Tag der Mathematik 2007

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1 Tag der Mathematik 2007 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Speed-Wettbewerb Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Aufgaben bitte nur auf den Aufgabenblättern bearbeiten und abgeben!

2 Aufgabe G1 (8 Punkte) In ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge a wird ein gleichseitiges Dreieck so eingezeichnet, dass die Ecken die Mitte der Sechsecksseiten sind. Wie groß ist das Verhältnis der Flächeninhalte von Dreieck und Sechseck? Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Der Flächeninhalt des Sechsecks ist: 6 a2 3 4 Für die Mittelparallele EG des Trapezes ABCD gilt Die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ist: Also ist das gesuchte Verhältnis: EG = 1 2 (AB + CD) = 1 2 (a + 2a) = 3 2 a ( ) a 3 ( 1 3 a) = 3 6 a

3 Aufgabe G2 (8 Punkte) Gegeben ist ein Viereck ABCD mit AD = 5, BC = 8, A = 70, B = 50. Seien P und R die Seitenmitten von AB bzw. CD, sowie Q und S die Mittelpunkte der Diagonalen BD bzw. AC. Wie groß ist die Fläche des Parallelogramms PQRS? RS = 1 2 AD = 5 2 QR = 1 2 BC = 4 SRQ = = 60 Fläche: RS QR sin 60 = 5 3

4 Aufgabe G3 (8 Punkte) Die fünf Gebiete A, B, C, D und E sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Gebiete verschiedene Farben haben. a) Wenn man 4 Farben hat, auf wie viele Arten kann man färben? b) Auf wie viele Arten kann man mit 5 Farben färben? Hinweis: Es ist nicht erforderlich, alle Farben zu benutzen. a) A, B, C können auf Arten gefärbt werden. D und B haben (i) gleiche Färbung: 2 Farben für E (ii) verschiedene Färbung: 1 Farbe für E Also gibt es (2 + 1) = 72 Färbungen. b) A, B, C können auf Arten gefärbt werden. D und B haben (i) gleiche Farbe: 3 Farben für E (ii) verschiedene Farbe: 2 Farbe für E und 2 für D. Also gibt es ( ) = 420 Färbungen.

5 Aufgabe G4 (8 Punkte) [ x Für 1 x 45 sei f(x) = 7] [ ] 37. x Wie viele verschiedene Werte kann f annehmen? Hinweis: [x] ist die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x. Zum Beispiel: [1, 9] = 1, [2] = 2, [ 1 5 ] = 0 [ x 7 ] [ ] 37 x f(x) 1 x < x < , 4, 3, 2 5, 4, 3, 2 14 x < , 1 4, 2 21 x < x < x < x f(x) kann die Werte 0, 2, 3, 4, 5 annehmen.

6 Aufgabe E1 (8 Punkte) Man kann auf folgende Weise eine Spirale bilden: An einen Halbkreis mit Radius r wird ein zweiter Halbkreis mit halbem Radius angesetzt usw. Wie lang ist die gesamte Spirale? (Hinweis: für x < 1 gilt 1+x+x 2 +x 3 = 1 1 x ) Die Länge der Spirale ist: πr + π r 2 + πr 4 + +πr 8 + = πr ( ( 1 2) 2 + ( ) 3 ( ) ) = πr = 2πr 2

7 Aufgabe E2 (8 Punkte) Alle Punkte (x y) im Koordinatensystem mit x + y 1 bilden ein Quadrat der Fläche 2 (siehe Abbildung). Alle Punkte (x y) mit x 1 + y 1 2 bilden auch ein Vieleck. a) Wie viele Seiten hat dieses Vieleck? b) Wie groß ist seine Fläche? Das Vieleck ist symmetrisch zur x- und y-achse, daher reicht es, das Vieleck im 1. Quadranten zu untersuchen. Dort ist x = x und y = y. Also gilt x 1 + y 1 2. Dies ist ein Verschiebung von x + y 2. a) Das Polygon hat 12 Seiten. b) Die Fläche ist 24.

8 Aufgabe E3 (8 Punkte) Wirft man einem Hund einen Stock ins Wasser, den er apportieren soll, so beobachtet man Folgendes: Der Hund läuft von A aus erst ein Stück am Ufer entlang bis zu einem Punkt D und schwimmt von dort aus zum Stock bei B, um ihn aufzunehmen. An welcher Stelle D muss der Hund ins Wasser springen, wenn er den Stock schnellstmöglich erreichen will? Die kürzeste Strecke zwischen Stock und Ufer ist BC. Rechnen Sie mit folgenden Werten: Geschwindigkeit des Hundes an Land: v L = 10 m, s Geschwindigkeit des Hundes im Wasser: v W = 2 m, s AC = BC = 20m Gesamtzeit t = t L +t W = AD v L + DB v W Aus t = x 2 x = 0 folgt x = 5x, also ist 24x 2 = 400. = 20 x x Näherungsweise gilt x 2 16, d.h. x 4 Der Hund muss also ca. 4m vor C ins Wasser springen.

9 Aufgabe S1 (3 Punkte) Aus einem regelmäßigen Sechseck werden gleichschenkligrechtwinklige Dreiecke ausgeschnitten. Übrig bleibt ein Stern (siehe Abbildung). Wie groß ist der Winkel β an der Spitze des Sterns? 1. Summe der Innenwinkel beim Sechseck: (6 2) 180 = 720 Innenwinkel des regelmäßigen Sechsecks: 720 : 6 = 120 β = = β = 360 ( ) = 30

10 Aufgabe S2 (3 Punkte) In jedem der 25 Quadrate steht eine Ziffer, und zwar sollen in jeder Zeile und jeder Spalte die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 genau einmal vorkommen. Welche Ziffer steht in der rechten unteren Ecke? Die letzte Zahl in der 1. Spalte muss 5 sein. In der letzten Zeile kann 3 nicht an 2., 3. oder 4. Stelle stehen, also muss 3 an der letzten Stelle stehen.

11 Aufgabe S3 (3 Punkte) Auf wie viele Arten kann das Quadrat an die L-förmige Figur so angesetzt werden, dass eine Figur mit einer Symmetrieachse entsteht? Auf drei Arten:

12 Aufgabe S4 (3 Punkte) Wie viele Teiler hat 60 5? Es gilt 60 5 = ( ) 5 = , also gibt es (10 + 1) (5 + 1) (5 + 1) = 396 Teiler.

13 Aufgabe S5 (3 Punkte) Berechnen Sie die Länge der kürzesten Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13. Das Dreieck ist rechtwinklig (13 2 = ), also gilt für die gesuchte Höhe h: 13 h = 5 12, somit ist h =

14 Aufgabe S6 (3 Punkte) Berechne x, wenn gilt (x!)! x! = 120. Aus (x!)! x! = (x! 1)! und 120 = = 5! folgt x! 1 = 5, also x = 3.