I.1 Geraden. 168/1 jeweils R. 168/2 rot. 168/3 a) B, H b) keiner c) A, C, F. 168/4 a) f b) w c) f d) w e) f. 168/5 z. B.!

Transkript

1 68/ jeweils R 4 4 a) : = + 68/ rot I. Geraden b) : = + 4 c) : = + 68/ a) B, H b) keiner c) A, C, F 68/4 a) f b) w c) f d) w e) f 68/5 z. B.! jeweils R a) : = + c) : = + e) : = + 68/6 Höhen jeweils über dem Wasser a) Türme: 65 m; Fußgängerstege: 4 m; Straße: 9 m Breite der Straße (und damit auch Abstand der Fußgängerstege voneinander): 8 m Abstand der Türme voneinander: 6 m b) z. B.: Ursprung im Schnittpunkt der Straße mit eines der beiden Türme, Straße von dort aus in x- Richtung, Turm in x-richtung Wenn man die Türme und Fußgängerstege als Geraden betrachtet, dann haben sie keine Schnittpunkte. Damit ist auch (c) nicht lösbar /7 a) = + 8 mit R b) nein c) Meter /8 a) keine Lösung b) m = 68/9 a) m = b) keine Lösung 87/ a) = b) = c) keine Lösung d) keine Lösung 87/ a) gelb b) grün 87/4 a) Strecke von A( ) (eingeschlossen) bis B(8 5 6) (ausgeschlossen) 5 b) unendlich viele Punkte auf g, die jeweils um den Vektor voneinander entfernt sind 7 c) diejenige Halbgerade durch C(8 9 ) (eingeschlossen), die nicht durch A verläuft d) Punkte A, B, C, D( 6 5) e) diejenige Halbgerade durch E( 9) (eingeschlossen), die durch A verläuft f) Punkt A g) ganz g außer die Punkte A und F(8 8) h) ganz g außer die Strecke (A und F eingeschlossen) 87/ a) = 5 d) = 5 b) = e) = c) = f) =

2 88/ a) = b) = 6 c) keine Lösung d) = 6 9/ a) unklar, was mit,,kurs'' gemeint ist... Richtungsvektor? Geradengleichung?,5 6,5 : = 7, +,8 mit R 9 b) nein 98/6 : = +, h: = + mit, R 4 5/4 a) = 6 + altes Buch (winklers-verlag): 9/ a) z. B. (; 4), (; 8), (4; ), (,5; 6), (,5; ), (,5; ), (4,5; ), (; ), (5; 4),... Übungsblatt: ) a) ; ;,5; 4;,5; b) ; ; ; ; ; ) a) [;,5], [,5;,5], [ ; ], [,5;,5] b) [ ; [, ] ;,5 ]; [,5; [ 7/ P: nein; Q: ja; R: ja I. Die Parameterform der Ebenengleichung 7/ jeweils, R 7 a) : = b) : = c) keine Ebene 7/ wohl besser erst bei Lagebeziehungen!,,, R 7 6 a) : = ; : =,5 + 6,5 + 4,5 5 6,5 4,5 4,5 7/4 ja b) ja 7/5 a) : = + + mit, R b) Koordinaten von M einsetzen ==>... t = ; s = Koordinaten von B bzw. C einsetzen ==>... keine Lösung 75/6 a) Die Würfeloberfläche ist nur ein endlicher Teil der unendlich großen Ebene. ==> P kann in der Ebene liegen, aber trotzdem nicht auf der Würfeloberfläche. b) Man nehme eine der Würfelecken als Aufpunkt und die beiden Kanten von dort aus, welche die gewünschte Oberfläche begrenzen, als Richtungsvektoren. Dann prüfe man wie üblich, ob der Punkt in der Ebene liegt (in Ebenengleichung einsetzen, und berechnen). Wenn dann sowohl als auch gilt, liegt der Punkt auf der Würfeloberfläche / e) : = mit, R 7

