ohne Anspruch auf Vollständigkeit

Transkript

1 Abi-Crash-Kurs Analytische Geometrie (G Niveau) ohne Anspruch auf Vollständigkeit

2 Inhalt 1 Punkte, Vektoren und Geraden im R³ Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt Vektorprodukt Ebenen im R Parametergleichung Normalengleichungen Punkt-Normalengleichung Allgemeine Normalengleichung Koordinatengleichung Hessesche Normalengleichung Abstandsberechnungen Abstand zweier Punkte Abstand Punkt Gerade Abstand Punkt Ebene Abstand zweier Geraden Abstand paralleler Geraden Abstand windschiefer Geraden (E-Kurs) Abstand Gerade Ebene (parallel) Abstand zweier zueinander paralleler Ebenen Winkelberechnungen Winkel zwischen Vektoren Winkel zwischen Geraden Winkel zwischen Gerade und Ebene Winkel zwischen Ebenen Lagebeziehungen Punkt Gerade Punkt Ebene Gerade Gerade Gerade Ebene Ebene Ebene Figuren und Körper Spiegelungen und Projektionen Inhalte/Themen der Abituraufgaben Übungsaufgaben

3 1 Punkte, Vektoren und Geraden im R³ (Abi 2012, NT, G) Ein Einfamilienhaus besteht aus einem quaderförmigen Erdgeschoss und einem aufgesetzten Satteldach (siehe Abbildung). Das Dach besteht aus zwei rechteckigen Dachflächen. Die folgenden Punkte sind gegeben: C (0150), D (000), E(1003), H (003), J(10105), K (0105). Es gilt: 1 Längeneinheit = 1 m. Tipps bevor s losgeht : Beschriften Sie die Zeichnung: Wie hoch, wie breit, wie lang Wo liegt der Ursprung des KS? In welche Richtung zeigen die drei (positiven) Achsen? Gibt es nur positive Koordinaten? Wo erkennt man welche Figuren (Rechtecke, Quadrate, Dreiecke) kurz: Vertraut machen mit der Abbildung. 1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes F an. F ( ) 2. Bestimmen Sie die folgenden Vektoren: EJ, JE, JF, JK, AG 3. Berechnen Sie die Längen der oben berechneten Vektoren ( 4.1). Punkte: waagerecht Vektoren: senkrecht Rechte-Hand-Regel Ortsvektoren Verbindungsvektoren Punkt Richtungsgleichung der Geraden g (PRG): g: OX = OA + r u r ε R Hierbei sind: OX : OA : u : Skizze: Hinweis: Die Punkt Richtungsgleichung einer Gerade ist nicht eindeutig. Jeder Punkt der Geraden kann als Aufpunkt dienen, alle zu u kollinearen Vektoren können als Richtungsvektor dienen. Zweipunktegleichung der Geraden g: 2

4 Übung: Prüfen Sie, ob A(1/2/3), B(0/1/2) und C(-1/2/5) auf einer gemeinsamen Geraden liegen! Beschreibung von Strecken und Halbgeraden: 3 - Strecke AB : AB X IR x a u mit 0;1 3 - Strecke AE : AE X IR x a u mit 1;0 3 - Strecke CG : CG X IR x a u mit 0,75;2 - Halbgerade AF - Halbgerade AC 3 : AF X IR x a u mit IR 0 3 : AC X IR x a u mit IR 0 3

5 2 Rechnen mit Vektoren 2.1 Skalarprodukt a b a b = a b = a b + a b + a b a b Besonderheit: Falls a b = 0, dann sind die Vektoren a und b senkrecht zueinander. Beispiele: 1 a = b = c = a b = 2 5 = = a c = 2 2 = = Vektorprodukt a b a b Der Vektor a b = a b a b heißt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Vektoren a und b. a b a b Einige Eigenschaften des Vektorprodukts: a b a b b a b a a b = a b a b = b a = a b a b a b ist senkrecht zu a und senkrecht zu b (Stichwort: Rechte-Hand-Regel ) ( Normalenvektor) Hinweis: Es existieren unendlich viele Normalenvektoren zu zwei nicht kollinearen Vektoren. Das Kreuzprodukt hilft uns dabei, einen dieser Vektoren zu berechnen. Übung: 0 a a = a) Berechnen Sie a b = 0, dann sind die Vektoren a und b kollinear. 0 b) Berechnen Sie EJ EH E(1003), H (003), J(10105) (Abi 2012, NT, G) Wichtige Anwendungen des Vektorproduktes: Bestimmung eines Normalenvektors einer Ebene Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms 4

