b beliebige reelle Parameter. Berechnen Sie b Für welche Parameterwerte verschwindet die Determinante? 0. Sei A= 3. 3 a a) Berechnen Sie det(a) und A in Abhängigkeit vom Parameter a b) Lösen Sie unter Verwendung des Ergebnisses von a) das lineare Gleichungssystem x + z= x+y+3z= 7 3x+y+5z= 3. Berechnen Sie Betrachtet werden die Dreiecke ABC mit den Eckpunkten A(,0,), B(,,), C(4,,5) und DEF mit den Eckpunkten D(4, 4, ), E(5, 6, 3) und F(7,, 7). a) Zeigen Sie, dass die Dreiecke durch Parallelverschiebung auseinander hervorgehen b) Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Ebenen, in denen die Dreiecke liegen, in parameterfreier Form c) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Dreiecke d) Die beiden Dreiecke seien Grund- und Deckfläche eines Prismas. Bestimmen Sie dessen Seitenlängen, Höhe und Volumen 5 5. a) Zeigen Sie, dass die Geraden g : x= +s und g : x= 3 +s zuein ander windschief sind b) Ermitteln Sie die Richtung ihres gemeinsamen Lotes c) Geben Sie die Gleichung der Ebene an, die die Gerade g und das gemeinsame Lot enthält d) Wo schneidet diese Ebene die Gerade g? e) Wo beginnt das Lot auf der Geraden g? f) Welchen Abstand haben die windschiefen Geraden voneinander? g) Ermitteln Sie zwei zueinander parallele Ebenen, von denen die eine die Gerade g und die andere die Gerade g enthält Welchen Abstand haben diese Ebenen voneinander? T
2 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 5 0. Dezember 0 Aufgabenkomplex 5: Inverse Matrix, Determinanten, Analytische Geometrie Letzter Abgabetermin: 3. Januar 0 a 3. Seien a und b beliebige reelle Parameter. Berechnen Sie b Für welche Parameterwerte verschwindet die Determinante? Zweckmäßig Entwicklung nach. Spalte: a = 0 b 0 +b a 3 = ( ++)+b(a a) = b(4 3a) b(4 3a)=0 gilt, wenn b=0 oder a= 4 3 ist. 0. Sei A= 3. 3 a a) Berechnen Sie det(a) und A in Abhängigkeit vom Parameter a b) Lösen Sie unter Verwendung des Ergebnisses von a) das lineare Gleichungssystem x + z= x+y+3z= 7 3x+y+5z= 0 a) det(a)= 3 = a+ 3 3= 3 a a a a 3 a a 3 A = a 3 9 a a 3 Im Falle a=4 ist die Matrix A nicht invertierbar.
3 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 5 0. Dezember 0 3 b) Mit a=5 ergibt sich aus dem Ergebnis von a) x y = 7 =, z 3 also ist x=, y=0 und z=3. 3. Berechnen Sie 4 Inversion von 4 : / / / / / / = oder: Die gesuchte Matrix X = A B T kann durch Lösung des Gleichungssystems AX = B T ermittelt werden: T 4. Betrachtet werden die Dreiecke ABC mit den Eckpunkten A(,0,), B(,,), C(4,,5) und DEF mit den Eckpunkten D(4, 4, ), E(5, 6, 3) und F(7,, 7). a) Zeigen Sie, dass die Dreiecke durch Parallelverschiebung auseinander hervorgehen b) Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Ebenen, in denen die Dreiecke liegen, in parameterfreier Form c) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Dreiecke d) Die beiden Dreiecke seien Grund- und Deckfläche eines Prismas. Bestimmen Sie dessen Seitenlängen, Höhe und Volumen
