Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) Lösung A6/08 Lösungslogik (einfach) Klausuraufschrieb (einfach)

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Gerrit Stein
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1 Lösung A6/08 (einfach) Der Abstand zweier Geraden im Raum errechnet sich über Richtungsvektor der ersten Geraden, als Aufpunkt der ersten und als Aufpunkt der zweiten Geraden. (einfach) !3 "# "25# Der Abstand der beiden Geraden beträgt 5 &' mit als (umständlich) Wir bilden eine Hilfsebene ( durch den Aufpunkt der ersten Geraden und deren Richtungsvektor als Normalenvektor der Hilfsebene. Dann schneiden wir die Hilfsebene mit der zweiten Geraden und erhalten den Schnittpunkt ). Der Abstand der beiden Geraden ist dann der Betrag des Vektors **. ) (umständlich) , - 1 Hilfsebene (: (: /0+ 1, 0 - Normalenform der Ebene Koordinatenform von ( ( 7 : 0 168; 0 288; "168#"288# : +) : ) ) * * ) Der Abstand der beiden Geraden beträgt 5 &'.

2 Lösung A7/08 Wir berechnen den Normalenvektor der Ebene ' über das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren. ' 7 wenn?, A (Orthogonalitätsbedingung). _ 01,5 1,5 01,5 1,5 BC 30 3 BE ,5 1,5 18 F, BC A BE 3 0 9,5 2, A 2 0 6,5 2, A Die Gerade 7 verläuft parallel zur Ebene '. Lösung A8/08 Um die gegenseitige Lage der beiden Ebenen ' : "0G #, 0 und ' : "0G #, 0 zu untersuchen, prüft man zunächst, ob die beiden Normalenvektoren, und, Vielfache voneinander sind. Falls nein, sind die Ebenen nicht parallel zueinander und schneiden sich in einer Geraden. Falls ja, sind die beiden Ebenen parallel. Erfüllt darüber hinaus der Punkt aus ' (oder ein anderer Punkt aus ' ) auch die Gleichung von ', d.h. "GG #, 0, so sind die beiden Ebenen identisch. Lösung A6/09 (einfach) Drei Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn der Betrag des Spatproduktes der drei Vektoren größer ist als Null. Der Betrag des Spatproduktes aus drei Vektoren ist gleich dem Volumen des durch die Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. Ist dieses Volumen gleich Null, so sind die Vektoren abhängig. Entsteht ein Volumen, so sind die Vektoren unabhängig. (einfach) 2 2 H 3; I 3; J L N L */H I1 J* K3M M LK N L O 2 18 H I Die drei Vektoren sind voneinander unabhängig.

3 (umständlich) Drei Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn die Lösung der Vektorzuges HP I8 JQ die Triviallösung ist. (Triviallösung bedeutet, dass das Gleichungssystem nur dann erfüllt ist, wenn gleichzeitig die Skalare, P und 8 gleich 0 sind). Wir erstellen ein lineares Gleichungssystem und lösen dies mit dem Gaußschen Eliminierungsverfahren. (umständlich) 2 2 H 3; I 3; J P Gauß-Schema Nr. P 8 Operation I :2 II RR "2#R "3# III RRRR 2 Nr. P 8 Operation I II :2 III III T "3#II 5 I II III Die untere Dreiecksmatrix ist gebildet und wir lesen die Lösung ab: ; 3P5 00 P 0; V W,P,8 0;0;0X Die Lösungsmenge des LGS ist trivial. Die drei Vektoren sind voneinander unabhängig. Lösung A7/09 a) Wir ermitteln die Spurpunkte der Ebene und zeichnen darüber die Ebene in das Koordinatensystem ein. b) ' 7 wenn?, A (Orthogonalitätsbedingung). Danach Prüfung, ob die Gerade eventuell in ' verläuft über ' 7. c) Abstand Punkt Ebene über die HNF mit dem Ursprung als Punkt.

$, A c) Y [Y \] mit +"0 0 0#: [ ^_[_\] ^ ] 2 2 [ Lösung A8/09 Man bestimmt die Gleichung einer Hilfsebene, die durch B geht und orthogonal zur Geraden 7 ist.$ Der Normalenvektor der Ebene ist gleich dem Richtungsvektor der Geraden. Man schneidet die Gerade 7 mit der Ebene ' und errechnet daraus die Koordinaten des Schnittpunktes ).

Der Normalenvektor der Ebene ist gleich dem Richtungsvektor der Geraden. Man schneidet die Gerade 7 mit der Ebene ' und errechnet daraus die Koordinaten des Schnittpunktes ).

