3. Mathematikschulaufgabe

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1 Arbeitszeit 40min 1.0 Gegeben sind die Punkte A (-I1) und B (6I-1), sowie die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 3. Führe die folgenden Berechnungen jeweils auf zwei Stellen gerundet aus. 1.1 Berechne den Abstand d(b; g) des Punktes B von der Geraden g. 1. Berechne das Maß γ 1 des Winkels AC 1 B mit C 1 (5 I 5,5) auf g. 1.3 Berechne die Koordinaten des Punktes C auf g, so daß das Dreieck bei B rechtwinklig ist.. Im Dreieck ABC mit A (-1I0) und C(I5) gilt [AB] = 8 LE und [BC] = 4 LE. Berechne die Innenwinkel und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC (auf zwei Stellen nach dem Komma runden). 3.0 Im Dreieck ABC gilt [AB] = c = 6cm. Der Winkel CBA hat das Maß β = Zeige, daß für die Länge a(α) der Seite [BC] gilt: a( α) = 6 sinα cm sin( α + 60 ) 3. Mit welchem Winkelmaß für α erhält man eine Seite [BC] mit a = 8cm Länge? Runde auf zwei Stellen nach dem Komma. 3.3 Das Dreieck ABC mit α = 30 rotiert um AB als Achse. Berechne, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet, das Volumen V des entstehenden Doppelkegels. RM_A000 **** Lösung 4 Seiten

2 1. Löse folgende goniometrische Gleichung in der Grundmenge G = ] 180 ; 70 ] sin α 1+ cosα tanα cosα = Im Viereck ABCD sind folgende Maße bekannt: a = 6,5 cm; e = 8,4 cm; α = 64,6 ; β = 84,8 ; γ = 71,5. Berechne die Seiten b, c, d, den Winkel δ und die Diagonale f ( = BD ). 3.1 Eine Pyramide ABCDS mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche und AB = 6 cm ist gegeben. Die Pyramidenspitze S liegt senkrecht über A, dabei gilt AS = 6 cm. Zeichne mit q = 0,5 und ω = 45 ein Schrägbild der Pyramide. 3. Ein Punkt bewegt sich auf der Seitenkante [CS] von C nach S. Die Dreiecke DBP schließen mit der Grundfläche die Winkel CMP mit dem Maß ϕ ein, wobei M der Schnittpunkt der Diagonalen [AC] und [BD] ist. Zeichne ein Dreieck DBP in das Schrägbild zu 3.1 ein und berechne den Flächeninhalt A(ϕ) der Dreiecke DBP in Abhängigkeit von ϕ. (Ergebnis: A(ϕ) = 9 1 sin( 45 ) ϕ + cm ) 3.3 Ermittle das Winkelmaß ϕ 0 für das flächenkleinste Dreieck DBP. 3.4 Die Winkel MBP haben das Maß α. Stelle α in Abhängigkeit von ϕ dar und zeichne den zugehörigen Graphen. Für welchen Wert von ϕ nimmt α einen Extremwert an? (Teilergebnis: tanα = sin45 sin(45 +ϕ) oder tanα = 1 sin( ϕ + 45 ) ) RM_A0004 **** Lösungen 4 Seiten

3 1.0 Gegeben sind die Dreiecke AB n C mit α = 45 und AC = 8 cm. 1.1 Zeichnen Sie das Dreieck AB 1 C für β = 50. Bestimmen Sie a= B n C in Abhängigkeit von β. 1. Ermitteln Sie rechnerisch das Intervall für β so, daß a < 8 cm gilt. Berechnen Sie β für a = 7 cm. 1.3 Geben Sie den Flächeninhalt A der Dreiecke AB n C in Abhängigkeit von β an. 3 Berechnen Sie β, wenn A(β) = 16 ( + 1)cm. 3 1 Teilergebnis: A(β) = 16 sin( 135 β) (sin β) cm t t.0 Gegeben sind die Pfeile OB = und OD = ( t 33 ) + mit t und O (0/0). Die Punkte B liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y = - 3, die Punkte D auf der Parabel p mit der Gleichung y = (x - )..1 Zeichnen Sie die Pfeile OB und OD für t { ; 3; 4 } sowie die Gerade g und die Parabel p in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie den Winkel γ, den die Pfeile für t = und t = 5 einschließen.. Für welche Werte von t stehen die Pfeile OB und OD senkrecht zueinander? Zeichnen Sie die Pfeile OB ein..3 Die beiden Pfeile legen Parallelogramme OBCD fest. Geben Sie die Gleichung des Graphen an, auf dem die Punkte C liegen. sinα 3.0 Die Pfeile OA = 1 und OB = spannen Dreiecke mit den ( sinα) 3 Eckpunkten O, A und B auf für α ] 0 ; 90 [. 3.1 Zeichnen Sie die Dreiecke für α { 15 ; 30 ; 45 ; 60 }. (für die Zeichnung: 1LE cm) 3. Für welches α ergeben sich rechtwinklige Dreiecke mit der Hypothenuse [AB]? 3.3 Berechnen Sie die Länge des Vektors OA in Abhängigkeit von α. Für welches α beträgt seine Länge cm? Quellen: Nr. 1.0 bis 1.3 siehe Abschlußprüfung Bayern 1981 Gruppe A Nr..0 bis.3 siehe Abschlußprüfung Bayern 1979 Gruppe B RM_A0005 **** Lösungen 3 Seiten