4 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 5 0. Dezember 0 4 a) AD= BE= CF= 3 4. Also geht das Dreieck DEF aus dem Dreieck ABC durch Parallelverschiebung hervor, so dass die Dreiecke kongruent sind und parallel zueinander liegen. oder AB= DE=, BC= EF= 4, CA= 3 FD=. 4 6 Da die Dreiecksseiten durch parallele Vektoren beschrieben werden, sind die Dreiecke kongruent und liegen parallel zueinander. b) n= AB 3 i j k 6 AC= = = ˆ= 8 ABC liegt in der Ebene ( x ) y =0, d.h. x z=3. z DEF liegt in der Ebene ( x 4 ) y 4 =0, d.h. x z= 3. z c) Fläche= AB AC= 6 8 = 4 = 4 5 d) Die Seitenlängen der Grund- und der Deckfläche sind AB= DE= =3, BC= EF= 4 4 =6 und CA = 3 FD= 6 =7, die der Verbindungsstrecken ist AD= BE= CF 3 = 4 =3. 3 Die Höhe des Prismas ist die Länge der Projektion des Seitenvektors 4 auf n=, 3 4 also = = 5= 5. 5 Man kann die Höhe auch durch Fällen des Lotes von einem Punkt der Deckfläche, z.b. von D(4, 4, ) auf die Ebene x z=3, in der die Grundfläche liegt, bestimmen. Die Geradenglei-
5 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 5 0. Dezember chung dieses Lotes lautet x= 4 +t, Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt für den Lotfußpunkt (4+t) ( t)=3, d.h. 5t=6, t= 6, so dass = 6 6 5= 5 5 die Länge des Lotes und damit die Höhe ist. Das Volumen des Prismas ergibt sich dann aus Grundfläche Höhe zu = 4. 5 Man kann das Volumen des Prismas auch als das halbe Volumen des von den Vektoren AB, AC und AD aufgespannten Spates berechnen: V = = = 48 = a) Zeigen Sie, dass die Geraden g : x= +s und g : x= 3 +s zueinander windschief sind b) Ermitteln Sie die Richtung ihres gemeinsamen Lotes c) Geben Sie die Gleichung der Ebene an, die die Gerade g und das gemeinsame Lot enthält d) Wo schneidet diese Ebene die Gerade g? e) Wo beginnt das Lot auf der Geraden g? f) Welchen Abstand haben die windschiefen Geraden voneinander? g) Ermitteln Sie zwei zueinander parallele Ebenen, von denen die eine die Gerade g und die andere die Gerade g enthält Welchen Abstand haben diese Ebenen voneinander? a) windschief: weder parallel noch Schnitt Die Geraden sind offensichtlich nicht parallel. Wir suchen den evtl. Schnittpunkt: 5 +s = 3 +t s= 5+t + s=3 = s= s=6+4t = =6+4t, t = 3 Für diese Parameterwerte ergibt sich als x Komponenete + = = 7. Das ist ein Widerspruch, also liegt kein Schnittpunkt vor. oder: 5 6 Volumen des Spates aus, und 3 = 6 ist 0 = , also windschief. b) Das gemeinsame Lot steht auf beiden Geraden senkrecht, seine Richtung ist also i j k 4 = = 6
6 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 5 0. Dezember c) x= +s +t i j k 6 = 4 6 = 6 x y =0, x+0y6z= , x+0y6z=3 6 z 0 5 d) Schnitt von x= 3 +s und x+0y6z=3: 6 4 ( 5+s)+0 36(6+4s)=3, s 64s=3, =53s, s= 4, 5 9 d.h. Schnitt in 3 4= e) Zur Ebene x+0y6z=3 gehören die Gerade g und das gemeinsame Lot einschließlich des Lotfußpunktes auf g. Gesucht ist also der innerhalb dieser Ebene liegende Schnitt 9 4 von x= +s und x= 3 +s 6 : 0 0 +s= 9+4t + s= 3 6t = +s=3+s, s=, s=, t = s= t = t = s Für die aus der. und 3. Zeile ermittelten Paramater s und t ist auch die. Zeile erfüllt: + ()== 9+4, der Schnittpunkt des gemeinsamen Lotes mit der Gerade g ist somit =. 0 9 f) Der Abstand ist die Länge des gemeinsamen Lotes, also 3 0 = 4 6 = g) Der (gleiche) Stellungsvektor der Ebenen muss zu g und g orthogonal sein, ist also 6. 4 x Ebene, die g enthält: 6 y =0, 4x 6y z= 8, z 0 4 x+ 5 Ebene, die g enthält: 6 y3 =0, 4x 6y z=4. z6 Der Abstand dieser Ebenen ist gleich dem Abstand von g und g, also 53.
