Mathe GK, Henß Klausur No. IV Thema: Geraden und Ebenen

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Sophia Ziegler
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1 Matheklausur No. IV Geraden und benen Geradengleichung Um eine Gerade zeichnen zu können, braucht man mindestens Punkte (Ortsvektoren), durch die die Gerade geht. Zur Bestimmung aller anderen Punkte auf der Geraden: Geradengleichung in Parameterdarstellung: g : x a λ r Hierbei ist a ein Stützvektor und r ein Richtungsvektor von g. Geradengleichung aufstellen Punkte A ( 3/ /) und B ( 4 / 3/ 5). 3 b a 4 3 a (unverändert) und r AB b a 3 ( ) 5 b a3 3 g : x λ 5 6 Andere Geradengleichungen angeben. Möglichkeit, andere Geradengleichungen zu finden: r vervielfachen. Möglichkeit: Für λ eine beliebige Zahl einsetzen, x ausrechnen und den Wert für a einsetzen. Geradenpunkte bestimmen Gebe drei Punkte auf der Geraden : x μ 3 3 g an. Lösung: Setzt man in die gegebene Gleichung für μ nacheinander z.b. die Werte 0, und - ein, so erhält man die Vektoren 3 x 0, x 4 5 und liegen auf der Geraden g. Parameterdarstellung bestimmen 3 x. Das heißt, die Punkte X 0 ( // 3), X (/ 4 / 5) und X (3/ /) Gib eine Parameterdarstellung für die Gerade g durch A( / / 5) und B( 4 / 6 / ) an. Lösung: Da A auf g liegt, ist der Vektor a 5 ein möglicher Stützvektor von g. Da A und B auf g liegen, ist der Vektor Somit erhält man: 3 g : x 5 μ AB ein möglicher Richtungsvektor (s könnte z.b. auch b 6 als Stützvektor und BA 8 als Richtungsvektor gewählt werden. 7 Seite / 5

2 Punktprobe Prüfe, ob der Punkt A ( 7 / 5 / 8) auf der Geraden Lösung: 3 5 g : x μ liegt. 3 A für x einsetzen. Wenn A auf g liegt, dann muss es eine reelle Zahl geben, die die Gleichung 3 5 μ erfüllt. Aus 3 μ 5 7 folgt μ und es gilt sowohl ( ) ( ) 5 als auch ( ) ( 3) 8. A liegt somit auf g. Feststellung der gegenseitigen Lage zweier Geraden Geraden g und h g h g II h g und h haben einen Schnittpunkt g und h sind windschief g : x a λ r h : x b μ r 7 g : x λ 3 4 h : x 6 μ Bedingung: Der Richtungsvektor muss ein Vielfaches des anderen Richtungsvektors sein. r x r Bedingung: Der Stützvektor der einen Geraden muss ein Punkt der anderen Geraden sein. a bzw. b für x einsetzen Die beiden Geradengleichungen gleichsetzen g h Gleichungssystem mit 3 Gleichungen: Mit zwei Gleichungen λ und μ berechnen. x 3 x x Die Geraden sind nicht parallel μ μ 4 μ μ 4 3 g und h sind auch nicht identisch. - Klar, wenn sie nicht parallel sind λ 3 6 μ Gleichungssystem: Seite / 5

3 Werte zur Kontrolle in die dritte Gleichung einsetzen. Bedingung: Gleichungssystem muss lösbar sein. Schnittpunkt berechnen In eine der beiden Gleichungen λ bzw. μ einsetzen. x ist der Schnittpunkt. windschief? Bedingung: Die beiden Geraden sind nicht parallel und haben auch keinen Schnittpunkt. 7 λ 3λ λ 4 6 μ μ μ LGS hat die Lösung λ und μ schneiden sich g und h. Schnittpunkt: 7 x 3 5 x 5 g und h schneiden sich somit im Punkt S. ( 5 / 5 /) In diesem Fall nicht.. Also Parameterdarstellung einer bene / benengleichung : x a λ t μ u Unterschied: Um eine benengleichung aufstellen zu können, brauche ich entweder zwei Richtungsvektoren t und u und einen Stützvektor a oder 3 Punkte (sofern sie nicht auf einer Geraden liegen). Das bedeutet: Setzt man in x a t u eines Punktes der bene. λ μ für λ und μ irgendwelche Zahlen ein, bekommt man stets den Ortsvektor Umgekehrt lassen sich zu jedem Punkt X der bene Zahlen λ und μ so finden, dass a λ t μ u der Ortsvektor von X ist. Punktprobe Liegen die Punkte A und B in der bene? Lösung: A bzw. B für x einsetzen benengleichung aus Geradengleichungen aufstellen - für a : einen der beiden Stützvektoren oder den Schnittpunkt - für t : Richtungsvektor der. Gleichung - für u : Richtungsvektor der. Gleichung benengleichung aus einer Geradengleichung und einem Punkt aufstellen x λ 0 und P ( 5/ /) 3 3 Lösung: Der Anfang bleibt. Als zweiter Richtungsvektor für die benengleichung wird der Vektor AP gewählt. LGS lineares Gleichungssystem Seite 3 / 5

4 : x λ 0 μ benengleichung aus 3 Punkten aufstellen A ( / 0 /), (/ / 3) C 4 / Lösung: x a λ AB μ AC 6 : x 0 λ μ 5 B, ( 5/ ) Feststellung der gegenseitigen Lage zweier benen benen und und haben eine Schnittgerade und sind identisch und sind echt parallel II : x a λ t μ u : x b η t υ u Bedingung: Jeder Richtungsvektor der einen bene muss sich als Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der anderen bene darstellen lassen. Bedingung: Der Stützvektor der einen bene muss ein Punkt der anderen bene sein. a bzw. b für x einsetzen Schnittgerade berechnen Die beiden benengleichungen gleichsetzen Gleichungssystem mit 3 Gleichungen: Die ersten beiden Gleichungen nach λ und μ auflösen und in die dritte Gleichung einsetzen. Dann nach η oder υ umstellen. Schnittgerade angeben Seite 4 / 5

5 In eine der beiden Gleichungen η oder υ einsetzen. x ist der Schnittpunkt. Feststellung der gegenseitigen Lage einer Gerade und einer benen Gerade g und bene Liegt g in? g und haben einen Schnittpunkt g liegt in g g und sind echt parallel g II g : x a λ r : x b η t υ u Richtungsvektor der Geradengleichung mit der benengleichung ohne Stützvektor gleichsetzen Gleichungssystem aufstellen und lösen r η t υ u Bedingung: Gleichungssystem lösbar Liegt Gerade in der bene? in Punkt der Gerade in die bene einsetzen: Stützvektor aus Geradengleichung für x in benengleichung einsetzen. Gleichungssystem aufstellen und lösen. r b η t υ u lösbar Die Gerade liegt in der bene. nicht lösbar Gerade und bene sind echt parallel. Geraden- und benengleichung gleichsetzen. g Gleichungssystem aufstellen und nach λ, μ und υ auflösen. Zur Probe in eine Gleichung des Gleichungssystems einsetzen. inen Wert in Ursprungsgleichung einsetzen (z. B. λ in g ) Schnittpunkt (wenn vorhanden) angeben inen der Werte in Geradengleichung einsetzen. x ist der Schnittpunkt. Seite 5 / 5

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