n n x a 1 a 2 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + ( n 1 a 1 n 2 a 2 )

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1 IX. Normalformen ================================================================== 9.1 Die Normalenform einer Geradengleichung im 2-dimensionalen Punktraum g n A x a a X x Parameterform : Umformung : x = a + λ v x a = λ v n n x a = 0 In Koordinaten : n 1 n 2 x 1 x 2 a 1 a 2 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + ( n 1 a 1 n 2 a 2 ) n 4 = 0 Satz : Genau dann liegt ein Punkt X(x 1 x 2 ) des zweidimensionalen euklidischen Punktraums auf einer Geraden mit der Parameterform x = a + λ v,, wenn für seinen Ortsvektor x = x 1 gilt x 2 n x a = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 (n 1 a 1 + n 2 a 1 ) = 0 ( ) λ

2 n = n 1 ist ein Normalenvektor zur Geraden, d.h. n v n 2 Man nennt deshalb die Gleichung ( ) eine Normalenform der Geraden. Parameterform : g : x = λ 2 5 Normalenvektor : n = 5 2 Normalenform : 5 2 x 1 x = 0 5x 1 + 2x 2 ( 5) = 0 5x 1 + 2x = 0 B34 liegt nicht auf g, denn B in g : = 1 0 B g

3 9.2 Die HESSEform einer Geraden g n 0 p a P A ϕ d(p; g) a p Es ist n 0 p a = 1 p a cos ϕ = d(p ; g) Definition und Satz : Wählt man als Normalenvektor für die Normalenform einer Geraden g den Einheitsnorma- lenvektor n 0, der vom Ursprung des Kooordinatensystems wegzeigt, dann heißt die so erhaltene Normalenform die HESSEsche Normalenform HNF der Geraden n 0 x a = 0 n 01 x 1 + n 02 x 2 + ( n 01 a 1 n 02 a 2 ) n 04 = 0 Das Einsetzen der Koordinaten eines beliebigen Punktes P in die Hesseform ergibt eine Zahl, deren Zahl, deren Betrag, gleich dem Abstand des Punktes P von der Geraden g ist. Diese Zahl ist a) positiv, wenn P und und der Ursprung auf verschiedenen Seiten von g liegen. b) negativ, wenn P auf der Ursprungsseite von g liegt.

4 Bemerkung : Zeigt n 0 vom Ursprung des Koordinatensystems weg, dann ist n 0 a > 0, d. h. die Konstante n 4 in der Hesseform ist negativ. Parameterform : g : x = 1 + λ Einheitsnormalenvektor : n = 4 ergibt n 3 0 = ± ( 3) 2 3 = ± 4/5 3/5 HNF : ± 4/5 x 1 3/5 x = x x = 0 Der Abstand des Punktes P1 3 von g ergibt sich dann zu d(p; g) = ( 3) 1 5 = 12 5 = 2,4 und P liegt auf der ursprungsfernen Seite von g. Liegt bereits eine Normalenform vor, dann erleichert dies die Bestimmung der HNF. g : HNF : 12x 1 5x = 0 12x 1 5x ( 5) 2 = x x = 0

5 Allgemein gilt also : Normalengleichung HNF n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 4 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 4 sgn(n 4 ) n n 2 2 = 0

6 9.3 Die Normalenform einer Ebenengleichung im 3-dimensionalen Punktraum n A v x a X E u a x O Ebenengleichung in Parameterform : x = a + λ v + µ u Umformung : x a = λ v + µ u n n x a = 0 In Koordinaten : n 1 n 2 n 3 x 1 x 2 x 3 a 1 a 2 a 3 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + ( n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 ) = n 4 0 Satz : Genau dann liegt ein Punkt Xx 1 x auf einer Ebene mit der Parameterform 2 x 3 x = a + λ v + µ u, wenn für seinen Ortsvektor x = x 1 x 2 x 3 gilt

7 n x a = 0 In Koordinaten ergibt sich n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 (n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ) = 0 n = n 1 n 2 n 3 ist ein Normalenvektor zur Geraden, d.h. n v, n u Man nennt diese Gleichung deshalb auch eine Normalenform der Ebene. Bemerkung : Die Normalenform einer Ebene in einem kartesischem Koordinatensystem stimmt mit Koordinatengleichung einer Ebene in einem affinen Koordinatensystem überein.

