10.6 Eine Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie

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1 Eine Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie Geradengleichung: Eine Gerade in der Ebene oder im Raum ist festgelegt durch a) einen Punkt + Richtung, b) zwei Punkte. Zu a) A r P 3 X a g x 0 a (Ortsvektor) und ein Richtungsvektor r sind gegeben, X ist ein beliebiger Punkt auf g. Geradendarstellung: g : x = (x(λ) =)a + λr (λ R). Das bedeutet: Durchläuft λ alle reellen Zahlen, so durchläuft x alle Punkte auf der Geraden. Ein Parameter λ eindimensionales Gebilde. Zum Punkt A gehört λ = 0, zum Punkt P gehört λ =. Zu b) A a und b sind gegeben. a + r = b r r = b a a B g : x = a + λ (b a) (λ R), b oder g : x = b + µ (b a) (µ R). g 0 Ebenengleichung: Eine Ebene ist festgelegt durch a) Punkt + Richtungen, b) 3 Punkte.

2 0 Zu a) r A 3 h X r a g 0 a (Ortsvektor) und zwei l.u. Richtungsvektoren r und r sind gegeben. E : x = (x(λ, µ) =)a+λr +µr (λ, µ R) Diese Darstellung heißt Parameterdarstellung der Ebene. Zwei Parameter (λ, µ): zweidimensionales Gebilde, falls r und r linear unabhängig sind. Die Ebene geht durch den Punkt (a, a, a 3 ) und wird durch die Vektoren r und r aufgespannt. Ist µ = 0: Gerade g, ist λ = 0: Gerade h. Zu b) B r := b a A b r := c a 3 h C g a c 0 E : x = a + λ (b a) + µ (c a) (λ, µ R) Auch hier ergibt sich eine Parameterdarstellung. Beispiel: x := x x x 3 = + λ + µ (λ, µ R). (0.3) 3

3 Sei nun eine Ebene gegeben durch E : x = a + λr + µr. Gibt es auch eine Darstellung ohne Parameter? Idee: Sei n ein Normalenvektor auf die Ebene, d.h. n r, n r. Durchmultiplizieren der Ebenengleichung mit n eliminiert die Parameter: n x = n a + λn r }{{} +µn r = n a =: d. }{{} =0 =0 Dies liefert die Gleichungsdarstellung der Ebene im R 3 : E : n x! = n a =: d, d.h. n x + n x + n 3 x 3! = d (0.33) Eine Ebene im R 3 ist auch bestimmt durch einen Punkt und einen Normalenvektor. Beispiel 0.0 Wir suchen die Gleichungsdarstellung zu der Ebene in (0.3). Dazu bestimmen wir zunächst einen Normalenvektor. Da ein Normalenvektor auf den beiden Richtungsvektoren r und r senkrecht steht, erhalten wir ihn am einfachsten durch das in Abschnitt 8.5 eingeführte Vektorprodukt: n = r r = ( ) 3 ( ) 3 (+) ( ) ( ) (+) = 5 4. Dann bestimmen wir d := n a = 5 4 = 5 4 = 7 und erhalten also als Gleichungsdarstellung der Ebene: x + 5x 4x 3 = 7. (0.34)

4 Beispiel 0. Umgekehrt kann man aus der Gleichungsdarstellung (0.34) eine Parameterdarstellung der Ebene gewinnen, und zwar, indem man die Gleichung (0.34) als inhomogenes LGS behandelt. x x x 3 s x Bei der zweiten Auswertungszeile wurde statt eingesetzt, weil es rechnerisch günstiger ist und die l.u. der beiden Lösungsvektoren r := (5,, 0) und r := (, 0, ) des homogenen LGS r n = 0 erhält. Diese Lösungsvektoren sind Richtungsvektoren der Ebene, da für sie gilt r n = 0 und r n = 0, d.h. da beide senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Der berechnete Lösungsvektor ( 3.5, 0, 0) des inhomogenen Systems x n = 7 ist schließlich der Ortsvektor eines speziellen Punktes der Ebene. Somit erhalten wir analog zur Darstellung (0.8) der Lösungsmenge eines inhomogenen LGS x = 0 + λ + µ 0 (λ, µ R) 0 0 als Parameterdarstellung der Ebene. Bemerkung 0.4 Statt über das Vektorprodukt können wir einen Normalenvektor in Beispiel 0.0 auch über die Lösung des homogenen LGS bestimmen: n r = n + n + 3n 3! = 0 n r = n n n 3! = 0