6 Sind die Vektoren a und b nicht kollinear, so spannen beide Vektoren ein Parallelogramm auf. Für den Flächeninhalt des Parallelogramms gilt: μ(a) = a b = a b sin(φ) Beispielaufgabe: Die Punkte A (10-4), B (-211) und C (3-2-1), sind Eckpunkte eines Dreiecks. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. 5

7 3 Ebenen im R Parametergleichung Erster Schritt: Wir bestimmen eine Ebenengleichung in Parameterform (ganz ähnlich zur PF einer Geradengleichung nun aber mit zwei Richtungsvektoren) Skizze: g: OX = OA + r u + s v Die beiden Richtungsvektoren können wir durch Verbindungsvektoren der Punkte erhalten: g: OX = OA + r AB + s AC oder g: OX = OB + r AB + s CB oder oder oder. Übung: Bestimmen Sie eine Parameterform einer Ebenengleichung der Ebene, in der die Punkte E, J und K liegen. E(1003), H (003), J(10105), K (0105) (Abi 2012, NT, G) 6

8 3.2 Normalengleichungen Punkt-Normalengleichung e: n AX = 0 e: n 0X OA = 0 n x a e: n x a = 0 n x a Allgemeine Normalengleichung e: n 0X n OA = n 0X (n a + n a + n a ) = Koordinatengleichung e: (n x + n x + n x ) (n a + n a + n a ) = Hessesche Normalengleichung Normalenvektor "normieren" (Division durch Länge): n = Statt dem Normalenvektor verwenden wir den "normierten Normalenvektor" fertig 2 Übung: Normieren Sie den Vektor n = 3 1 Übung: Geben Sie eine Koordinatengleichung und die Hessegleichung der Ebene aus 3.1 an. 7

9 4 Abstandsberechnungen 4.1 Abstand zweier Punkte Berechne Verbindungsvektor der beiden Punkte Bestimme Betrag (= Länge) des Verbindungsvektors Beispiel: b a d(a, B) = AB = b a = (b a ) + (b a ) + (b a ) b a A(1 3 2) B( 4 2 1) AB = 2 3 = 1 1 ( 2) 1 d(a, B) = AB = ( 5) + ( 1) + (1) = = 27 = Abstand Punkt Gerade Hilfsebene aufstellen: Gegebener Punkt P als Stützpunkt, Richtungsvektor u der Gerade als Normalenvektor der Hilfsebene h verwenden Schnittpunkt S der Gerade g mit der Hilfsebene h bestimmen Abstand der Punkte P und S ist der gesuchte Abstand 4.3 Abstand Punkt Ebene Ebenengleichung muss in Normalenform vorliegen: e: n OX c = 0 Erstelle Lotgerade vom Punkt S zur Ebene e: Gerade mit S als Stützpunkt und dem Normalenvektor von e als Richtungsvektor: l: OX = OS + r n Setze den Geradenterm OP + r n für OX in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach dem Parameter r auf. Der Betrag von r gibt unmittelbar an, wie häufig man den Normalenvektor n von Punkt P aus bis zur Ebene zurücklegen muss. Daraus erhält man den Abstand d(e, P) = r n Setzt man das Ergebnis von r in die Geradengleichung ein, so erhält man den Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene e, den so genannten Lotfußpunkt L : OL = OP + r n 8