3 87/5 jeweils, R 6 : = : = : = : = /6 Man könnte z. B. einfach = = = wählen, oder nur =, oder nur = (Rest beliebig), oder beliebige kollineare Vektoren,. 88/ = 89/6 a) ( ), (8 ), (8 ), ( ), ( ), (8 ), (8 ), ( ), (4 8), (4 9 8) b) = c) = + + mit, R /6 : = + + mit, R 7 4 Übungsblatt: ) (; ), (,5; ), ( 7 6 ; ), (,5; ), (,5; ), ( ; ) ) A(,5 ), B( ), C(,5 ), D( 7,5 ) ) a) E: = + + mit, R b) Bg ==> unendlich viele Möglichkeiten 5 5 4) a) = + + b) = + + c) = ) a) Gerade durch den Punkt mit Ortsvektor + und Richtungsvektor b) Halbgerade vom Punkt mit Ortvektor + aus und Richtungsvektor c). Quadrant der aufgespannten Ebene (wenn die Achsen in Richtung der Vektoren und gehen) d) Rechteck mit Eckpunkten, deren Ortsvektoren, +, +, + + sind e) Dreieck mit Eckpunkten, deren Ortsvektoren, +, + sind 6) a) z. B. P( 6), Q( 4 9), R( 4), S( 7), T( )... b) A: nein; B: ja ( = = ) c) z. B. =, =,5 C(,5 5); oder =, = D(6 ); oder =, = B usw. usf. d) = + in E einsetzen P ( )

4 5 7) a) ABC: = ; OABC mit =, = O liegt auf der Seite [AC] 4 4 b) ABC: = ; DABC mit =,5, =,5 D liegt außerhalb von ABC 4 5 8) a) A( 6), B(6 6 8), C(5 4 ) b) OABC: = + + 4; [;], [;] 6 P einsetzen =,6, =,8 P liegt im Innern des Parallelogramms Q einsetzen =,5, =,5 Q liegt außerhalb des Parallelogramms I. Normalen- und Koordinatenform der Ebenengleichung Normalenform: 78/ a) nein b) ja c) ja d) nein e) ja f) nein 78/6 So eine Skizze sollte eigentlich normalerweise bereits im Unterricht vorgekommen sein... P X O Für jeden beliebigen Punkt X in der Ebene liegt der Verbindungsvektor in der Ebene. Da senkrecht zur Ebene steht, ist also senkrecht zu. Also muss ( ) = gelten. 9/7 Koordinatensystem nicht eindeutig festgelegt; z.b.! a) ( 5), ( 5), ( 5), ( 5) b,e) x S x x C B D A

5 c) : = mit, R d) : 5 = e) : = + mit R 5 Koordinatenform: 75/ a) ja b) ja c) nein d) ja 75/5 a) =,65 b) = 78/ z.b.! 7 a) : 6 = 5 c) R d) R b) :,5 = 78/ a) : = b) : = 89/ = : R ; : { } 4 9/ c) : = mit, R 4 9,4 bzw. : 68,8 +, ,8 = altes Buch (winklers-verlag): / a) = ; z. B. (; ; ), (; ; ), (; ; ), (; ; ),... b) = ; z. B. (; 7; ), (; ; ), (; ; ), (4; ; ),... 9 c) = ; z. B. (; ; ), ( ; ; ), (; ; ), ( ; 5; 6),... d) = ; z. B. (; ; 5), ( ; ; ), (,5; ; ), (; ; 4),... e) = ; z. B. ( ; ; ), ( ; ; ), ( 6; ; ), (; ; 5),... f) = ; z. B. (4; ; ), (4; ; ), (4; ; 5), (4;,5;,5),... Umrechnung Parameter- in Normalenform: 78/ z.b.! c) : 5 = 5 9 e) : 6 5 = 6 8