5 3 n n n n n Wir erhalten also bei der speziellen Wahl von für die frei wählbare Unbekannte n = (0.4,, 0.8). Dass dies nicht mit dem Normalenvektor übereinstimmt, den wir aus dem Vektorprodukt gewinnen, ist nicht überraschend, da das homogene LGS nicht eindeutig lösbar ist und da das Vielfache eines Normalenvektors ebenfalls ein Normalenvektor ist. Den Durchstoßpunkt einer Geraden x = a+λr durch eine Ebene x n = d im R 3 gewinnt durch Einsetzen der Geradendarstellung in die Ebenengleichung: (a + λr) n = d. Dies ist eine Bestimmungsgleichung für die Unbekannte λ. Ist diese Gleichung nicht lösbar, so sind Gerade und Ebene parallel, ist sie lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, so liegt die Gerade in der Ebene. Gibt es eine eindeutig bestimmte Lösung λ 0, so ist a+λ 0 r der Ortsvektor des Durchstoßpunktes. Beispiel 0. Wir suchen den Durchstoßpunkt der Gerade x = 5 + λ 5 durch die Ebene 4 x = + u + t. 0 Statt der Parameterdarstellung verwenden wir die in Beispiel 0.0 bereits ermittelte Darstellung der Ebene in Gleichungsform

6 4 x x + 4x 3 = (,, 4)x =! 7 Das Einsetzen der Geradendarstellung in die Ebenengleichung führt auf (,, 4) 5 + λ(,, 4) = 6 + 9λ =! 7 5 und damit auf λ = ( ). Wir erhalten also den Ortsvektor für den Durchstoßpunkt: 5 + ( ) = Es ist auch möglich, den Durstoßpunkt ohne vorherige Ermittlung der Gleichungsdarstellung der Ebene zu bestimmen, was wie im Beispiel sehen werden aber offensichtlich aufwändiger ist: Bei Verwendung der Parameterdarstellung b + ur + tr der Ebene suchen wir (einen) gemeinsame(n) Punkt(e) von Gerade und Ebene, indem wir das LGS b + ur + tr = a + λr nach den Unbekannten s, t, λ auflösen. Ist dieses LGS nicht lösbar, so sind Gerade und Ebene parallel, ist es lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, so liegt die Gerade in der Ebene. Gibt es eine eindeutig bestimmte Lösung (u 0, t 0, λ 0 ), so ist a+λ 0 r der Ortsvektor des Durchstoßpunktes. Beispiel 0.3 Wir verwenden das zweite Verfahren zur zur Bestimmung des Durchstoßpunktes der Gerade durch die Ebene aus Beispiel 0.. Wir suchen also gemeinsame Punkte von Gerade und Ebene durch Gleichsetzen der rechten Seiten der beiden Gleichungen und damit durch Lösen des LGS 4 u + t λ = 5 : 0 5

7 5 u t λ s u t λ Das LGS ist eindeutig lösbar, also brauchen wir nur s := zu setzen. Da wir nur den Wert für λ brauchen, haben wir nur die letzte Kellerzeile ausgewertet und erhalten damit den Ortsvektor für den Durchstoßpunkt: 5 + ( ) = Den Schnittpunkt zweier Geraden g : x = a + λr und g : x = a + µr gewinnt man über die Lösung des LGS a + λr = a + µr mit den Unbekannten λ und µ. Ist dieses LGS nicht lösbar, so schneiden sich die beiden Geraden nicht. Ist es lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, so fallen beide Geraden zusammen. Der Winkel zwischen den Geraden g und g, wenn sie sich schneiden, ist bestimmt durch: cosα = r r r r, α! [0, π/]. Beispiel 0.4 Wir betrachten die beiden Geraden g : x = 5 + λ 5

