Übungsaufgaben mit Lösungen Vektorgeometrie

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1 Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe Abitur Übungsaufgaben mit Lösungen Vektorgeometrie Videos Kostenlose egen mit Rechenw Seite.de auf Mathe Punkte, Geraden Ebenen Abstände berechnen Kreise Kugeln Pyramiden mehr Kostenlose Videos mit Rechenwegen auf Mathe-Seite.de

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3 Videos mit Lösungsweg [] Vektorgeometrie (Analytische Geometrie) [.] Punkte, Geraden Ebenen [..] Zeichnen im D-Koordinatensystem [] Zeichnen Sie A( ), B( -), C(- ), D( -). Zeichnen Sie die Vektoren AC, BC. AB, Wie entsteht AB BC aus AC? [] Ein Quader hat die Eckpunkte: A( ), C( ), H( ). Zeichen Sie den Quader in ein Koordinatensystem. Bestimmen Sie die restlichen Eckpunkte. [] Zeichnen Sie die Gerade g : [..] Mittelpunkte, Schwerpunkte, Richtungsvektoren [] A( ), B( - ), C(- -) Bestimmen Sie den Mittelpunkt MAB der Strecke AB. Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Bestimmen Sie die Verbindungsvektoren AC, BC. AB, Zeichnen Sie die Punkte A, B, C den Vektor AB ein. [] Gegeben ist das Dreieck PQR mit P( ), Q( - ), R(- -). Berechnen Sie die Koordinaten der Seitenmitten MPQ, MPR, MQR des Dreiecks PQR. Zeigen Sie: die Schwerpunkte der Dreiecke PQR M PQMPRMQR fallen zusammen [..] Parameterform von g aufstellen Stellen Sie eine Parameterform der Gerade auf, die durch die beiden Punkte geht: [] durch A( ) B( ) bzw. [] durch P( - 9) Q( ) bzw. durch C(- -) D(- ) durch R( ) S( ) [..] Erklärung der Ebenenformen (PF, KF, NF, HNF, AAF) Machen Sie sich klar, wie die verschiedenen Ebenenformen aussehen, wofür man sie verwendet welche Angaben zum Aufstellen notwendig sind. [] Parameterform (PF) [] Koordinatenform (KF) [] Normalenform (NF) [] Hesse-Normal-Form (HNF) [] Achsen-Abschnitts-Form (AAF) [..] Parameterform von E aufstellen Geben Sie eine Parameterform der Ebene E an, welche bestimmt ist durch: [] A( ), B( -), C( - -) [] A( - ), B( ) C( -) r + [] g : +r, h : x = +r [] P( -) g : [] g : +r, h : +r [] g : +r, h : x = + r [] P(- ) h : +r, [] g : + r h:

4 [..] Ebenenformen umwandeln (Parameterform in Koordinatenform) Geben Sie eine Koordinatenform der Ebene E an [],[],[] E : [],[],[9] E s r + + : + s [],[],[] E : s r + + [..] [] Tangentialebene: ETan :x +x+-, [] Tangentialebene: E Tan :x x -, [] Tangentialebene: E Tan :-x x+, [..] Ebenenformen umwandeln (Koordinatenform in Parameterform) Geben Sie eine Parameterform der Ebene E an [..] [] Öffnungswinkel: [] E : x+x [] E : x+x+ [] E : x+ [] E : x [] Öffnungswinkel: α=, Polarebene: EP : x+x, [] Polarebene: EP : x+x, [] E : x +x+ [..] Ebenenformen umwandeln (Koordinatenform in Normalenf. zurück) Wandeln Sie die angegebene Koordinatenform (KF) der Ebene E in Normalenform um. Wenn Sie erfolgreich waren, dürfen Sie Ihr Ergebnis wieder in KF umwandeln. [] x+x [] x+x+ [] x+x + [..9] Kreuzprodukt Geben Sie mithilfe des