6 d) : 7 = f) : 6 = 5/4 b) : = + + mit, R bzw. :,5 + =,5 c) = 5 Übungsblatt: 5) a) E: 4 = b) E: 5 = Umrechnung Parameter- in Koordinatenform: 75/ a) : = b) : = c) : = d) : = 75/4 a) d = ==> : + + = b) d = 6 ==> : = c) d = 48 ==> : = Übungsblatt: jeweils, R ) a) = + + ; 4x x x = 5 5 b) = ; 7x x + x = 9 4 c) = ; x x + x 9 = 6 d) = + + ; 4x + 9x x 9 = 9 7 Umrechnung Normalen-/Koordinatenform in Parameterform: 75/ z.b.! jeweils, R a) : = +,5 +, b) : = + + c) : = + + d) : = 5 + 5

7 e) : = /7 f) : = g) : = /4 a) z. B. P(6 4), Q(4 4 5), R(4 7 7) b) z.b.! jeweils, R 6 b) : = / b) Koordinatenform aus (a) ==> : = b), ==> : = c) Methode : Punkte finden sehr schwierig, danach Standard Methode : Berechnen der Koordinatenform leichter Aufwand, Umrechnen in Parameterform aufwendig, aber alles Standardrechnungen Methode : Finde ich am einfachsten. Das schwierigste ist es, passende Vektoren zu finden, mit geschicktem Probieren (in jedem Vektor eine verwenden) ist das aber meist schnell machbar. 87/8 a) siehe Homepage! (Umrechnung der Ebenengleichungs-Formen; Übersicht dazu) b) Vorteile Parameterform anschaulich; einfach aufzustellen; man kann eingeschränkte Punktmengen beschreiben Normalenform halbwegs anschaulich, Punktprobe geht recht einfach Koordinatenform praktisch alle Rechnungen damit sind einfach Nachteile praktisch alle Rechnungen damit sind aufwendig Punkte und Richtungen finden schwierig, aufstellen ist aufwendiger recht unanschaulich; Punkte und Richtungen finden ist etwas schwieriger 88/8 a) = + ==> = + wähle = (warum auch immer...) ==> = ( ) + = + 4 ==> = + 4 = + 4 viel sinnvoller wäre = ==> = +! b) aus dem Gleichungssystem =, = + 4 muss man eliminieren (alternativ: Normalenform der Geradengleichung als Zwischenschritt verwenden (klappt nur im R!); den Normalenvektor wählt man dabei durch geschicktes Probieren) c) vgl. 87/8b

8 I.4 Lagebeziehungen und Schnitt a) zwei Geraden 98/ a) Schnitt b) windschief c) identisch d) echt parallel 98/ a) =,5 b) = 98/ a) Richtungsvektoren kollinear ==> g, h identisch oder echt parallel ==> nur unendlich viele oder keinen gemeinsamen Punkt möglich b) kann zutreffen (wenn g und h identisch sind) c) Richtungsvektoren linear abhängig ==> g, h identisch oder echt parallel ==> windschief nicht möglich d) kann zutreffen (wenn sich g und h in einem Punkt schneiden) e) Richtungsvektoren nicht kollinear ==> g, h schneiden sich in einem Punkt oder sind windschief ==> nur ein oder kein gemeinsamer Punkt möglich f) trifft immer zu 98/4 z.b.! jeweils, R 6 7 b) : = + 5, h: = 7 +, d) : = + 5, h: = f) : = + 5, h: = /6 : = +, 4 g, h sind windschief 98/7 siehe Homepage! h: = + mit, R 98/8 a) ja b) B liegt auf Gerade s mit = ==> B liegt in Stollen ; A liegt auf Gerade s außerdem: und ==> kürzeste Verbindung 4/ zeigen, dass sie sich schneiden: s. Blatt! a) 4, b) 9 4/5 a) wie bekannt = ; = b) ja ( =,5); Kriterien:? (blaue Kugel muss möglichst zentral getroffen werden, das kann hier aber nicht modelliert werden, da die Kugeln anscheinend als punktförmig betrachtet werden!) c) vgl. (b): Die Kugeln werden anscheinend als punktförmig betrachtet. Deshalb kann weder berücksichtigt werden, an welchen Stellen sie getroffen werden, noch, wie sie sich drehen. Beides hat beim realen Billard großen Einfluss auf die Bewegungen der Kugeln. 4/6 ja; S = B; 89,44 ;