10 Beispiel: Lotgerade: 3 e: 4 OX + 12 = l: OX = 11 + r P( ) (in Ebenengleichung einsetzen) r = 0 (Gleichung nach r auflösen) ( 8 + 3r) + ( 4) (11 4r) + 1 (4 + r) + 12 = r r r + 12 = 0 26r = 52 also r = 2 Vom Punkt P aus muss man zweimal den Normalenvektor laufen um zur Ebene bzw. zum Lotfußpunkt L in der Ebene zu kommen: OL = = 3 Lotfußpunkt L( 2 3 6) Abstand: d(e, P) = r n = 2 4 = 2 26 LE 1 Oder: d(p, L) = PL = ( 2 ( 8)) + (3 11) + (6 4) = = 104 = 2 26 LE Das oben beschriebene Verfahren zu beherrschen ist sicherlich sehr sinnvoll, es gibt aber zur Berechnung des Abstandes zwischen Punkt und Ebene eine sehr viel effektivere Methode: Abstandsbestimmung mit der Hesseschen Normalengleichung 3 e: 4 OX + 12 = 0 Länge Normalenvektor: n = 3 + ( 4) + 1 = 26 1 HNG: (3x 4x + x + 12) = 0 P( ) Koordinaten in HNG einsetzen (linke Seite der GLG) 1 1 (3 ( 8) ) = ( 52) = Betrag nehmen, fertig. P ist von e 2 26 LE entfernt. 9

11 4.4 Abstand zweier Geraden Abstand paralleler Geraden Zurück zu führen auf den Fall Abstand Punkt - Gerade ( 4.2) Abstand windschiefer Geraden (E-Kurs) Bestimme den Vektor n = u v (Steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren) Prinzip: Erstelle zwei Hilfsebenen E g und E h mit n = u v als Normalenvektor und berechnen deren Abstand ( 4.5). "Formel": Berechne den Verbindungsvektor der Stützpunkte P und Q der beiden Geraden PQ = OQ OP. Es gilt: d(g, h) = = PQ n 4.5 Abstand Gerade Ebene (parallel) Verläuft die Gerade g parallel (vgl. Lagebeziehung 6.4) zur Ebene e, so lässt sich das Abstandsproblem auf den Fall 4.3 zurückführen. Man nimmt einen Punkt der Gerade g (z.b. Stützpunkt) und berechnet seinen Abstand von der Ebene. 4.6 Abstand zweier zueinander paralleler Ebenen Verlaufen beide Ebenen parallel zueinander (Normalenvektoren kollinear), so lässt sich auch dieser Fall auf den Fall Abstand Punkt - Ebene ( 4.3) zurückführen. Man bestimmt den Abstand eines Punktes der Ebene e 1 von der Ebene e 2 (oder umgekehrt). 10

12 Übung: Berechnen Sie den Abstand der Geraden g und h. Zeigen Sie zunächst, dass die Geraden windschief sind. (Lös.: ca. 7,48 LE) 7 0 g: OX = 2 + r h: Q 1 (-3-33) und Q 2 (-2-14) liegen auf h 11

13 5 Winkelberechnungen 5.1 Winkel zwischen Vektoren DIE Winkelformel: cos(α) = 5.2 Winkel zwischen Geraden Die Vektoren sind die beiden Richtungsvektoren der Geraden. Zur Beachtung: Bild rechts: Ergibt sich ein Lösungswinkel α* größer als 90 : Dann α = α* 5.3 Winkel zwischen Gerade und Ebene Mögliches Vorgehen: 1. Winkel zwischen u und n berechnen. 2. Evtl α 3. Danach 90 - α 5.4 Winkel zwischen Ebenen Die Vektoren sind nun die beiden Normalenvektoren der Ebenen. Zur Beachtung: Ergibt sich ein Lösungswinkel α größer als 90 : Dann α!!! 12

14 6 Lagebeziehungen 6.1 Punkt Gerade Zwei Möglichkeiten: 1. Punkt P liegt auf der Gerade g (P g) 2. Punkt P liegt nicht auf der Gerade g (P g) Nachweis: "Punktprobe" Koordinaten von P in Geradengleichung einsetzen. 6.2 Punkt Ebene Zwei Möglichkeiten: 1. Punkt P liegt in der Ebene e (P g) 2. Punkt P liegt nicht auf/in der Ebene e (P e) Nachweis: "Punktprobe" Koordinaten von P in Ebenengleichung (am besten in Koordinatenform) einsetzen Falls P e, dann Abstandberechnung ( 4.3) 6.3 Gerade Gerade Vier Möglichkeiten: 1. Die Geraden verlaufen parallel ( Abstandsberechnung durchführen 4.4.1) 2. Die Geraden sind identisch (Abstand = 0) 3. Die Geraden schneiden sich (Schnittpunkt und Schnittwinkel 5.2) 4. Die Geraden verlaufen windschief ( Abstandsberechnung durchführen 4.4.2) 6.4 Gerade Ebene Drei Möglichkeiten: 1. Die Gerade und Ebene verlaufen parallel ( Abstandsberechnung durchführen 4.3) 2. Die Geraden liegt in der Ebene (Abstand = 0) 3. Die Geraden schneidet die Ebene (Schnittpunkt und Schnittwinkel 5.3) 6.5 Ebene Ebene Drei Möglichkeiten: 1. Die Ebenen verlaufen parallel ( Abstandsberechnung durchführen 4.5) 2. Die Ebenen sind identisch (Abstand = 0) 3. Die Ebenen schneiden sich (Schnittgerade berechnen) 13