Kreuzprodukts denjenigen Vektor an, der auf den beiden angegeben Vektoren orthogonal (=senkrecht) steht. a= [] b=, a= [] b=, a= [] () b= () Bestimmen Sie mithilfe des Kreuzprodukts: [] [] [] [] Flächeninhalt des Dreiecks ABC: A( -), B( ), C( ) Flächeninhalt Parallelogramm ABCD: A( ), B( -), C( ), D( - ) Volumen der Pyramide: A(- ), B( ), C( ), S( ) Volumen der Pyramide: A(- ), B( ), C( ), D( -), S( 9) [..] [] VPyr= Polarebene: EP : x+x+, [] VPyr = [] VPyr= [..] [] VPyr=9 [] Spitzen: S( ), S( -) [] A( - ) B( ) C(- ) D(- - ) [..], [..] [] VPyr=, [] VPyr=, [..] [] t= [] t= t= [] t= (E (E (E (E : : : : x+x+) x+x+) x+x+) ) [] VPyr= + k : + μ + λ [] Schnittgerade: s : [] Egesucht [..] Spurpunkte, besondere Lage von Gerade Bestimmen Sie die Spurpunkte der Gerade g. Welche besondere Lage hat die Gerade im Raum? α=, ( mehrere Formen dieser Ebene sind möglich!) [..] [] r, P(, 9, -,); r= P(- - ) [] r= P( -); r=9 P( - ) [..] Spurpunkte, besondere Lage von Ebenen Bestimmen Sie die Spurpunkte der Ebene E. Welche besondere Lage hat die Ebene im Raum? [..] [] r= P( ); r= P( ) [] r= P( ); r= P( - ) [] E: x x+ [] E: x+x+ [] E: -x+ [] E: x [..] [] parallel: ü=/. g in E : unmöglich Schnittpkt: ü /. [] g : + t [] g : x = + t [] g : x = + t [] g : x = + t [..] Zeichnen von Ebenen Zeichnen Sie die Ebene mithilfe der Spurpunkte in ein Koordinatensystem ein. [] E: x x+ [] E: x Zeichnen Sie die beiden Ebenen in ein Koordinatensystem ein, zeichnen Sie auch die Schnittgerade der beiden Ebenen ohne weitere Rechnung ein. [] E: x+x+ F : x + [..] [] r= P( ); r=/ P(/ / /) [] parallel: a=. g in E : unmöglich Schnittpkt: a. [] parallel: unmöglich. g in E : unmöglich Schnittpkt: immer. [] keine Lösung

5 [..] [] (x )+(x )= [] (x )+(x )=9 [] Kreis wird beschrieben mit M(- ) r=. [..] [] Zwei Schnittpunkte: [] Zwei Schnittpunkte: [] Zwei Schnittpunkte: [.] Schnittmengen [..] Gegenseitige Lage von Geraden / Schnitt von Geraden Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g h. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. S( ) S(- ) S( ) S( ) S(- -) S(- ) [..] [] Schnittgerade: s:y=-x+, [] Schnittgerade: s:y=x, [] Schnittgerade: s:y= x+ [] g : Zwei Schnittpunkte: S( ) S( ) Zwei Schnittpunkte: S( ) S( ) Zwei Schnittpunkte: S( ) S( ) [..] [] K : (x )+(x )+(x ) = [] K : (x )+(x )+(x+)=9 [] K : (x )+(x+)+(x )= E: x x +x = [] g : E: x +x +x = [] g : E: -x +x +x = M*( ), r*= M*(- ), r = M* 9, r*, ( ) [] d(k,g)= [] E: [] E: [] E: [] E: x+x x x+ x+x+ x+x+x = E : E : E : E : x+x -x+x - x+x+ x+x - [.] Abstände [..] [] P liegt im Inneren von K [] P liegt außerhalb von K, d(k,p), [] P liegt genau auf K ) + r ) + r ) + r ) + r [..] Gegenseitige Lage von Ebenen / Schnitt Ebene-Ebene Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E E. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade. [] Schnittebene: E:x +x+-, [..] [] d(k,k)= [] d(k,k)= + r ( h: ( h : ( h : ( h : () [] g : [] g : [] g : [] g : r*= r*= r*= [..] [] Schnittebene: E:x x -, [] Schnittebene: E:x +x+, [..] [] d(k,g), + r [..] Gegenseitige Lage von Gerade Ebene / Schnitt Ebene-Gerade Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g der Ebene E. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. [..] [] S( - ) S( - ) [] keine Schnittpunkte [] Berührpunkt B( ) [..9] [] M*( ) [] M*( ) [] M*( -) () () [..] Abstand zweier Punkte Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte. [] A( - ), B( ) [] d(k,g)= [] P( ), Q( -) [..,..,..,..] Abstand Punkt-Gerade Bestimmen Sie den Abstand von der Gerade zum angegebenen Punkt. A( ) [] g : Z( 9) [] g : [] d(k,k)= [die Kugeln berühren sich] [] C(- ), D( ) [] g : P(- -)

6 [..] Abstand Punkt-Ebene über Lotgerade [..], [..], [..], [..] [] d( A,g)=, [] d(p,g)= Welcher Punkt der Ebene E vom Punkt P den geringsten Abstand? Wie groß ist dieser Abstand? [] P( - ) E: x x+x = -9 [] P( ) E: -x+x+x = [] P( ) E: x x x = [] d(z,g)=9 [..] [] d(e,p)=9 [] d(e,p)= [] d(e,p)= [..] Abstand Punkt-Ebene über HNF Welcher Punkt der Ebene E vom Punkt P den geringsten Abstand? Verwenden Sie die Methode über die Hesse-Normal-Form? [..] [] d(e,p), [] d(e,p)= [] d(e,p)= [] P( - ) E: x x+x = -9 [] P( ) E: -x+x+x = [..] [] d(g,h), [] d(e,g), [] d(e,e)= [..9] [] d(g,h)= [] d(g,h)= [] d(g,h), [..] [] d(g,h)= [] d(g,h)= [] d(g,h)=, [..] [] A*(9 ) [] A( ) [] P*(- ) [..] [] P(- - ) [] B*(9 ) [] P*(- - -9) [..] [] P*( -9 -) [] Q*( ) [] R*( ) [..] [] α, [] P( ) E: x x x = [..] Abstand von zwei parallelen Objekten Weisen Sie nach, dass beide angegebenen Objekte parallel sind. Wie groß ist deren Abstand? + r + r () [] g : () [] g : h : r + E: x +x x = [] E: x+x x = 9 E: x+x x = [..9,..] Abstand zweier windschiefen Geraden Wie groß ist der Abstand der beiden windschiefen Geraden? + r + r + r () [] g : () [] g : () [] g : + r + r + r () h : () () h: () h : [.] Spiegeln [..] Spiegeln von Punkt an Punkt Spiegeln Sie den einen Punkt am zweiten. [] A( ) an S( ) [] B(- ) an P( ) [] P( -) an Z( ) [..] Spiegeln von Punkt an Gerade Spiegeln Sie den Punkt an der angegebenen Gerade [] C( ) r t + an g : + [] A( -) an g : [] B( -) an g : t + [..] Spiegeln von Punkt an Ebene Spiegeln Sie den Punkt an der angegebenen Ebene E [] P( ) an E: -x+x+x =-9 [] Q( - ) an E: x x+ [] R( ) an E : -x+x+ [] α, β, β=δ, [] α, [] α=γ, [..] [] a b= [] a b= = [] u v [..] [] D( ) [] A( - ) [] C( ) [] [..] [] P liegt im Inneren [] D liegt im Inneren α= γ 9, [] α 9, [] P liegt nicht im Inneren [] D liegt im Inneren [..] [] A = [] A, [] A =9 [..] [] A,9 [] A, [] A =,