8 E : x = λ 1 + µ Möglichkeiten, eine Normalenform der Ebene E zu bestimmen : a) Determinantenmethode x 1 1 x 2 x = x x 2 5x 3 + 2x 2 = 0 x 1 3x 2 5x = 0 1 b) Bestimmung eines Normalenvektors mit dem Skalarprodukt Ansatz : n = n 1 n 2 n 3 Bedingungen : n 1 2 n 1 5 (1) n 2 1 = 0 2n 1 + n 2 n 3 = 0 (2) n n = 0 5n 1 n 3 = 0 n 3 1 (1) (2) 3n 1 + n 2 = 0 Parametrisierung x 1 = k n 2 = 3k in (1) 2k + 3k n 3 = 0 n 3 = 5k n = Speziell für k 3k 5k k = 1 erhält man den Normalenvektor n = 1 3 5

9 Dies ergibt als Normalenform von E : x 1 x 2 x = x 1 3x 2 + 5x 3 1 = c) Bestimmung eines Normalenvektors mit dem Vektorprodukt und dann weiter wie unter b). n = = Beachte : Ein Normalenvektor zu einer Ebene ist bis auf ein skalares Vielfaches eindeutig bestimmt. Man wählt ihn so, dass seine Koordinaten vom Betrag her möglichst klein sind.

10 9.4 Anwendungen : Schnittwinkel zweier Ebenen F Der Winkel, unter dem sich zwei Ebenen schneiden, ist gleich dem Winkel, den zwei ihrer Normalenvektoren miteinander bilden. n E σ n F σ E Sonderfälle : Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren parallel (kollinear) sind. n E E n F F Für den Winkel σ, den die Ebenen E : 2x 1 + 2x 2 x 3 = 0 und F : 3x 1 4x = 0 miteinander bilden, gilt : cos σ = ( 4) ( 4) = 2, 15 σ 82,4 während F und G : 6x 1 8x 2 1 = 0 parallel sind. G n E n F n G E F Zwei Ebenen stehen genau dann aufeinander senkrecht, wenn auch ihre Normalenvektoren aufeinander senkrecht stehen. Im Bild : E F G

11 Bemerkung : Durch einen Punkt einer Ebene E gehen unendlich viele zu E senkrechte Ebenen. Gesucht ist die Ebene G, die senkrecht zu den Ebenen E : x 1 2x 2 + x 3 1 = 0 und F : 2x 1 + x = 0 verläuft und durch den Punkt P( 1 0 2) geht. Lösung : 1. Es ist = ein Normalenvektor von G und damit von G. 2x 1 + x 2 + 4x 3 + n 4 = 0 eine Normalenform 2. Einsetzen von P ergibt n 4 = Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade E n E ϕ ϕ S u g Der Schnittwinkel, unter dem eine Gerade eine Ebene schneidet, ist gleich dem Komplement des spitzen Winkels, den der Richtungsvektor der Geraden mit einem Normalenvektor der Ebene bildet. ϕ = 90 k( u, n ) = 90 ϕ

12 Sonderfälle : g u n E E Eine Gerade g : x = a + λ u ist genau dann zu einer Ebene E mit dem Normalenvektor tungsvektor von g auf dem Normalenvektor n E n E von E senkrecht steht. parallel, wenn der Rich- u n E = 0 Eine Gerade g : x = a + λ u ist genau dann ein Lot zur Ebene E mit dem Normalen- vektor n E, wenn ihr Richtungsvektor u parallel zu n E ist. Für das Komplement ϕ 1 1 des Schnittwinkels ϕ der Geraden g : x = 0 + λ 2 mit der 0 2 Ebene E : x 1 2x 2 2x 3 1 = 0 gilt : cos ϕ = ( 2) + ( 2) ( 2) = ( 2) ( 2) 2 + ( 2) 2 9 Also ϕ = 90 ϕ 6,

13 3. Abstand eines Punktes von einer Geraden E F u g P Man legt durch P eine Ebene E, die zur Geraden g senkrecht verläuft. Als Normalenvektor von E kann der Richtungsvektor von g dienen. Der Schnitt von E und g ergibt den Fußpunkt F des Lotes von P auf g. Also d(p; g) = PF = PF Gesucht ist der Abstand des Punktes P120 von der Geraden g : x = Lösung : 1. Ansatz für die Lotebene E durch P zu g : x 1 + 2x 2 x 3 + n 4 = λ P eingesetzt ergibt n 4 = 5 und damit E : x 1 + 2x 2 x 3 5 = 0 3. g E ergibt den Lotfußpunkt F Damit ist d(p ; g) = PF =