8 6 und 0 h : x = 5 + µ 3 0 Gemeinsame Punkte finden wir durch Gleichsetzen der rechten Seiten der Parameterdarstellungen der Geraden und damit durch das Lösen des LGS 0 λ µ = 5 5 : λ µ s µ λ Das LGS ist eindeutig lösbar, also brauchten wir nur s := zu setzen. Da wir nur den Wert für λ oder den Wert für µ (also nur für einen der beiden Parameter) brauchen, haben wir nur die letzte Kellerzeile ausgewertet und erhalten λ = ( ) und damit durch Einsetzen λ = ( ) in die Darstellung der ersten Gerade den Ortsvektor für den Schnittpunkt: 5 + ( ) =

9 7 Für den Winkel zwischen den beiden Geraden erhalten wir 0 cosα = = 3 = 9 0 und damit α = π/4ˆ=45 Die Schnittgerade x = a + λr zweier Ebenen E : x n = d und E : x n = d im R 3 gewinnt man über die Lösung des LGS, das von den beiden Ebenengleichungen gebildet wird, wenn man a als spezielle Lösung des inhomogenen LGS und r als Fundamentallösung des zugehörigen homogenen LGS wählt. Ist das inhomogene LGS nicht lösbar, so sind die beiden Ebenen parallel, sind zwei Unbekannte frei wählbar, so fallen beide Ebenen zusammen. Der Winkel zwischen den Ebenen E und E, wenn sie sich schneiden, ist bestimmt durch: cosβ = n n n n, β! [0, π/]. Beispiel 0.5 Wir suchen die Schnittmenge der beiden Ebenen E : 3x + 5x 4x 3 = (3, 5, 4)x =! 4 und E : x x = (,, 0)x =!. Dies führt auf ein LGS: x x x 3 s x x

10 8 Wir erhalten somit als Schnittgerade, wobei wir die frei wählbare Unbekannte x in λ umbenennen: 0 x = + λ.5 Für den Winkel zwischen den beiden Ebenen erhalten wir cosβ = = = und damit β = arccos 0. =.369ˆ=78.46 Bestimmung des Winkels β zwischen einer Ebene E mit dem Normalenvektor n und einer Gerade g mit dem Richtungsvektor r, die mindestens einen gemeinsamen Punkt mit der Ebene hat: Wir wählen als Zeichenebene die Ebene, die senkrecht zu der Ebene E ist und die Gerade g enthält: Gerade senkrecht zu E, die durch einen gemeinsamen Punkt von E und g geht g α n (z.b.) β r (z.b.) Schnittgerade von E und der Zeichenebene Man erhält also den Winkel β [0, π/] aus: sin β = cos(π/ β) = cosα = r n r n. (0.35)

11 9 Abstand eines Punktes von einer Ebene: Es sei die Ebene E und der Punkt P gegeben. Der Abstand des Punktes P von E ist definiert als die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen P und einem Punkt Q auf E. Diesen Abstand erhält man folgendermaßen: Man bildet das Lot von P auf E, d.h. die Gerade durch P mit dem Normalenvektor als Richtungsvektor. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit E ist der Lotfußpunkt Q. Der Abstand von P zu E ergibt sich als Abstand von P zu Q. g P n. Q Rechnung: Es sei die Ebene E : n x = d mit dem Normalenvektor n und der Punkt P mit dem Ortsvektor p = (p, p, p 3 ) gegeben. Lotgerade: g : x = p + λn Schnitt g und E: n (p + λn) = n p + λn n =! d λ = d n p n Lotfußpunkt: q = p + d n p n n Abstand: q p = d n p n n = d n p n n d n p =. n Beispiel 0.6 Man bestimme den Abstand des Punktes P( 7,, 6) von der Ebene E : x + y + z = 4 und die Koordinaten des Lotfußpunktes. Die vorgegebene Gleichungsdarstellung wird umgeschrieben in n x = d (wobei die Koordinaten von x oben mit x, y, z statt mit x, x, x 3 bezeichnet wurden) mit n = (,, ) und d = 4. Das