Übung Elementarmathematik im WS 2012/13. Lösung zum Klausurvorbereitung IV
Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Dr. Uwe Streit Jan Blechschmidt Aufgabenkomplex 7 - Vektoren Übung Elementarmathematik im WS 202/3 Lösung zum Klausurvorbereitung IV. (5 Punkte -
MehrAufgabenkomplex 3: Vektoren und Matrizen
Technische Universität Chemnitz 15. November 010 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.1 Aufgabenkomplex : Vektoren und Matrizen Letzter Abgabetermin: 9. Dezember 010 in Übung oder Briefkasten bei
MehrAufgabenkomplex 3: Vektoren und Matrizen
Technische Universität Chemnitz 2. November 29 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex : Vektoren und Matrizen Letzter Abgabetermin: 7. Dezember 29 (in Übung oder Briefkasten bei Zimmer
MehrPflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom September 6 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe
Mehr63.5 Das Vektorprodukt - Übungen (2)
Mathematik mit Mathcad MK.. Vektorprodukt_Ueb_.xmcd. Das Vektorprodukt - Übungen () Aufgaben () Gegeben sind zwei Vektoren a, die ein Parallelogramm aufspannen. () Gegeben sind die drei Eckpunkte A( -;
MehrSerie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
MehrHTW MST Mathematik 1. Vektorrechnung. Zu Aufgabe 1. Zu Aufgabe Lösungen zu Übungsblatt 5. Lösung: Lösung: = 39
Vektorrechnung Zu Aufgabe 1 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Vektoren 1 a =, b =, 3 1 c = 6 1 aufgespannt wird! Zu Aufgabe Berechnen Sie das Volumen des durch folgende 3 Vektoren
MehrÜbungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07
Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C - 6/7. Gegenseitige Lage von Geraden Gesucht ist die gegenseitige Lage der Geraden g durch die beiden Punkte A( ) und B( 5 9 ) und der Geraden
MehrAnalytische Geometrie mit dem Voyage 1
Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U
Mehr5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.
1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen
MehrPrüfungsteil 2, Aufgabe 4 Analytische Geometrie
Abitur Mathematik: Prüfungsteil, Aufgabe 4 Analytische Geometrie Nordrhein-Westfalen 0 LK Aufgabe a (). SCHRITT: MITTELPUNKT DER GRUNDFLÄCHE BERECHNEN Die Spitze befindet sich einen Meter senkrecht über
Mehr12 Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Seite 1 von Der Abstand eines Punktes von einer Geraden
12 Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Seite 1 von 5 12 Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Die Bestimmung des Abstands eines Punktes von einer Geraden gehört zu den zentralen Problemen
MehrLagebeziehung von Ebenen
M8 ANALYSIS Lagebeziehung von Ebenen Es gibt Möglichkeiten für die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen. Die Ebenen sind identisch. Die Ebenen sind parallel. Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden Um
Mehr5. Geraden und Ebenen im Raum 5.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
5 Geraden und Ebenen im Raum 5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Definition: Die Vektoren a,a,,a n heißen linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 3/4): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 gegeben.