14 4. Spiegelungsaufgaben a) Spiegelung an einem Punkt P' p' Z z P O p Da Z die Strecke [PP'] halbiert, ergibt sich p ' = p + 2 PZ = 2 z p P1 23 an gespiegelt, ergibt Z p' = = 1 0, 1 d. h. P' 101 b) Spiegelung an einer Ebene P E F Man legt durch P die Lotgerade zur Ebene E und ermittelt durch Schnitt den Lotfußpunkt F. Es gilt dann P' p' = p + 2 PF = 2 f p

15 c) Spiegelung an einer Geraden P' E P F u g Man legt durch den zu spiegelnden Punkt eine Ebene E senkrecht zur Spiegelachse g. Der Lotfußpunkt F ist dann der Schnitt von g mit E. Es gilt dann p' = p + 2 PF = 2 f p

16 9.5 Die HESSEform einer Ebene P d(p; E) p a n 0 A ϕ a p O n 0 p a = 1 p a cos ϕ = d(p ; E) Definition und Satz : Wählt man als Normalenvektor für die Normalenform einer Ebene E den Einheitsnorma- lenvektor n 0, der vom Ursprung des Kooordinatensystems weg zeigt, dann heißt die so erhaltene Normalenform die HESSEsche Normalenform HNF der Ebene. n 0 x a = 0 n 01 x 1 + n 02 x 2 + n 03 x 3 + ( n 01 a 1 n 02 a 2 n 03 a 3 ) n 04 = 0 Das Einsetzen der Koordinaten eines beliebigen Punktes P in die Hesseform ergibt eine Zahl, deren Betrag gleich dem Abstand des Punktes P von der Ebene E ist. Diese Zahl ist a) positiv, wenn P und und der Ursprung auf verschiedenen Seiten von E liegen. b) negativ, wenn P auf der Ursprungsseite von E liegt. Bemerkung : Zeigt n 0 vom Ursprung des Koordinatensystems weg, dann ist n 0 a > 0, d.h. die Konstante in der Hesseform ist negativ. n 4

17 E : HNF : 2x 1 x 2 + 2x = 0 2x 1 x 2 + 2x = ( 1) x x x 3 1 = 0 Normalengleichung HNF n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 = 0 mit n 4 = (n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ) n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 ± n n n 3 2 = 0 E : 2x 1 x 2 + 2x = 0 P ( 3) d(p; E) = = ( 1) = 5 P liegt nicht auf der Ursprungsseite von E. Anwendungen : 1. Geometrische Örter - Abstandsmethode Gegeben : E : 2x 1 x 2 + 2x 3 1 = 0 F : 2x 1 + x 2 + 2x = 0 Bestimme die Gleichungen der winkelhalbierenden Ebenen- Lösung : Die winkelhalbierenden Ebenen von E und F bilden den geometrischen Ort aller Punkte die von E und F gleich weit entfernt sind. Ist P(x 1 x 2 x 3 ) also ein Punkt auf der winkelhalbierenden Ebenen, dann gilt

18 2 3 x x x = 2 3 x x x Also 2 3 x x x = 2 3 x x x oder 2 3 x x x = ( 2 3 x x x ) 4 3 x x = x 2 1 = 0 W 1 : 4x 1 + 4x = 0 W 2 : 2x = 0 Satz : Die Gleichungen der winkelhalbierenden Ebenen zu zwei Ebenen E und F erhält man durch Addition bzw. Subtraktion der HNF's dieser Ebenen. Die Mittenebene zu zwei parallelen Ebenen E und F ist der geometrische Ort aller Punkte die von E und F gleich weit entfernt sind. Man erhält daher analog Satz : Die Gleichungen der Mittenebene zu zwei parallelen Ebenen E und F erhält man durch Addition der HNF's dieser Ebenen. 2. Bestimmung des Abstandes zweier windschiefen Geraden Lösungsstrategie : Man legt durch eine Gerade die Ebene parallel zur anderen und bestimmt den Abstand dieser Geraden von der Ebene etwa durch Einsetzen ihres Aufpunkts in die HNF der Ebene.