9 4/9 h habe den Richtungsvektor ==> cos = beliebiges Vielfaches von wählen, also mit : ( ) = = = cos 5/ z.b.! jeweils R,6 a) h: = +,8,6 b) : = +,8 (Aufpunkt nicht auf g; Richtungsvektor gleich) (Aufpunkt nicht auf g; Richtungsvektor so gewählt, dass er nicht in der Ebene liegt, die g und h enthält, z. B. senkrecht dazu) 6/ Stützvektor von g verwendet statt Richtungsvektor im Zähler fehlt der Betrag im Nenner plus statt mal beim Skalarprodukt: Vorzeichenfehler im. Summanden Betrag des zweiten Richtungsvektors falsch berechnet: = 5 (anscheinend die Koordinaten mal gerechnet statt quadriert: = 7) = geschrieben statt Aus der Rechnung ergibt sich eigentlich erst mal 5,8 ; der Zwischenschritt 8 fehlt. Rundungsfehler b) zwei Ebenen 7/ jeweils R a) : = 8, /5 4 b) : =,8, c) E und F sind echt parallel d) : = + e) E und F sind identisch 7/ a) 7. Fall b) 6. Fall; : = + mit R c) 8. Fall; ( ) 7/4 z. B.: 4 : = + 5 +, 6 4 : = mit,,, R

10 wird praktisch beliebig gewählt. hat mit den Aufpunkt und einen Richtungsvektor gemeinsam; den zweiten Richtungsvektor von muss man so wählen, dass nicht komplanar mit den beiden Richtungsvektoren von ist. 7/6 a) : = + mit R b) z. B.! jeweils, R b) : = + + (. Richtungsvektor so gewählt, dass er nicht komplanar zu 5 und ist und nicht ==> und ; alle drei haben aber die Gerade gemeinsam) 6 b) : + = ( zu durch den Aufpunkt von ) b) : = + + (jeweils einen Punkt auf E bzw. F wählen, der nicht auf s liegt, einen davon als Aufpunkt wählen, ihren Verbindungsvektor als Richtungsvektor, den Richtungsvektor von s als. Richtungsvektor ==> G ist echt parallel zu s ==> es gibt drei verschiedene Schnittgeraden, 7. Fall) 7/8 Aufpunkt und Richungsvektor von g für F verwenden; außerdem beliebigen Punkt wählen, der nicht auf E liegt, und den Verbindungsvektor von diesem Punkt zum Aufpunkt von g als. Richtungsvektor verwenden ==> z. B.: : = mit, R / rot 8/ gelb: Sind und der neue Normalenvektor nicht kollinear, so schneiden sich die beiden Ebenen. z. B. =, =, =, also : =, : = Sind und der neue Normalenvektor dagegen kollinear, so sind die beiden Ebenen identisch. 5 z. B. =, =, =, also : =, : 5 5 = grün: Liegt der neue Ortsvektor auch in der Ebene, so sind die beiden Ebenen identisch. z.b. =, =, =, =, also : = + +, : = + + mit, R 8/ 4 a) 6 57 Das LGS hat genau eine Lösung. ==> Die drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt b) Das LGS hat keine Lösung. ==> Schnittgeraden, oder (mindestens) zwei Ebenen sind echt parallel. (Offensichtlich sind aber keine der Ebenen echt parallel zueinander, also gibt es Schnittgeraden.)