15 7 Figuren und Körper 8 Spiegelungen und Projektionen 14

16 9 Inhalte/Themen der Abituraufgaben Im Überblick: Die Inhalte der Abituraufgabenstellungen aus dem Saarland (G-Kurs-Niveau) 2010 HT "Wäschespinne" Koordinaten ablesen/bestimmen Geradengleichung bestimmen Ebenengleichung in Parameterform bestimmen Mittelpunkt einer Strecke bestimmen (Endpunkte gegeben) Länge einer Strecke (Betrag eines Vektors) Winkel zwischen Vektoren Senkrechte zu einer Geraden/Strecke Abstand Ebene zu (paralleler) Gerade 2010 NT "Tannenbaum am Hang" Koordinaten eines Punktes ermitteln Koordinatengleichung einer Ebene aus 3 gegebenen Punkten ermitteln "volles Programm" Geradengleichung aus zwei Punkten aufstellen Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen Abstand Punkt zu Ebene bestimmen Abstand Punkt Gerade 2011 HT "Fabrikhalle mit Solarmodulen" Koordinaten ablesen/bestimmen Schnittpunkt der Diagonalen eines Rechtecks Koordinatengleichungen zweier Ebenen, eine davon parallel zur x 1 -x 2 -Ebene Neigungswinkel, Schnittwinkel zwischen Ebenen Lotgerade und Schnittpunkt Geraden Winkel zwischen Gerade und Ebene (einfallende Sonnenstrahlen) Schattenwurf, Projektion 2011 NT "Vereinshaus: Quader mit aufgesetztem Schrägdach" Koordinaten ablesen/bestimmen Normalenvektoren von Ebenen bestimmen Neigungswinkel bestimmen: Winkel zwischen Ebenen Parametergleichung einer Ebene, Einschränkung der Parameter zu einem Rechteck Flächeninhalt eines Rechtecks Lotgerade, Schnittpunkt Gerade-Ebene Abstand Punkt-Strecke 2012 HT "Sonnensegel im Kindergarten" Nachweis gleichschenkliges Dreieck Flächeninhalt Dreieck Geradengleichung aus Punkt und Richtungsvektor Schnittpunkt Gerade Ebene (x 1 -x 2 -Ebene, Boden) Parameter- und Koordinatengleichung einer Ebene aufstellen Senkrechte Vektoren, Nachweis Gerade in Ebene Abstand Punkt-Gerade 2012 NT "Einfamilienhaus, Quader mit Satteldach" Koordinaten ablesen/bestimmen Nachweis Rechteck (kein Quadrat) Parameter- und Koordinatengleichung aus drei Punkten bestimmen Fläche Dreieck Schnittwinkel zweier Ebenen Lotgerade, Lotfußpunkt, Länge Strecke Einfallende Sonnenstrahlen, Projektion 15