4 a) ) Y " 0 0#; ) Y "0 0#; ) YZ nicht vorhanden, da 0 5 Koordinate fehlt. b), A 1; ' 7: 0 1; Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, somit liegt 7 in '., A c) Y [Y \] mit +"0 0 0#: [ ^_[_\] ^ ] 2 2 [ Lösung A8/09 Man bestimmt die Gleichung einer Hilfsebene, die durch B geht und orthogonal zur Geraden 7 ist. Der Normalenvektor der Ebene ist gleich dem Richtungsvektor der Geraden. Man schneidet die Gerade 7 mit der Ebene ' und errechnet daraus die Koordinaten des Schnittpunktes ). Für den Bildpunkt B gilt dann +B T +B 2 B) bzw. +B T +) B) Lösung A6/10 (einfach) Vier Punkte liegen dann in einer Ebene, wenn der Betrag des Spatproduktes der drei Vektoren BC, BE, und B` gleich Null ist. Der Betrag des Spatproduktes aus drei Vektoren ist gleich dem Volumen des durch die Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. Ist dieses Volumen gleich Null, so sind die drei Vektoren voneinander abhängig. _ (einfach) BC 2 2; BE 26; B` */BC BE 1 B` * K K 0 0 1

5 BC BE Die vier Punkte liegen in einer Ebene. (umständlich) Wir bilden die Ebenengleichung durch die Punkte B, C und E und machen eine Punktprobe mit Punkt `. _ (umständlich) ' abc : 0 0B BC P BE BC 2 2; BE P ` ' abc : P (1) 222P 1 (2) 26P 9 (3) ,5 "2#: (2) 2 0,56P 9 P 1 P, "1#: 22 0,52 "1#1 11 wahre Aussage Die vier Punkte liegen in einer Ebene. Lösung A7/10 a) Abstand Punkt/Ebene über die HNF mit "9 1#. b) Die Koordinaten des Punktes e ergeben sich über +e + 2 ) bzw. +e ) +). a) fy [gy [hy Z [i 5Y \]Y Z [j Punkt "9 1# einsetzen f [g [h 5 [_ [] 5 k\] [j j\][j 6 5 [_ [] l Der Punkt hat einen Abstand von 6 &' zur Ebene '.

9 10 11 b) +e + 2 ) 2 5 6 1 0 1 alternativ 0 11 +e +) ) 1 5 6 1 0 1 Die Koordinaten sind e"11 6 1#.

6 b) +e + 2 ) alternativ e +) ) Die Koordinaten sind e"11 6 1#. Lösung A8/10 Ein mögliches Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden 7 ist: Der Punkt ) liegt auch auf der Bildgeraden 7. Man wählt einen weiteren Punkt auf der Geraden 7 und bestimmt eine Gleichung der Geraden m, die orthogonal zu ' ist und enthält. Als Richtungsvektor von m wählt man den Normalenvektor von '. Danach ermittelt man den Schnittpunkt n von m mit '. Für den Bildpunkt von bei der Spiegelung an ' gilt: n Die Bildgerade ist schließlich gegeben durch 7: 0 +) 8 ) Lösung A6/11 Wegen des Pflichtteils ist hier die Verwendung eines GTR ausgeschlossen, das Gleichungssystem muss manuell gelöst werden nach dem Gaußschen Eliminierungsverfahren. Das Gleichungssystem reduziert sich auf nur zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Wir dürfen somit einen Parameter frei wählen. Gauß-Schema I II III III 1 0 III 5I I II 0 2 III III T 2II

I 5 1 3 7 II 0 2 III 0 0 0 0 Reduziertes Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Ein Parameter frei gewählt, hier 0 5 8.

7 I II 0 2 III Reduziertes Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Ein Parameter frei gewählt, hier V W18;228;8X Die drei Ausgangsgleichungen des LGS stellen drei Ebenen im Raum dar, die sich in der Geraden 7: schneiden. 0 1 Lösung A7/11 a) ' 7 wenn?, A (Orthogonalitätsbedingung). b) Es ist die Normalenform der Ebene gegeben. Da ' 7, kann die Abstandsgleichung Punkt-Ebene verwendet werden, diese lautet: "G G # o _ mit G o als Stützvektor der Geraden. a) p q rs t b) "G G _ und damit ' 7. 1 # o mit G o als Stützvektor der Geraden u u u \] \] \] v][[v u Lösung A8/11 Der gesuchte Punkt ist der Fußpunkt des Lotes von B auf 7. 1) Man stellt eine Gleichung der Hilfsebene ' auf, die orthogonal zu 7 ist und durch B verläuft. Dabei wird der Normalenvektor von ' als Richtungsvektor von 7 verwendet. 2) Man schneidet die Gerade 7 mit der Ebene ' und bestimmt damit die Koordinaten des Punktes C. v][[v k u k 9

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