11 c) 6 5 Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Es gibt eine Nullzeile. ==> Es gibt eine Schnittgerade. (Keine der Ebenen sind echt parallel oder identisch, also ist es der 6. Fall). d) 5 8 Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Es gibt eine Nullzeile. ==> Es gibt eine Schnittgerade. (Zwei der Ebenen sind identisch, also ist es der. Fall). 8/4 a) Zumutung! Stufenform führt auf die Gleichung 4 4 = und das wiederum auf die Bedingung, = ±! Vermutlich Fehler in Aufgabenstellung. b) = : identisch; sonst: Schnittgerade c) = : echt parallel; sonst: Schnittgerade 8/5 a) Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt. : = mit, R bzw. : = b) Vorsicht: In der Angabe steht s sowohl für einen Parameter als auch für die Schnittgerade! : = + mit R c) nein, da 6, 5 für keinen Wert von kollinear sind 9 8 4/,4,6 a) 5, ; : =, +,8 mit R,5,65 b) 9 ; : =,875 +,75 mit R 4/4 a) = = b) D( ), M( ) d) 54,45 ; 59,4 x S D C x A x B

12 c) Gerade und Ebene 9/9 a) : = + +, : = mit,,, R b), (= Schwerpunkte der Dreiecke!) c), 4/ a) Schnitt; ( ) b) echt parallel c) g liegt in E 4/ a) Schnitt b) g liegt in E c) echt parallel d) Schnitt 4/ a) : = ; g liegt in E b) : = ; Schnitt; ( ) c) : = ; g liegt in E 4/4 Zunächst prüft man, ob ist. Falls nein, schneidet die Gerade die Ebene. Falls ja, prüft man, ob der Aufpunkt der Gerade in der Ebene liegt. Falls nein, ist die Gerade echt parallel zur Ebene; falls ja, liegt sie in der Ebene. Beispiel: : = ; : = +, : = +, : = 5 + mit,, R = ==> und = = ==> in E ==> in E 7 5 = ==> und = ==> liegt nicht in E 5 ==> ist echt parallel zu E ==> nicht ==> schneidet E 4/7 a) f b) w c) w d) f e) f 4/8 a) den Schnittpunkt, nicht,,die''! (,5 5 5,5) b) nein c) = 4 5/9 4 a) Schnitt b) : = + mit R, : 4 + = 9 c) x, x, x aus g in E einsetzen d) unklar, was mit,,koordinaten von g'' gemeint ist... eine Zahl einer der beiden Vektoren? eine komplette Zeile?...? 4 falls zweiteres gemeint ist, wäre z. B. : = + ( R) möglich

13 5/ z.b.! jeweils, R 9 a) : = bzw. : = b) : + 9 = bzw. : = c) : = bzw. : = d) : = bzw. : = / 9 a) P als Aufpunkt; Richtungsvektoren, so wählen, dass,, linear unabhängig sind 4 9 bzw. so wählen, dass er nicht senkrecht zu ist, dann d aus P berechnen 4 Koordinatenform etwas leichter 9 b) =, nicht kollinear dazu wählen, Aufpunkt so wählen, dass er nicht auf g liegt 4 9 bzw. wählen, dann d so wählen, dass P nicht in E liegt; Koordinatenform etwas leichter 4 c) wie (b), aber Aufpunkt auf g wählen bzw. wie (b), aber d so berechnen, dass P in E liegt beide etwa gleich leicht 9 d) wie (c), aber = bzw. d = setzen; so wählen, dass P in E liegt und gilt ==> z. B = 4 ; Parameterform leichter 4 5/ a) b) II und IV x E A F B C G D x H x