7 [..] Spiegeln von diversem Zeug Erläutern Sie, wie man vorgeht, um folgende Spiegelungen durchzuführen [..] [] S( ) [] S( ) [] S(- ) [] S--- S( - ) S( ) S--S( ) [] S--S( ) S( -) x [] Gerade an Punkt [] Gerade an Gerade [] Gerade an Ebene x x x [..] Winkelberechnung Bestimmen Sie die angegebenen Winkel x E x F : S( ) S --S( ) h h h h E s a= [] [..] [] d(a,b)= E E schneiden sich in g : E E schneiden sich in g :, b= [] D so, dass ABCD mit [] A so, dass ABCD mit [] C so, dass ABCD mit [..] [] E E sind parallel [] E E sind identisch [] a= [], b= () u= [] () v= mit A( ), B( -), C(- ) ein Parallelogramm ist. B( -), C( ), D( ) ein Reckteck ist. A(- ), B( ), D(- ) ein Quadrat ist. [..] Liegt ein Punkt im Inneren eines Dreiecks Parallelogramms? [] Liegt P( ) im Inneren des Parallelogramms ABCD mit A( ), B( -), C( ) D( - )? [] Liegt P( - ) im Inneren des Quadrats ABCD mit A(- ), B( ), C( ) D(- )? [] Liegt D( ) im Inneren des Dreiecks ABC mit A(- ), B( ) C( )? [] Liegt D( -) im Inneren des Dreiecks ABC mit A( -), B( ) C(- -)? [..] Dreiecksfläche Bestimme den Flächenhalt des Dreiecks ABC über die Flächeinhaltsformel A=½ g h (Sie erhalten hier bessere Zahlen, wenn Sie die Seite AB als Grseite verwenden.) [] d(c,d)= [..] Der vierte Punkt eines Parallelogramms Bestimmen Sie: sind windschief schneiden sich in S( ) sind parallel sind identisch [..] [] E enthält g [] E g schneiden sich in S( ) [] E g sind parallel [] [..] Skalarprodukt Bestimmen Sie das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Stehen die Vektoren senkrecht aufeinander? x F x [] Winkel zwischen E : x +x x = E : x x+x = [] Innenwinkel im Dreieck ABC mit A( ), B( -), C(- ) [] Innenwinkel im Parallellogramm ABCD mit den Eckpunkten A(- ), B( ), C( - ) D( - ). x [] E : S( ) S( ) S( ) h : x = [] Winkel zwischen g : h : x = [] Winkel zwischen E : x +x x = g : [] Winkel zwischen g : [..] [] g [] g [] g [] g [] Ebene an Punkt [] Ebene an Gerade [] Ebene an Ebene [.] Diverses Zeug [..] [] S( ) S( - ) S( ) E S( ) S( ) S( ) S( -) [] d(p,q)= [] A(- ), B( - ) C( ). [] A( - ), B( ) C( - ) [] A( - -), B(- ) C(- )

8 [..] Dreiecksfläche Bestimme den Flächenhalt des Dreiecks mithilfe des Kreuzproduktes (=Vektorprodukt) []A(- - ), B( 9 ) C(- ) [] A( - ), B(- 9 -) C( ) [] A(- ), B( ) C( -) [] Eg,h [] Eg,h [.] Kreise Kugeln [] E g,h [..] Allgemeines zur Kreisgleichung [] Stelle eine Kreisgleichung auf mit M( ) r=. [] Welcher Kreis hat M( ) als Mittelpunkt geht durch P(- -)? [] Beschreibt x²+x²+x x+9= einen Kreis? [..] Schnitt Kreis-Gerade Untersuchen Sie, ob sich der Kreis K die Gerade g schneiden. Geben Sie ggf die Schnittpunkte an. [] K : (x ) +(y+) = [] K : (x+)+(y )= [] K : (x+)+(y )=9 g : y = x+ g : y =-x+ Gerade durch A( -) B(- -) [..] Schnitt von zwei Kreisen Untersuchen Sie, ob sich die beiden Kreise schneiden. Geben Sie ggf. die Schnittpunkte an. [] K : (x+)+(y )= [] K : (x+)+(y )= [] K : (x )+(y ) = K : (x )+(y ) = K : (x )+y= K : (x+)+(y )= [..] Allgemeines zur Kugelgleichung [] Stelle eine Kugelgleichung auf mit M( ) r=. [] Welche Kugel hat M( -) als Mittelpunkt geht durch P( -)? [] Beschreibt x ²+x²+x² x+x - eine Kugel? [..] Schnitt Kugel-Gerade Untersuchen Sie, ob sich die Kugel K die Gerade g schneiden. Geben Sie gegebenfalls die Schnittpunkte an. [] K : (x )+(x+)+(x )= [ ] x [] K : = [] K : (x+)+(x )+(x+)= r r r + g : + g : + g : [..9] Schnitt Kugel-Ebene Untersuchen Sie, ob