FOS 1994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Analytische Geometrie, Aufgabengruppe B I

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Kerstin Waldfogel
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1 FOS 994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Aufgabenstellung In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( ), B(3 ) und C( ) gegeben, sowie die Punkte D a (a a a + ) mit a R.. Die Punkte A und B bestimmen die Gerade g. Die Punkte C und D a legen für jedes a R eine Gerade h a fest. (a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, und ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h a in Abhängigkeit von a. a + (Mögliches Teilergebnis: h a : x = +µ a 3 µ R) a + (b) Zeigen Sie, dass keine der Geraden h a (a R) parallel zur Geraden g verläuft. (c) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass die zugehörige Gerade h a die Gerade g schneidet, und berechnen Sie für dieses a die Koordinaten des Schnittpunktes von g und h a. (Teilergebnis: a = ). In dieser Teilaufgabe ist a =. (a) Berechnen Sie den Schnittwinkel ϕ der Geraden g und h. (b) Die Geraden g und h bestimmen die Ebene E. Ermitteln Sie je eine Gleichung der Ebene in Parameter- und Normalenform. (c) Die beiden Ebenen E und E verlaufen parallel zur Ebene E und haben von dieser den Abstand d = 34. Ermitteln Sie je eine Gleichung der Ebenen E und E in Normalenform. 3. Setzen Sie nun a. (a) Der Punkt D ( ) ist die Spitze eines Tetraeders mit der Grundfläche ABC. Berechnen Sie das Volumen dieses Tetraeders. (b) Zeigen Sie, dass das Dreieck AD C rechtiwinklig ist im Punkt D. (c) Berechnen Sie die Flächenmasszahl des Dreiecks AD C. c 3, Thomas Barmetler

2 FOS 994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Lösungsvorschlag. (a) Mit Punkt A als Aufpunkt und AB als Richtungsvektor g : x = + k k R Mit Punkt C als Aufpunkt und CD a als Richtungsvektor a + h a : x = + µ a 3 µ R a + (b) Untersuchung ob der Richtungsvektor u der Geraden g und der Richtungsvektor v der Geraden h a linear abhängig sind. Ist die Bedingung u v = u v = u 3 v 3 erfüllt, dann sind die Vektoren linear abhängig. a+ = a 3 = a+ a + = a 3 = a 4 4 falsche Aussage u und v sind linear unabhängig. Die Geraden g und h a können nicht parallel zueinander liegen. (c) Schneiden sich zwei Geraden, so kann man den Schnittpunkt errechnen indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Aus diesem Gleichungssystem werden aus zwei beliebigen Zeilen (aber eben nur aus zwei!) die Parameter der Ebenengleichung bestimmt. Werden diese in die dritte (bisher nicht genutzte) Zeile eingesetzt, so muss sich eine wahre Aussage ergeben. + k g = h a = + µ a + a 3 a + (I) + k = + (a + )µ (II) + k = + (a 3)µ (III) 4k = (a + )µ Aus (I): k = [ 3 + (a + )µ] ( ) ( ) in (II): + [ 3 + (a + )µ] = + (a 3)µ 3 + a µ + µ = + aµ 3µ a µ + 4µ = µ = 8 a ( ) c 3, Thomas Barmetler

3 FOS 994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft ( ) in ( ): k = [ 3 + (a + ) 8 a ] k = a a Werte von µ und k in (III) einsetzen ( 4 3 ) 4 + a + = (a + ) a 8 a 8 + 4a + = + a 8 a 8 a 8 = 35 + a 8 a 4 8a = 35 + a a = Wert von a in ( ) oder in ( ) einsetzen. Mit dem erhaltenen Wert von µ bzw. k und der jeweils zugehörigen Geradengleichung können die Koordinaten des Schnittpunktes S ermittelt werden. µ = 8 = k = s = + s = + s = s =. (a) Der Schnittwinkel der Geraden entspricht dem Schnittwinkel zwischen den Richtungsvektoren u und v der beiden Geraden. cos ϕ = u v u v 3 cos ϕ = + + () 3 + ( ) + cos ϕ = 8 cos ϕ, ϕ =, 8 c 3, Thomas Barmetler 3

4 FOS 994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft (b) Ebenengleichung in Parameterform E : x = Normalenvektor der Ebene E + k n = u v n = n = n = Ebenengleichung in Normalenform + µ 3 3 n ( x a) x x + x + x 3 ( + 4) E : x + x + x 3 4 (c) In der normalisierten Gleichung der Ebene E gibt das konstante Glied n = n den Abstand der Ebene vom Ursprung an. E : E : x + x + x x + x + x Liegen die beiden Ebenen E und E nun parallel zur Ebene E und haben jeweils den Abstand d = 34 von dieser, so vergrößert bzw. verringert sich der Abstand der Ebene E bzw. E vom Ursprung auch entsprechend. E : E : x + x + x x + x + x ( + ) ( + 34 ) E : x + x + x c 3, Thomas Barmetler 4

5 FOS 994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft E : E : x + x + x x + x + x ( ) ( 34 ) E : x + x + x (a) Um das Volumen des Tetraeders mit der Formel aus der Formelsammlung ermitteln zu können, müssen drei Seiten des Tetraeders als Vektoren ausgedrückt werden. AB = AC = 3 AD = Einsetzen der Vektoren in die Volumenformel des Tetraeders AB ( AC AD 3 5 ( 8 ) 9 4, 83 (b) Falls das Dreieck AD C im Punkt D einen rechten Winkel hat, muss gelten: D A D C wahre Aussage Das Dreieck AD C hat im Punkt D einen rechten Winkel. c 3, Thomas Barmetler 5

6 FOS 994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft D C in die Flächenformel des Drei- (c) Einsetzen der Vektoren ecks D A und A = D A D C A = 3 A = 5 A = () + ( ) + 5 A = 4 A 3, 4 c 3, Thomas Barmetler

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