17 2013 HT "Wintersporthalle" Koordinaten ablesen/bestimmen Länge eines Vektors Nachweis Viereck ABCD ist ein Trapez Ebenengleichung aufstellen, bis Koordinatengleichung ("volles Programm") Winkel zwischen zwei Ebenen Lotgerade Schnittpunkt Gerade Ebene Abstand Punkt Ebene Dreiecksfläche und Volumen eines Dreiecksprismas (elementargeometrisch) "Steigungswinkel" 2013 NT "Roter Teppich" Koordinaten ablesen/bestimmen Geradengleichung "verstehen" (Richtung) Ebenengleichung angeben (Parallel zur x 1 -x 2 - Ebene, Boden) Ebenengleichung aufstellen, bis Koordinatengleichung ("volles Programm") Nachweis rechtwinkliges Dreieck Diagonalenschnittpunkt Rechteck Lotgerade, Schnittpunkt mit x 1 -x 2 -Ebene Spurpunkt Gerade mit x 1 -x 2 -Ebene 2014 HT "Baumhaus" Koordinaten ablesen/bestimmen Mittelpunkt einer Strecke Innenwinkel in einem Dreieck Länge einer Strecke Nachweis senkrechte Vektoren Flächeninhalt (rechtwinkliges) Dreieck Geradengleichung aufstellen Schnittpunkt zweier Geraden bzw. Punktprobe Ebenengleichung aufstellen, bis Koordinatengleichung ("volles Programm") Nachweis Parallelität Ebene Gerade Abstand Gerade Ebene (Parallel zueinander) 2014 NT "Geocaching" Koordinaten ablesen/bestimmen 2015 HT "Teelichthalter" Koordinaten ablesen/bestimmen Länge Vektor Winkel zwischen Vektoren Ebenengleichung aufstellen, bis Koordinatengleichung ("volles Programm") Flächeninhalt Dreieck Koordinatengleichung angeben (Parallel zur x 1 -x 2 -Ebene) Länge von Vektoren (Ähnliche Rechtecke!!) Abstand Punkt Ebene (Lotgerade) 2015 NT "Gartenpavillon" Koordinaten ablesen/bestimmen Ebenengleichung aufstellen, bis Koordinatengleichung ("volles Programm") Länge und Mittelpunkt einer Strecke Abstand Punkt Ebene Schnittgerade zweier Ebenen Winkel zwischen zwei Vektoren Projektion (Schattenpunkt) Gerade in x 1 -x 2 - Ebene 16

18 10 Übungsaufgaben Aufgabe 1 Überprüfen Sie, ob die Punkte A(101), B(3-42) und C(4-62,5) auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Fertigen Sie eine Skizze der Situation (kein Koordinatensystem) an. Aufgabe 2 E und F sind Kantenmittelpunkte. a) Geben Sie eine Gleichung der eingezeichneten Geraden g an. b) Geben Sie eine Gleichung der Strecke CE an. c) Schneiden sich die beiden Geraden g und h? Beschreiben Sie den Weg, wie Sie dies überprüfen. d) Berechnen Sie die Oberfläche und das Volumen des Prismas. Sie dürfen hier auch mit der Mittelstufenmathematik arbeiten. Aufgabe 3 Die Punkte A( ), B(37-8) und C(045) sind die Eckpunkte eines Dreiecks. a) Berechnen Sie die Innenwinkel, den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks. b) Das Dreieck ABC soll zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Punkt D zu wählen. Begründen Sie mit Hilfe einer geeigneten Skizze. Geben Sie für eine der Möglichkeiten die Koordinaten von D an. c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Diagonalen ihres Parallelogramms. Aufgabe 4 Ein Flugzeug hebt vom Punkt S( ) von der Startbahn ab (Koordinatensystem siehe Abbildung). Die Flugbahn für die ersten fünf Flugminuten kann durch die Gleichung beschrieben werden OX = t 1600 mit t [0; 5] (t: Flugzeit in Minuten nach Abheben am Punkt S, alle Angaben in der Einheit Meter ) a) Begründen Sie an Hand des Richtungsvektors der Flugkurve, dass sich das Flugzeug im Steigflug befindet. b) Wie weit ist das Flugzeug eine Minute nach dem Start vom Punkt S entfernt? Welche Geschwindigkeit hat das Flugzeug? c) Welche Höhe hat das Flugzeug nach 5 Minuten erreicht. 17