MehrLernkarten. Analytische Geometrie. 6 Seiten
Lernkarten Analytische Geometrie 6 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf
MehrAufgabenkomplex 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme
Technische Universität Chemnitz 3. Mai Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Letzter Abgabetermin:. Juni (in Übung
MehrGeometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:
Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:
MehrAnalytische Geometrie Spatprodukt
Analytische Geometrie Spatprodukt David Schmid, Reto Da Forno Kantonsschule Schüpfheim Januar 2005 Analytische Geometrie: Das Spatprodukt 1 Das Spatprodukt Hinweis: Die Vektoren werden aus darstellungstechnischen
MehrÜbungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1
Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie. Bei einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 00 cm beträgt die Seitenkante 3 cm. a) Welche Höhe hat die Pyramide? b) Wie groß
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Das System a x + a x +... + a n x n = b a x + a x +... + a n x n = b. +. +... +. =. a m x + a m x +... + a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem
MehrAufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra
Aufgabe 1 Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Konstruieren Sie ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge AB = 6,4 cm. Aufgabe 2 Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = c = 6,4 cm,
MehrAufgabe A7/08 Die Ebene geht durch die Punkte 1,5 0 0,!0 3 0 und " Untersuchen
Aufgabe A6/08 Gegeben sind die zwei parallelen Gerade und durch 2 3 1 6 : 9 4, : 2 8;, 4 1 5 2 Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden. (Quelle Abitur BW 2008 Aufgabe 6) Aufgabe A7/08 Die Ebene geht
MehrAbiturprüfung Mathematik 8 Baden-Württemberg (ohne CAS) Wahlteil Aufgaben Analytische Geometrie II, Aufgabe II. Die Punkte A(//), B(//), C(//), F(//), G(//) und H(//) sind die Ecken eines dreiseitigen
Mehr1 aus allen 3 Zeilen folgt t = 1, also liegt A auf g. Orsvektor und Richtungsvektor der Geraden werden übernommen, den zweiten Spannvektor bekommt
Lösungsskizzen Klassische Aufgaben Lösung zu Abi - PTV Punktprobe: = + t aus allen Zeilen folgt t =, also liegt A auf g. Richtungsvektor von g: u = ; Normalenvektor von E: n = Da die n und u Vielfache
MehrSollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans
Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen
MehrMathematik LK 12 M1, 3. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung
Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung 7..4 Aufgabe : Wandle die Gleichungen der folgenden Geraden und Ebenen in die angegebene Form um.. g : x= +t 6 4 =+6t II. x =+4t in die Koordinatenform.
MehrStudiengänge) Beispiele
Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert. DETERMINANTEN Determinanten
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra 2015/2016: Lösungen
1 Lineare Abhängigkeit 1.1 Für welche t sind die folgenden Vektoren aus 3 linear abhängig? (1, 3, 4), (3, t, 11), ( 1, 4, 0). Das zur Aufgabe gehörige LGS führt auf die Matrix 1 3 4 3 t 11. 1 4 0 Diese
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2
MehrAnalytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
MehrOktaeder. Bernhard Möller. 22. Dezember 2010
Oktaeder Bernhard Möller. Dezember 00 Ein Oktaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen Oberfläche aus acht kongruenten, gleichseitigen Dreiecken besteht. Jedes Oktaeder kann einem Würfel so einbeschrieben
MehrWie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8)?
Übungsbeispiel / 2 Gerade durch 2 Punkte Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/) und B(-5/8)? Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Übungsbeispiel 2 / 2 Gerade
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Einführung in die Matrizenrechnung
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra WS 006/07 en Blatt 3.0.006 Einführung in die Matrizenrechnung Zentralübungsaufgaben
MehrArbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren)
Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften Arbeitsblatt Mathematik (Vektoren Dozent: - Brückenkurs Mathematik / Physik 6. Aufgabe Gegeben
MehrAbstände und Zwischenwinkel
Abstände und Zwischenwinkel Die folgenden Grundaufgaben wurden von Oliver Riesen, KS Zug, erstellt und von Stefan Gubser, KS Zug, überarbeitet. Aufgabe 1: Bestimme den Abstand der beiden Punkte P( 3 /
MehrAufgabenkomplex 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme
Technische Universität Chemnitz 04. Juni 00 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Letzter Abgabetermin:. Juni 00 (in
MehrVektorprodukt. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Vektorprodukt 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Vektorprodukt Unter dem Vektorprodukt zweier Vektoren a und b versteht man den im Raum durch die folgenden Bedingungen charakterisierten Vektor: c = a b 1. c
MehrDas Wichtigste auf einen Blick
Das Wichtigste auf einen Blick Zusammenfassung Geometrie.Parameterform einer Geraden Eine Gerade ist wie auch in der Analysis durch zwei Punkte A, B im Raum eindeutig bestimmt einer der beiden Punkte,
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrLänge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren
Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(
MehrFormelsammlung Analytische Geometrie
Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..