sich die Kugel K die Ebene E schneiden. Geben Sie ggf. den Mittelpunkt den Radius des Schnittkreises an. [] K : (x )+(x )+(x )= [] K : (x )+(x 9)+(x ) = [] K : (x )+(x )+(x+)= E : x x x = - E : x+x+9 E : x+x+x = + s = :x + s = :x + s : x = + s = [] Eg,h : x [..] [], [], []: -x x+- [], [], []: x+x+ [], [], [9]: -x+x+ [..] / / / + s : x = + s Eg,h : x = Eg,h + s ( Vielfache) ( Vielfache) ( Vielfache) + s []: E : + s []: E : + s []: E : + s []: E : + s []: E : Eg,h : x = ( viele andere Varianten) ( viele andere Varianten) / / ( viele andere Varianten) ( viele andere Varianten) ( viele andere Varianten) [..] [ ] x []: E : [..9] = [ ] x = []: E : () n= []: () n= []: n= []: [..] [] S --[] S ( ) [] S (- - ) [] S (- ) S( ) S--S(- ) S(- -) S( ) S( ) S( ) S(,) []: E : [ x ] =

9 Lösungen der Aufgaben Vektorgeometrie [..] [] x [] AC A G x D E F C x BC AB x B( ) D( ) E( ) F( ) G( ) C x H [..] Schnitt zweier Kugeln Untersuchen Sie, ob sich die beiden Kugeln schneiden. Geben Sie gegebenfalls den Mittelpunkt den Radius des Schnittkreises an. A B=D BC = - AB + AC B x g x [..] [] MAB( -, ) B S( ) AC = AB = [] MPQ ( -, ) MPR( -) MQR(, ) x A g CD [] g PQ g RS 9 : x = : : [] g AB : g CD g PQ grs : x = : : gab : [] E ABC [] EPg [] E Ph + s : + s : + s : + s... E ABC E Ph (vergl:...,...,...) (vergl.:...,...,...) (vergl.:...,...,...)... [] K : (x )+(x )+(x ) = [] K : x+(x )+(x ) = 9 [] K : (x )+(x )+(x+)= K:(x+)+(x )+(x+)=9 K:(x )+(x )+(x+)= K:(x+)+(x )+(x+)= [..] Tangentialebene Bestimmen Sie die Tangentialebene E Tan an die Kugel K im Berührpunkt B. + s ( : + s ( : + s ( : + s ( E ABC : EPg [] K:(x )+(x )+(x )= [] K:(x+)+(x )+(x )= [] K:(x+)+(x )+ [..] [] E ABC : P K? P K? [..] Abstand zweier Kugeln Bestimmen Sie den Abstand der beiden Kugeln voneinander. C x [..] P( - ) P( - ) P( -), K:(x ) +(x ) +(x ) = [] g :, K:(x +) +(x ) +(x +) =9 [] g :, K:(x ) +(x ) +(x 9) = [] g : x AB [..] Punkt Kugel Liegt der Punkt P innerhalb außerhalb der Kugel K. Wie groß ist der Abstand? [..] Abstand Gerade-Kugel Bestimmen Sie den Abstand der Kugel K von der Gerade g. x K:(x )+x+(x )=9 K:(x+9)+(x )+(x )= K:(x )+(x )+(x+)= [] K:(x )+(x )+(x )=, [] K : x+(x )+(x ) = [] K : (x )+(x )+(x+)= x [] [] K:(x )+(x )+(x )= [] K:(x )+(x )+(x )= [] K:(x )+(x )+(x+)= ) ) ) ) B(- - -) B( c) B(a ) [..] Polarkreis / Polarebene Vom Punkt P werden Tangenten an die Kugel K gelegt. Wie groß ist der Öffnungswinkel des Kegels? In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte? [] K : (x )+(x )+(x ) = [] K : x+(x )+(x ) = P(- - -) P( -) In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte? [] K : (x +)+(x )+(x+)=9 P( - ) [..] Umkugel: finden Sie in Kapitel [.9.] [..9] Inkugel: finden Sie in Kapitel [.9.] 9 mit c< mit a<