12 0 Einsetzen in die obigen Formeln ergibt den Ortsvektor des Lotfußpunktes q = = = und den Abstand = = + + = 3. Bemerkung: a) Der Abstand kann nach den obigen Formeln auch unabhängig vom Lotfußpunkt berechnet werden: Abstand = = = 3 3 = 3. b) Den Lotfußpunkt erhält man auch durch Einsetzen der Parameterdarstellung des Lotes x = λ in die Ebenengleichung x = 4, wodurch man den Durchstoßpunkt des Lotes durch die Ebene erhält: λ = λ = + λ 3! = 4 λ =.

13 Damit erhält man als Ortsvektor des Lotfußpunktes: 7 6 q = + (+) = Der Abstand zweier Geraden g : x = a + λr und g : x = a + µr im R 3, wobei r und r l.u. sind, ist gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes von g, z.b. a, von der Ebene E, die die Gerade g enthält und zu der Geraden g parallel ist. Das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren, also r r, steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren und damit auf beiden Geraden und damit auf der Ebene E. r r ist also ein Normalenvektor von E. Da jeder Punkt der Geraden g, also insbesondere der Punkt a, zu E gehört, erhalten wir als Gleichungsdarstellung von E (vergl. (0.33)): x [r r ]! = a [r r ]. Der Abstand zwischen den beiden Geraden ist nun der Abstand von (z.b.) a und der Ebene E, also: (r r ) a (r r ) a r r = (r r ) (a a ) r r (0.36) Die obige Formel ist offensichtlich nicht anwendbar, wenn r und r l.a. sind; denn dann ist der Nenner r r = 0. Wir brauchen also eine anderen Zugang, und zwar betrachten wir das Parallelogramm, dass von r und (a a ) aufgespannt wird:

14 g a a a a r g Der gesuchte Abstand ist offensichtlich die Höhe h des Parallelogramms. Wir vergleichen nun zwei Berechungsarten des Flächeninhalts des Parallelogramms: Der Flächeninhalt ist einerseits r h und anderseits (s. S. 30) r (a a ). Aus r h =! r (a a ) gewinnen wir schließlich die Formel für den gesuchten Abstand: h = r (a a ) r (0.37) 0.7 Rang, allgemeine Eigenschaften von LGS Definition 0.8 Von den Vektoren a,...,a k (gleicher Koordinatenzahl) seien maximal r l.u. (0 r k). Dann bezeichnet man r als den Rang des Vektorsystems {a,...,a k }. Schreibweise: rg {a,...,a k } Rangbestimmung mit dem AT Verfahren: Ausgangspunkt ist die Darstellung x a + x a x k a k = 0 (0.38)

15 3 des Nullvektors, die als homogenes LGS mit x = (x,...,x k ) als Lösungsvektor aufzufassen ist; denn für die Matrix A := (a,...,a k ) gilt: x x Ax = (a,a,...,a k ). x k = x a + x a x k a k! = 0 (0.39) Dieses homogene LGS ist mit Hilfe des AT Verfahrens zu lösen. Werden alle x j ausgetauscht, so folgt x = x =... = x k = 0, und damit sind die Vektoren a,...,a k l.u. (vergl. Definition 8.). Werden nicht alle x j ausgetauscht, so gibt es auch nicht triviale Darstellungen des Nullvektors. Sei z.b. k = 6, und seien x, x 4, x 5 nicht ausgetauscht und damit frei wählbar. Dann erhält man folgendes:.) a,a 3,a 6 sind l.u.; denn es gilt: x a + x 3 a 3 + x 6 a 6 = 0 x a + 0 a + x 3 a a a 5 + x 6 a 6 = 0. Die frei wählbaren x j sind also in diesem Fall = 0 zu setzen. Über die Kellerzeilen erhält man dann aber auch, dass für die übrigen x j gelten muss: x = x 3 = x 6 = 0..) a ist als LK von a,a 3 und a 6 eindeutig darstellbar: Setzt man für die frei wählbaren x j die Werte x = ( ), x 4 = 0, x 5 = 0 ein, so erhält man über die Kellerzeilen eindeutig bestimmte Werte für die übrigen x j, also für x, x 3, x 6. Setzt man das in die Darstellung (0.38) ein, so erhält man: x a + ( )a + x 3 a a a 5 + x 6 a 6 = 0 a = x a + x 3 a 3 + x 6 a 6. Eine entsprechende Darstellung erhält man für a 4, wenn man x = 0, x 4 = ( ), x 5 = 0 setzt, und für a 5, wenn man x = 0, x 4 = 0, x 5 = ( ) setzt. Ist die Anzahl der ausgetauschten Unbekannten wirklich die Maximalzahl der l.u. Vektoren oder erhält man bei einer anderen Wahl der Pivotelemente vielleicht eine höhere Zahl? Dies trifft nicht zu, und der Beweis dieser Behauptung ist gleichzeitig der Beweis von Regel 0.3:

16 4 Von den k Vektoren a,...,a k seien mit dem obigen Verfahren m(< k) als l.u. ermittelt worden. Nach geeigneter Umnumerierung seien das die Vektoren a,...,a m. Die übrigen Vektoren a m+,...,a k sind dann als Linearkombnationen der l.u. Vektoren darstellbar: a m+ = a m+ =. a k = m β m+,i a i, i= m β m+,i a i, i= m β k,i a i. i= Wir prüfen dann das Vektorsystem a,...,a k erneut auf lineare (Un )Abhängigkeit: x a + x a x k a k = = = = = m x i a i + i= m x i a i + i= m x i a i + i= ( m x i + i= k j=m+ ( m a i i= k j=m+ x j k x i a i i= k j=m+ k j=m+ m i= x j β j,i ) x j a j β j,i a i x j β j,i ) a i! = 0 Wegen der l.u. der Vektoren a,...,a m gilt das genau dann, wenn x i + k j=m+ x j β j,i! = 0 für alle i =,,..., m gilt. Dies ist ein LGS mit m Gleichungen und den k Unbekannten x, x,...x k. Da es nur m Gleichungen gibt, können höchstens m Unbekannte ausgetauscht werden. Somit sind höchstens m von den Vektoren a,...,a k l.u., und damit ist m die Maximalzahl der l.u. Vektoren, also der Rang r des Vektorsystems, und es gilt:

17 5 Regel 0.0 Der Rang des Vektorsystems {a,...,a k } ist gleich der Zahl der Austauschschritte bei der Lösung des homogenen LGS x a + x a x k a k = 0. Beispiel 0.7 Es soll der Rang des Vektorsystems {( ) ( ) ( ) ( )} 5 3,,, 4 bestimmt werden, der, wie unten begründet wird, gleichzeitig der Rang der Matrix (( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ,,, = 4 4 ist. Diese Rangbestimmung ist am einfachsten über das Lösungsverfahren für das zugehörige homogene LGS durchzuführen: x x x 3 x x x Die erste Auswertungszeile ist in diesem Beispiel zur Erläuterung der Schlussfolgerung nach Regel 0.0 eingefügt worden. Wir lassen sie später weg. Aus der ersten Auswertungszeile ergibt sich, dass a und a 4 l.u. sind: ( } ) 0 =! x a + x 4 a 4 = 0 a + x a + 0 a 3 + x 4 a 4 ( nach der. Auswertungszeile) x = x 4 = 0 x = x 3 = 0 a,a 4 sind l.u.