14 5/ = : liegt in ; sonst: Schnitt 5/5 = : ist echt parallel zu ; sonst: Schnitt 5/6 a) gelb b) gelb 4/ a) 6,45 b),98 c) 9 4/7 a) : = mit, R 9 b),, sind komplanar 4/8 a) A( ), B( ), C( ), D( 6), E( 6), F( 6), G( 6) b) : = + + mit, R bzw. : = 6 6 : = + + mit, R bzw. : 5 = 6 5 : = mit, R bzw. : = c) 7,8 d) 8, d) 55,79 5/5 Schnitt nachweisen: siehe Blatt! a) 8,8 b), c) 8,74 d) 58,78 e),68 f), 6/7 a) = ± ( =,5; =,75 bzw. = ; =,5) b) a = und c = 8: identisch; a = und c 8: echt parallel; a und c = a+6: Schnitt; sonst: windschief c) S(; 4; ); E4: = ,5 mit m, n R d) a = : echt parallel; a = : g liegt in E; sonst: Schnitt in einem Punkt e) S(; 5; 5); 8,7 f) gs: = 4 + mit R; 7,4 g) = h) = 6/8 Als Aufpunkt von g kann man einen beliebigen Punkt aus E wählen, z. B. ( ). Beim Richtungsvektor muss gelten: sin 45 = = =. Man könnte versuchen, mit der 5 Länge zu wählen; dann hat man noch die Gleichung 6 = zu erfüllen. Das hat zwar unendlich viele Lösungen, ist aber trotzdem nur sehr schwierig lösbar. Alternativ kann man auch so vorgehen: Man sucht sich zunächst einen Vektor, der dieselbe Länge wie 5 hat, also 7, und in E liegt. Man hat also die Gleichungen 6 = und = 7 zu erfüllen.

15 Auch dies hat unendlich viele Lösungen. Wählt man z. B. v =, so erhält man = 4. Setzt 4 5 man nun = + = 6 + 4, so schließt mit und jeweils einen Winkel von 45 ein 4 (gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck!). Also kann man dieses als Richtungsvektor der Gerade verwenden. 7/5 b) grün 7/6 alle R, alle Längen bzw. Koordinaten in m Beschreibung etwas unklar: Läuft man vom Straßenknick aus Richtung Hütte weiter nach Osten? Wenn ja, dann: a) b) Weg : = + ; Straße : = + Straße : = + ; Weg rauf: = Weg oben parallel: = Weg runter: = Weg nach Baum: = Wiese: = ; Oberfläche des Berges: = Lagebeziehungen zueinander: viel Spaß! 7/7 keine allgemeine Lösung angebbar; machen Sie mal! d) Gerade im KS 86/ a) (4 ) =, ( 6 ) b) (,75 ), (,5 ), c), (6 7), (,,4) d) ( 4 9 ), ( ), ( 4) e) (6 4 ), ( 8) = 86/ z. B.! jeweils R a) : = + 9 b) : = + c) : = + d) : = + 4

16 86/ a) g liegt in der x-x-ebene x S S x x b) g liegt in der x-x-ebene und verläuft durch den Ursprung x x x

17 c) g ist die x-achse x x x d) g liegt echt parallel zur x-achse x x x 86/4 gelb

18 87/ jeweils R 4 5 a) : = : = : = + : = : = : = b) keine zwei Richtungsvektoren sind kollinear c) (,5 4,5 ), ( 9), (, 4,6) 98/5 grün 4/5 a) ( 4) b) (,5,75 ), ( 5,5), c) blau: g; rot: h x S S x x S S d) ja ( und sind kollinear) 6/ a) S = O b) : = + ; : = + mit, R c) =

19 d) g: rot; h: blau; Winkelhalbierende: grün x x x e) Ebene im KS 7/ jeweils,, R 4,75,5,5 a) : =,5 +,5, : = +, : = ,5 7 9 b) : = + 4, : = +, : = c) : = +, : = + ; existiert nicht 4 7/5 jeweils,,,, R 4 7 a) : = : = +, : = +, : =,5 + 5,5 : = : = + 5, : = +, : = + 4,75,5 : = + + : = +, : = +, : = +

20 b) : + + = ==>, ( ), (,5 ), : = +,5, : = +, : =,5 +,5 : + + = ==>,, (,6 ), ( ), (,75),6,6 : = +, : = +, : = +,75,75,75 : + = ==> ( ),, ( ) + : = +, 8/ : = +, + : = +, : = + x S S x x S

21 8/ a) (,5 ), (,75); E liegt echt parallel zur x-achse x S x S x b) = = = ; E enthält den Ursprung; Hilfsebene: +,5 = x S x S x S

22 c) ; E liegt echt parallel zur x-x-ebene x S x x d) ( ), ( ); E liegt echt parallel zur x-achse x S S x x 8/ a) grün b= rot