10 [.] Pyramiden [..] Pyramide zwischen Ebene den Koordinatenebenen Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide, die von der Ebene E den Koordinatenebenen gebildet wird. [] E : x+x+x = [] E : -x+x+x = [] E : x+x+x = [..] Punkt einer Gerade mit bestimmten Abstand zu einem Punkt Bestimmen alle die Punkte der Gerade g, die zum Punkt P den Abstand d besitzen., [] g :, [] g : A( ), d=. A( ), d=. [..] Senkrechte, quadratische Pyramide [..] Lage von Gerade Ebene in Abhängigkeit vom Parameter [] Bestimmen Sie das Volumen der senkrechten, quadratischen Pyramide ABCDS mit A(- - ), B( - ), C( ), D(- ) S( ). [] Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze der senkrechten, quadratischen Pyramide mit den Eckpunkten der Grfläche in A( ), B( ), C( ), D( ) dem Volumen von V=. [] Bestimmen Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte der senkrechten, quadratischen Pyramide ABCDS mit der Spitze in S( ) dem Volumen von V=, wenn die Grfläche in der xx-ebene liegt. [] Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade g : [..,..] Volumen einer dreiseitigen Pyramide Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide mit den Eckpunkten A, B, C D. [] A(- ), B( ), C( ), D( ) [] A(- ), B( - ), C( -), D( ) [] A( ), B( - ), C( ), D(9 ) der Ebene E : x +x+ in Abhängigkeit von ü. [] Für welche Werte von a sind g : x = r +. Eine einzige dieser rotierenden Ebenen kann nicht durch Et beschrieben werden. Bestimmen Sie deren Gleichung. [..] Punkt einer Gerade mit bestimmten Abstand zu einer Ebene Bestimmen alle die Punkte der Gerade g, die zur Ebene E den Abstand d besitzen. [] g : [] g : x = +, E : x +x x =,, E : x +x x =, + y [..] Punkt einer Gerade bildet rechten Winkel mit zwei anderen Punkten [] Welcher Punkt G der Gerade g : bildet mit A( ) bildet mit A( -) B( ) ein Dreieck, welches in A einen rechten Winkel hat? [] Welche Ebene der Schar E t : tx +tx +t+ hat vom Punkt P( ) den Abstand d=? [] Welche Ebene der Schar E t : tx+t+ schließt mit der Ebene F : x einen Winkel von ein? [] Alle Ebenen der Schar E t : tx+tx+t+ haben eine gemeinsame Schnittgerade s. Bestimmen Sie eine Gleichung von s. [] Die Ebenen der Schar E t : tx+tx+t+ rotieren alle um die Gerade r r E: x+ax+ parallel? der Ebene E : x +x+ in Abhängigkeit von y. [] Welche Punkt T der Gerade g : [] Welche Ebene der Schar E t : tx +tx +t+ enthält A( -)? ü B( ) ein im G-Punkt rechtwinkliges Dreieck? [..] Ebenenscharen s : [] Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade g : [.] Parameter [.9] Anwendungsaufgaben [.9.] Senkrechte Projektionen Bestimmen Sie die senkrechte Projektion vom Punkt A der Gerade g auf die angegebene Koordinatenebene. [] A( ) g : [] A( ) g : auf die x-x-ebene. auf die x-x-ebene. [.9.] Schattenaufgaben (schiefe Projektionen) Bestimmen Sie die senkrechte Projektion vom Punkt A der Gerade g auf die angegebene Koordinatenebene. d=. [] Im Punkt B( ) befindet sich ein m hoher Mast, der von einer Lampe beschienen wird, die sich im Punkt L( - 9) befindet. Wie lang ist der entstehende Schatten? d=. v= [] Im Punkt B( ) befindet sich ein m hoher Mast. Aus der Richtung fällt Sonnenlicht auf den Mast. Wie lang ist der entstehende Schatten?