MehrBeispiel mit Hinweisen 1 1/3 Dreieck
Beispiel mit Hinweisen 1 1/3 Dreieck Zeige für das Dreieck ABC [ A(5/5), B(29/15), C(5/15) ] die Richtigkeit von folgender Behauptung: Die drei Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den Berührungspunkten
MehrDamit haben wir schon die Koeffizienten der Gleichung gefunden, in dem wir n noch durch 6 teilen. 5x 2y + 13z = C. (2) = 36 = C.
Aufgabenblatt 6 0 Punkte Aufgabe 1 (Pyramide) Gegeben ist eine Pyramide P mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und Spitze D. Es sei A(2 0 2), B(10 7 0), C(0 8 ) und D(8 1 10). a) Gib eine (möglichst einfache)
MehrÜbungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller
Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller Übungsblatt 13 Dieses Übungsblatt wird nicht mehr zur Abgabe vorgesehen. Es dient der Wiederholung
MehrMathematik Analytische Geometrie
Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,
MehrLineare Algebra Übungen
Dr Andreas Maurischat Aachen 9 September 7 Lineare Algebra Übungen Vorkurs Mathematik 7 RWTH Aachen Aufgaben um Kapitel (Vektorrechnung Aufgabe Im R sind die Punkte P = (; ; Q = (; ; R = ( ; ; gegeben
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)
MehrMathematik für Studierende der Fachrichtungen Biologie, Chemie, Lebensmittelchemie und Erziehungswissenschaften Blatt 2
Fakultät Mathematik WS 27/8 Institut für Mathematische Stochastik / Institut für Analysis Dr. W. Kuhlisch, Dr. F. Morherr Mathematik für Studierende der Fachrichtungen Biologie, Chemie, Lebensmittelchemie
Mehr1 lineare Gleichungssysteme
Hinweise und Lösungen: http://mathemathemathe.de/lineare-algebra-grundlagen 1 lineare Gleichungssysteme Übung 1.1: Löse das lineare Gleichungssystem: I 3x + 3y + 7z = 13 II 1x 2y + 2, 5z = 1, 5 III 4x
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 23): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag 3. Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen sowie der Tatsache, daß sich die Determinante
MehrSCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG Mathematik (Leistungskurs) Arbeitszeit: 300 Minuten
Mathematik (Leistungskurs) Arbeitszeit: 300 Minuten Der Prüfling wählt je eine Aufgabe aus den Gebieten L 1, L 2 und L 3 zur Bearbeitung aus. Gewählte Aufgaben (Die drei zur Bewertung vorgesehenen Aufgaben
MehrVektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben.
Vektorgeometrie 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren u 14, 5 11 10 v 2 und w 5 gegeben. 10 10 a) Zeigen Sie, dass die Vektoren einen Würfel
MehrLk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1
Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.. Die Grundäche eines Spielplatzes liegt in der x - -Ebene. Auf ihm steht eine innen begehbare, senkrechte, quadratische Pyramide aus Holz mit den Eckpunkten
Mehr13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01
. Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
MehrPflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...