18 6 Die beiden letzten Auswertungszeilen im Tableau sind überflüssig, wenn es nur um den Rang geht: Der Rang ist gleich der Anzahl ausgetauschten Unbekannten, also hier =. Will man aber zusätzlich die Darstellung von einzelnen Vektoren durch die l.u. haben, so brauchen wir die Auswertungszeilen: Wir setzen eine der frei wählbaren Unbekannten = ( ) (statt = ) und die übrigen = 0. Dann erhalten wir ( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 ( ) = 0, 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) = 0 4 und damit ( ) ( ) =, 4 ( ) ( ) ( ) 3 5 = + ( ). Fasst man die Spalten einer (m, n) Matrix als m Spaltenvektoren und die Zeilen als n Zeilenvektoren oder transponierte n Spaltenvektoren auf, so kann man auf folgende Weise den Rangbegriff auf Matrizen übertragen: Der Spaltenrang einer Matrix ist der Rang des Vektorsystems aus den Spalten der Matrix. Der Zeilenrang einer Matrix ist der Rang des Vektorsystems aus den transponierten Zeilen der Matrix. Regel 0. a) Bei jeder Matrix gilt: Zeilenrang = Spaltenrang. Diese Zahl wird deshalb einfach als Rang der Matrix bezeichnet. Schreibweise: rg A. b) Führt man das AT Verfahren für das homogene LGS A x = 0 durch, so erhält man: rga = Anzahl der ausgetauschten x j. c) rga = rg A. d) rga Zeilenanzahl, Spaltenanzahl. Beweis Die Bestimmung des Spaltenrangs einer (n, m) Matrix geschieht nach dem oben beschriebenen Verfahren. Dabei kann man bei einer (n, m) Matrix A für die a j die Spalten der

19 7 Matrix einsetzen. Andererseits ist dann (0.38) eine Darstellung des homogenen LGS Ax = 0. Der Spaltenrang von A ist damit gleich der Anzahl der ausgetauschten x j. Da nun die Zeilen von A gerade die transponierten Spalten von A sind gilt: Zeilenrang von A = Spaltenrang von A. Wir brauchen daher das obige Verfahren nur auf A anzuwenden. Wir führen also das AT Verfahren für das homogene LGS A z = 0 mit dem Lösungsvektor z als m Spaltenvektor durch. Dieses AT Verfahren kann man parallel zum AT Verfahren für Ax = 0 durchführen. Wählt man bei Ax = 0 in dem Ausgangstableau a ij als Pivotelement, so wählt man bei A z = 0 in dem Ausgangstableau (A ) j,i (= a ij ) als Pivotelement. Die Rollen von Pivotzeile und Pivotspalte werden dabei vertauscht, was aber für die Zahlenwerte der umgerechneten übrigen Elemente ohne Bedeutung ist. Die Matrix aus diesen umgerechneten übrigen Elementen, die ja allein für die Fortsetzung des Verfahrens von Bedeutung ist, ist bei A z = 0 genau die Transponierte der entsprechenden Matrix bei Ax = 0. Dasselbe gilt für alle weiteren Schritte des AT Verfahrens. Damit ist die Anzahl der ausgetauschten Koordinaten von z gleich der Anzahl der ausgetauschten Koordinaten von x. Folglich ist der Spaltenrang von A, also der Zeilenrang von A, gleich dem Spaltenrang von A. Damit sind a), b) und c) bewiesen. Beispiel 0.8 Es soll der Rang der Matrix ( bestimmt werden. Wie in Beispiel 0.7 schon erwähnt, ist die gleichbedeutend mit der Bestimmung des Ranges des Vektorsystems {( ) ( ) ( ) ( )} 5 3,,, 4 )

20 8 in Beispiel 0.7: x x x 3 x x x 0 Wir sammeln nun allgemeine Eigenschaften von LGS: Regel 0. a) Für jedes homogene LGS Ax = 0 mit einer (m, n) Koeffizientenmatrix A gilt: Die Zahl der Fundamentallösungen ist gleich (n rg A). Insbesondere gilt: Das homogene LGS besitzt nur die triviale Lösung x = 0 rga = n. b) Ein LGS mit allgemeiner Koeffizientenmatrix ist im Falle der Lösbarkeit genau dann auch eindeutig lösbar, wenn rg A = Spaltenzahl von A ist. c) Für einer (n, n) Koeffizientenmatrix A und einem n Spaltenvektor b sind folgende Aussagen äquivalent: i) Bei dem AT Verfahren bleibt kein Resttableau übrig. ii) Das LGS A x = b ist eindeutig lösbar. iii) Das homogene LGS Ax = 0 besitzt nur die triviale Lösung x = 0. iv) rga = n. v) det A 0. vi) A ist invertierbar. Beweis a) Die Zahl der ausgetauschten Unbekannten ist gleich der der Rang von A und die Zahl der nicht ausgetauschten Unbekannten ist gleich der Maximalzahl der Fundamentallösungen und die Summe der beiden Zahlen ist die Gesamtzahl der Unbekannten, also gleich der Zahl n der Spalten von A.