19 Aufgabe 5 Die Ebene e 1 enthält die Punkte A(2 3 1), B( 2 0 2) und C(0 6 3). a) Geben Sie eine Gleichung dieser Ebene in Normalenform an. b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen und skizzieren Sie die Ebene in einem Koordinatensystem des R³. c) Berechnen Sie den Abstand der Ebene zum Ursprung. Aufgabe Geben Sie die Gleichungen zweier nicht identischer Ebenen e 1 und e 2 an, die von der x 1 x 3 Ebene drei Längeneinheiten entfernt sind. Hierbei geben Sie die Gleichung von e 1 in Koordinatenform, die Gleichung von e 2 in Punkt-Richtungs-Form an. 6.2 Überprüfen Sie die Lagebeziehung der Geraden g und h bezüglich der Ebene e. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. 5 1 e: 3x - 2y + z = 3 g: OX = 4 + s (s, t R) 1 1 h: OX = 3 + t Untersuchen Sie die Lagebeziehung der beiden Ebenen zueinander. Bestimmen Sie der Lagebeziehung entsprechend ihren Abstand zueinander bzw. die Schnittgerade a) e 1 : OX = 8 + r 2 + s e 2 : 2 OX 15 = 0 0,5 Aufgabe 7 2 b) e 1 : 1 OX 3 = 0 e 2 : x 4x + x = 3 2 Gegeben ist die zur x 1 -x 2 -Ebene parallele Ebene e 1, die den Punkt A(2 3 1) enthält. Geben Sie Gleichungen derjenigen Ebenen an, die einen Abstand von 3 Längeneinheiten zur Ebene e 1 haben. Aufgabe 8 Gegeben sind die Punkte A( - 6 ; 8 ; 7 ), B( - 3 ; - 4 ; 4 ), C( 1 ; - 8 ; 6 ) und D( 9 ; - 4 ; - 2 ). a) Ermitteln Sie die Koordinatenform der Ebene e, die durch die drei Punkte A, B und C gegeben ist. (mögliches Ergebnis: 2x + y 2z = - 18) b) Geben Sie die Schnittpunkte S x, S y und S z der Ebene e mit den Koordinatenachsen an und zeichnen Sie das Dreieck S x S y S z in ein Koordinatensystem des R³ ein. 18

20 c) Zeigen Sie, dass der Punkt D außerhalb der Ebene e liegt und berechnen Sie den Abstand des Punktes D von der Ebene e. d) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D, den man durch Spiegelung des Punktes D an der Ebene e erhält. (Tipp: Skizze) e) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC sowie elementargeometrisch das Volumen der Dreieckspyramide, die das Dreieck ABC gemeinsam mit dem Punkt D bildet k f) Durch g : OX = 8 + t 2 2k mit t, k R, ist eine Geradenschar mit dem k gemeinsamen Punkt A gegeben. Zeigen Sie, dass alle Geraden der Schar in der Ebene e liegen. g) Entscheiden Sie, ob die Gerade durch A und C eine Gerade der obigen Geradenschar g k ist. Aufgabe 9 In einem räumlichen Koordinatensystem beschreibt die x 1 x 2 Ebene eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet. Die x 1 Achse weist in die Ostrichtung und die x 2 Achse in die Nordrichtung. Unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn im Punkt P steigt das Flugzeug F 1 näherungsweise geradlinig auf. 10,5 21 Die Flugbahn von F 1 verläuft auf der Geraden g: OX = 14 + s 28 mit s R ,2 4 Ein zweites Flugzeug F 2 bewegt sich entlang der Geraden h: OX = 9,6 + t 3 mit t R Die Längeneinheit ist 1 km. a) Beschreiben Sie die Himmelsrichtungen, in welche die beiden Flugzeuge fliegen. b) In welchem Punkt P hebt das Flugzeug F 1 ab? c) Geben Sie eine mögliche Gleichung der Geraden an, auf der sich die Start- und Landebahn in der Landschaft befindet. d) Die Start- und Landebahn ist 3 km lang. Der Abhebepunkt P befindet sich 500 m vor dem Ende der Bahn. Geben Sie eine Gleichung an, welche die Bahn beschreibt. (Stichwort: Strecke) e) Berechnen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn von F 1. f) In welcher Höhe fliegt das Flugzeug F 2? g) Das Flugzeug F 1 überfliegt in 6 km Höhe das Zentrum einer Stadt. Berechnen Sie den Abstand des Stadtzentrums vom Abhebepunkt P. h) Als F 1 in einer Wolkendecke verschwindet, hat es vom Abhebepunkt P einen Abstand von 37 km. In welcher Höhe über dem Erdboden befindet sich die Wolkendecke? i) Zeigen Sie, dass die beiden Flugzeuge auf den angegebenen Bahnen nicht kollidieren können. 19