Pflichtteil Wahlteil Analysis 8 Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis 9 Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie 9 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte
Mehr10.6 Eine Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie
09 0.6 Eine Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie Geradengleichung: Eine Gerade in der Ebene oder im Raum ist festgelegt durch a) einen Punkt + Richtung, b) zwei Punkte. Zu a) A r P 3 X a g x 0
MehrAufgabenskript. Lineare Algebra
Dr Udo Hagenbach FH Gießen-Friedberg Sommersemester Aufgabenskript zur Vorlesung Lineare Algebra 6 Vektoren Aufgabe 6 Gegeben sind die Vektoren a =, b =, c = Berechnen Sie die folgenden Vektoren und ihre
MehrLernunterlagen Vektoren in R 2
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet
MehrKapitel 4. Determinante. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24
Kapitel 4 Determinante Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24 Was ist eine Determinante? Wir wollen messen, ob n Vektoren im R n linear abhängig sind bzw. wie weit sie davon entfernt
MehrPrüfungsteil 2, Aufgabe 4 Analytische Geometrie
Abitur Mathematik: Prüfungsteil, Aufgabe 4 Analytische Geometrie Nordrhein-Westfalen 0 GK Aufgabe a (). SCHRITT: MITTELPUNKT DER GRUNDFLÄCHE BERECHNEN Die Spitze befindet sich einen Meter senkrecht über
MehrFormelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt
Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung
MehrKoordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.
Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten
MehrAufgabenkomplex 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung
Technische Universität Chemnitz 4. April 2011 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung Letzter Abgabetermin: 2. April 2011 (in Übung
MehrLehrplan 2013: Klassenstufe 11: 2015/16 Klassenstufe 12: 2016/17 Analytische Geometrie und Vektorrechnung
Lehrplan 2013: Klassenstufe 11: 2015/16 Klassenstufe 12: 2016/17 Analytische Geometrie und Vektorrechnung Erfurt, 05.03.2015 Wolfgang Häfner Analytische Geometrie und Vektorrechnung Änderungen im Lehrplan
MehrBayern Aufgabe a. Abitur Mathematik: Musterlösung. Die Koordinaten von C sind die Komponenten des Vektors PC (denn P ist
Abitur Mathematik Bayern 201 Abitur Mathematik: Bayern 201 Aufgabe a 1. SCHRITT: VORÜBERLEGUNG Die Koordinaten von C sind die Komponenten des Vektors PC (denn P ist der Ursprung). Dabei ist PC = PB + BC
MehrAufgabenskript. Lineare Algebra
Dr Udo Hagenbach FH Gießen-Friedberg Sommersemester 9 Aufgabenskript zur Vorlesung Lineare Algebra 6 Vektoren Aufgabe 6 Gegeben sind die Vektoren a =, b =, c = Berechnen Sie die folgenden Vektoren und
MehrAufgabenskript. Lineare Algebra
Dr Udo Hagenbach FH Gießen-Friedberg Sommersemester Aufgabenskript zur Vorlesung Lineare Algebra 7 Vektoren Aufgabe 7 Gegeben sind die Vektoren a =, b =, c = Berechnen Sie die folgenden Vektoren und ihre
MehrMATHEMATIK G10. (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte
(c) A( 1 1 ) geht. 1 MATHEMATIK G10 GERADEN (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte P und Q: a) P ( 5), Q(4 7) b) P (3 11), Q(3, 1) c) P (3 5), Q( 1 7) d) P ( 0), Q(0 3) e) P (3
Mehra b b 1 b 2 bzgl. einer ONB (Orthonormalbasis) heißt der a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b b 3 a 1 b 2 a 2 b 1
VIII. Vektor- und Spatprodukt ================================================================== 8.1 Das Vektorprodukt -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mehrd 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1
2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach
MehrGeometrie / Lineare Algebra. Rechenregeln. Geometrische Deutung. Vektoren
Vektoren Geometrie / Lineare Algebra Vektoren und Rechenregeln Länge, Winkel, Abstand Darstellung von Geraden und Ebenen Umformungen Abstandsbestimmungen Lage, Schnitte, Schnittwinkel Spiegelungen E-Mail:
MehrAnalytische Geometrie
Analytische Geometrie Übungsaufgaben Punkte, Vektoren, Geradengleichungen Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 04 Aufgabe : Gegeben sind die Punkte O(0/0/0), A(6/6/0), B(/9/0),
MehrBasistext Geraden und Ebenen
Basistext Geraden und Ebenen Parameterdarstellung Geraden Eine Gerade ist durch zwei Punkte P und Q, die auf der Geraden liegen, eindeutig festgelegt. Man benötigt zur Darstellung den Vektor. Dieser wird
MehrÜbungen Mathematik I, M
Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0).0.0. Berechnen Sie unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes ( x + y) 7 Lösung: Nach dem binomischen Lehrsatz ist ( x + y) 7 = 7
MehrMusterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen
Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können
Mehra, b und c aus. Linearkombination der Vektoren b) Für einen Punkt P gilt: AP = a
Aufgabe Die drei linear unabhängigen Vektoren a = OA, b = OB,c = OC spannen ein dreiseitiges Prisma auf. Dabei ist S der Schwerpunkt des Dreiecks OAB, M der Schnittpunkt der Diagonalen in der Seitenfläche
MehrAufgabenkomplex 3: Integralrechnung, Kurven im Raum
Technische Universität Chemnit. Mai Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple : Integralrechnung, Kurven im Raum Letter Abgabetermin: 6. Mai in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str.
MehrSCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2006 Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 210 Minuten
Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 210 Minuten Es sind die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlpflichtaufgabe zu lösen. Der Prüfling entscheidet sich für eine Wahlpflichtaufgabe. Die zur Bewertung
Mehr8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS / 6..-.. Aufgabe G (Matrixinversion mit Gauß-Algorithmus
MehrABITURPRÜFUNG 2010 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK
ABITURPRÜFUNG 2010 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Bearbeitungszeit: 270 Minuten Hilfsmittel: Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht graphikfähig) Tafelwerk
Mehr5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene
5 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5. Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap..) 5.: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: : x + y + 4z - 4 = g = P(6, -, )Q(, 6, 4) geometrisch:
MehrSerie 8: Online-Test
D-MAVT Lineare Algebra I HS 017 Prof Dr N Hungerbühler Serie 8: Online-Test Einsendeschluss: Freitag, der 4 November um 14:00 Uhr Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen
MehrAbitur 2013 Mathematik Geometrie V
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 1 Mathematik Geometrie V Teilaufgabe b ( BE) Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die
Mehr) (1 BE) 1 2 ln 2. und somit
1 Aufgaben aus dem Aufgabenpool 1 1.1 Analysis A1_1 Eine Funktion f ist durch 1 x f(x) e 1, x IR, gegeben. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion f. ( ) b) Die Tangente an den Graphen von f im Punkt
MehrABITURPRÜFUNG 2002 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN)
ABITURPRÜFUNG 00 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: 10 Minuten Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig) Tafelwerk Der Prüfungsteilnehmer wählt von den Aufgaben
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrPhilipp-Melanchthon-Gymnasium Bautzen Lk Mathematik Kl. 11. Schwerpunkt: Aufgaben ohne HM Abitur Sachsen
Übungen zur Analytischen Abitur 00 Die Punkte A( 0), B( 0) und C(5 0) sind Eckpunkte eines Rechtecks ABCD. Der Punkt S ist die Spitze einer geraden Pyramide mit dem Rechteck ABCD als Grundfläche und der
MehrAufgaben für die Klassenstufen 11/12
Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 mit Lösungen Einzelwettbewerb Gruppenwettbewerb Speedwettbewerb Aufgaben OE1, OE2, OE3 Aufgaben OG1, OG2, OG3, OG4 Aufgaben OS1, OS2, OS3, OS4, OS5, OS6, OS7, OS8 Aufgabe
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrAbitur Mathematik Bayern G Musterlösung. Bayern Aufgabe 1. Abitur Mathematik: Musterlösung. Geometrie II. a) ZEICHNUNG
Abitur Mathematik: Musterlösung Bayern 212 Aufgabe 1 a) ZEICHNUNG LAGE DER GRUNDFLÄCHE ABC Man kann anhand der gleichen x 1 -Koordinate 1 bei allen drei Punkten erkennen, dass die Grundfläche ABC parallel
MehrKLAUSUR. Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.:
KLAUSUR Lineare Algebra (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure/Informatiker).3. (W. Koepf) Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: Für jede Aufgabe gibt es Punkte. Zum Bestehen der Klausur
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Interpretation und Verständnis der Gleichungen Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik unter
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Mehr