21 9 b) Wenn ein LGS lösbar ist, also ein eventuelles Resttableau keinen Widerspruch liefert, so ist die Lösung auch eindeutig bestimmt, wenn alle Unbekannten ausgetauscht sind. Dies ist trifft zu, wenn der Rang von A, d.h. die Zahl der ausgetauschten Unbekannten, gleich der Zahl der Unbekannten überhaupt, also gleich der Spaltenzahl von A ist. c) Wir beweisen die Aquivalenz von i) bis iii) über den Ringschluss, d.h. wir beweisen: i) ii) iii) i). i) ii) : Wenn bei dem AT Verfahren kein Resttableau übrig bleibt, ist die Zahl der AT-Schritte = n, also werden alle n Unbekannten ausgetauscht. Damit ist das LGS Ax = b eindeutig lösbar. ii) iii) : Sei x 0 eine Lösung des homogenes LGS und x die nach ii) eindeutig bestimmte Lösung des LGS Ax = b. Dann gilt b = A x = A x + 0 = A x + Ax 0 = A ( x + x 0 ). Damit ist aber, da das LGS Ax = b eindeutig lösbar ist, ( x + x 0 ) = x, d.h. x 0 = 0. iii) i): Wenn das homogene LGS Ax = 0 nur die triviale Lösung x = 0 besitzt, müssen alle Unbekannten ausgetauscht sein, denn sonst könnten die frei wählbaren etwa := gesetzt werden. Da die Zahl der Unbekannten gleich der Zeilenzahl und gleich der Spaltenzahl ist, bleibt somit kein Resttableau übrig. iii) iv) ist bereits in a) bewiesen. i) v) : Wenn bei dem AT Verfahren bleibt kein Resttableau übrig bleibt, ist die Determinante das positive oder negative Produkt der ausgewählten Pivotelemente und damit 0. v) i) : Wenn bei dem AT Verfahren bleibt ein Resttableau übrig bleibt, enthält die Determinante von A als Faktor die Determinate der Matrix im Resttableau, also die Determinate der Nullmatrix und ist damit = 0. i) vi) : Wenn bei dem AT Verfahren kein Resttableau übrig bleibt, ist die Zahl der AT-Schritte = n, also werden alle n Unbekannten ausgetauscht. Das in Abschnitt 0.4 beschriebene Verfahren

22 30 liefert also eine inverse Matrix. vi) v) : Wenn es eine inverse Matrix A gibt, so gilt nach dem Determinatenmultiplikationssatz 0.8 = det I = det(a A ) = det A det A, und damit muss det A 0 sein. Regel 0.6 ist die Teilaussage i) vi). Den schon benutzten Zusammenhang zwischen den Lösungmengen von homogenen und inhomogenen LGS formulieren wir in der folgenden Regel noch einmal allgemein: Regel 0.3 Das inhomogene LGS Ax = b sei lösbar, und x sei irgendeine Lösung. Dann ist jede Lösung x des inhomogenen LGS darstellbar durch: x = x + x h, (0.40) wobei x h eine Lösung des zugehörigen homogenen LGS Ax = 0 ist. Kurzform: allgemeine Lsg. des inhom. LGS = spezielle Lsg. des inhom. LGS + allg. Lsg. des hom. LGS. Beweis A( x + x h ) = A x + Ax h = b + 0 = b x + x h ist Lösung des inhomogenen LGS. Sei umgekehrt x eine beliebige Lösung des inhomogenen LGS. Dann gilt: A(x x) = Ax A x = b b = 0. Also ist x x =: x h eine Lösung des homogenen LGS Ax h = 0, und damit ist x = x + (x x) von der Form (0.40).