23 87/7 z.b.! a) : = b) : = c) : = d) : = e) : = f) : = (enthält x-achse!) 87/9 : 88/ a) : b) : + +, +, + = ==> ( ), (,5 ), ( ) + +, = ==>, (,6 ), = ==> (,5 ), ( ), c) : + + = ==>,, ( 6,4 ), ( ) d) : + + = ==> ( ), ( 4 ), 88/4 ( 5 ), (4 ), ( 6) ==> : 88/5 a) : b) : + +, + +, = (==> E: = ) = (==> E: = ) 88/6 E ist die x-x-ebene a) keine Änderung b) echt parallel zur x-x-ebene c) keine Änderung d) enthält die x-achse (und ist winkelhalbierende Ebene) + + = (==> E: = ) 88/7 a) f b) f c) w d) f e) w 89/9 a) x-achse; = + b) x-x-ebene; = c) Ebene echt parallel zur x-x-ebene im Abstand 5; = + +

24 89/ z.b.! a) : + = d) : = b) : = e) : + + = c) : + = f) : + = 89/ = : echt parallel zur x-x-ebene = : enthält die x-achse = : echt parallel zur x-achse 89/ bzw. ( bzw. ist jeweils, oder ) bezeichnet im Folgenden die Vektoren der Standardbasis, die Ebene hat die Gleichung : = + +.,, komplanar, aber,, nicht komplanar für alle und,, nicht komplanar: E ist echt parallel zur xi-achse,, und,, jeweils komplanar, aber,, nicht komplanar für alle : E enthält die xi-achse,, und,, komplanar ( ), aber,, nicht komplanar: E ist echt parallel zur xi-xj-ebene,, und,, ( ) und,, jeweils komplanar: E ist die xi-xj-ebene,, komplanar: E enthält den Ursprung 89/4 a) echt parallel zur x-x-ebene x S x x

25 b) enthält die x-achse; Hilfsebene: + = x S S x x c) echt parallel zur x-achse x S x S x

26 d) enthält den Ursprung; Hilfsebene: = x S x S x S e) keine besondere Lage im KS x S S S x x

27 f) ist die x-x-ebene x S x x g) echt parallel zur x-x-ebene x S x x

28 h) echt parallel zur x-achse x S x S x 89/5 jeweils, R 8 5 a) : = b) : = + + c) : = + + d) keine Ebene (g liegt in E ==> Ursprung liegt in E ==> E kann nicht echt parallel zur x-x-ebene sein) e) keine Ebene (Richtungsvektor von g und Verbindungsvektoren vom Aufpunkt von g zu P bzw. zu Q sind nicht komplanar) 9/8 a) + = b) echt parallel zur x-achse 9/ Mit Mathematik hat die Aufgabe nichts zu tun, das ist eher Informatik... Es handelt sich hier um den OpenGL-Standard. Zu zeichnen sind Geraden (Koordinatenachsen), die Spurpunkte (,5 ),, (,5) und das Dreieck, das diese drei Eckpunkte hat. Viel Spaß. 7/7 a) f b) w c) f d) w e) f

29 9 8/9 a) : = mit, R bzw. : = 9 b) g: rot, h: grün x 4 8 x x c) Die Richtungsvektoren der Geraden sind kollinear. d) : = + + mit, R 4 e) ja 8/ Koordinatensystem nicht eindeutig vorgegeben ==> alle Ergebnisse nur z.b.! a) wähle Punkte A( ), B(6 ), C(6 6 ), D( 6 ), E( ), F(6 ), G(6 6 ), H( 6 ), S( 6) x x x

30 b) : = + +, : = + + mit,,, R 4 4 = : = + mit R c) S 4 6/9 a) : = b) =,6 c) windschief 8/ a) =, aber = ; F =, 4 64,6; V = VQuader =,8 4 b) E ist echt parallel zu x-achse; z.b.: : = + + mit, R; c) 6,87 ; 6,87 ; 6,6 d) R(4 7); R(4 8 7) 4 : siehe Angabe I.5 Lote und Abstände a) zu einer Ebene 4/4 a) (,5 4,5,5) b) c) = 4/5 a),5 b),8 c) 4,8 4/6 Parallelität nachweisen: wie bekannt a) b) 7 4/7 Parallelität nachweisen: wie bekannt a),74 b),86 5/ a) + + 5/ a) liegt darin; (; ) = b) echt parallel; (; ) 6,6 c) schneidet in einem Punkt; 8, = b),56 c) 46,7 5/4 zeigen, dass echt parallel: wie bekannt... (; ) = 5,6 5/6 a) P(6 ), Q(6 ), R( 6 ), S( 6), T(6 6), U(6 6 6), V( 6 6) 6 b) : = + + mit, R bzw. : = 6 bzw. : = 6 : = mit, R bzw. : + = 6 6 bzw. : 6 = 6 c) = = = 6 ; d) (; ) = 4 e) 68,58

31 f) : = + mit R g) (; ) =, h) = : = + mit R 6/ 4,5 7 a) : 4 = b) = : = + mit R c) (; ) = /8 a) M(,8,8 ) b) Pk( 5,8+k) mit k < 7/9 a) C( 5 5 ); D(5 5 ) b) : = + + mit, R bzw. : + + = c) S 4,5 4,5 4,; = 9,75 7,5 d) : = 7,5 + mit R; L(,5,5 54,5); = 59,44 5 altes Buch (winklers-verlag): 5/4 b) l: = 5 + mit R 6/ 8 8/9 8 8/9 a) 7/9 = ; 9/9 = 4 4/9 4 4/9 b) 4,8,9 = ; 4,8,9 = / / c) 4/ = ; 4/ = 4/ 4/ 6/4 a) P( ; 7; ); Q(; ; ) b) P(5; ; ); Q( 7; ; 6) c) P( 9; ; 6); Q(9; ; ) b) zu einer Gerade 4/ a) (,5,5) b) (6,5,5) c) (6 5) 4/ a),5 b) c) 4 4/8 c),9 4/9 a) w (nachrechnen!) b) f (es gibt unendlich viele) c) w (nachrechnen!)

32 d) w (g, h legen eine Ebene fest; es gibt genau zwei Ebenen, die zu dieser Ebene echt parallel im Abstand 4 LE liegen) e) f (nachrechnen! (; ) = 4 ) 4/ in... keine Lösung; = 4,6 6/ a) Kugel(schale) um P mit Radius b) (unendlich langer) Zylindermandel um g mit Radius 5 c) zwei Ebenen parallel zu E mit Abstand 4 d) (; ) = (identische Ebenen): zwei Ebenen parallel zu E = F mit Abstand (; ) = : Ebene, die parallel zu E und F genau in der Mitte zwischen beiden liegt ansonsten: keine Punkte 7/4 a) Das Verfahren funktioniert im Allgemeinen nicht: Die beiden Punkte könnten auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen, und dann schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt. Man muss also bei der Abstandsbestimmung zusätzlich auf das Vorzeichen achten. b) Es sind drei Punkte auf einer der beiden Ebenen nötig, die nicht alle auf einer Geraden liegen. 7/5 a) gelb 8/ (Prüfung 6/BII) a),,in der Wasseroberfläche'': gegeben! (außerdem: x = ) 4 geradlinig: : = + ; (; ) = b) : = mit, R 5 bzw. : = 99 c) = + 5 mit R d) Der Tauchwinkel ist etwa 5,5, die Vorgaben werden also eingehalten. 8/ a) = bzw. = b) (; ) = 7 ( mit (5 8 6) ) ==> = altes Buch (winklers-verlag): 5/4 c) k: = 5 + mit R d) H: 5 = 4 57/5 a) a = oder a = b) b = 4 c) c = 4,8 oder c =, d) d = oder d = 7 57/6 a =,4 oder a = c) windschiefe Geraden 4/8 a) 7,4 b),86