4 Arbeitszeit: 60 Minuten 1.0 Gegeben ist das Tetraeder ABCD mit der Kantenlänge 10cm. Auf der Kante [BD] befindet sich der Punkt P, auf der Kante [CD] der Punkt Q. Weiterhin gilt PQ II BC. Die Länge der Strecke [PB] wird mit x bezeichnet. 1.1 Zeichne ein Schrägbild des Tetraeders mit ω = 60, q = 0,5 und AB als Rißachse. 1. Berechne die Länge der Srecke [AP] in Abhängigkeit von x. 1.3 Berechne die Länge der Srecke [PQ] in Abhängigkeit von x. 1.4 Berechne den Winkel PAQ für x = 4cm..0 Die beiden Geraden g 1 : y = x - 3 und g : y = x schneiden sich im Punkt (3/3)..1 Berechne den kleineren Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden.. g 1 wird jetzt an g gespiegelt. Berechne die Gleichung der Bildgeraden. 3. Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung: (1 + tanα) = 4 tanα α < Gegeben ist die Gerade g: y = 1 x 4.1 g wird um 60 gedreht. Das Drehzentrum ist der Koordinatenursprung. Berechne die Gleichung der gedrehten Geraden. 4. Berechne den Abstand der Geraden g vom Punkt (0/5). RM_A0006 **** Lösungen 3 Seiten

5 1.0 Die Punkte A ( - 3 / 4 ), B ( 0 / 0 ) und C ( 8 / 6 ) sind Eckpunkte des Dreiecks ABC. 1.1 Zeichne das Dreieck und berechne die Polarkoordinaten des Punktes A. 1. Berechne das Maß α des Winkels BAC. 1.3 Berechne die Fläche des Dreiecks ABC. 1.4 Berechne die Höhe h = d(b; AC)..0 Bestimme das Bogenmaß x mit x [0; π]..1 cos x - 0,49 = -1,083. sin x +,9 =, In der nachfolgenden Zeichnung sind gegeben: c = [AB] = 6,5cm α = 8 15 ε = 43 4 sinα sinε 3.1 Zeige, daß gilt: d = [CD] = c sin( ε α) 3. Berechne d = [CD]. 3.3 Berechne e = [BD]. siehe Blatt RM_A0007 **** Lösungen 5 Seiten 1 ()

6 4.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 7cm ist Grundfläche einer 9cm hohen geraden Pyramide. 4.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 0,5 und ω = 45. Die Seite [CD] liegt auf der Rißachse s. 4. Berechne das Maß α des Neigungswinkels einer Seitenkante gegen die Grundfläche. 4.3 Berechne das Maß β des Neigungswinkels einer Seitenfläche gegen die Grundfläche. 5.0 Die Hypotenuse [AC] von rechtwinkligen Dreiecken ABC ist 6 cm lang. Der Winkel BAC hat das Maß α. (siehe Zeichnung) 5.1 Stelle den Flächeninhalt A(α) der Dreiecke ABC in Abhängigkeit vom Maß α des Basiswinkels dar. 5. Das Dreieck ABC rotiert mit BC als Achse. Berechne das Volumen V des entstehenden Rotationskörpers für α = 60. RM_A0007 **** Lösungen 5 Seiten ()

7 1. Löse folgende goniometrische Gleichung nach Bestimmung der Definitionsmenge. cosα sinα = 4 G = [ 0 ; 360 [ sinα cosα.0 Gegeben sind die beiden Vektoren c = und b 4 = Bestimme den spitzen Winkel α, den diese beiden Vektoren miteinander bilden.. Berechne in dem von den beiden Vektoren aufgespannten Dreieck alle Seitenlängen und Winkel. 3. Gegeben ist der Punkt P (1/1). R ist ein beliebiger Punkt auf der x-achse. Wo liegen alle Punkte S, die dieselbe Koordinate wie R haben und für die gilt: PR PS? 4.0 Gegeben ist ein Tetraeder mit der Kantenlänge a. Das Tetraeder wird von einer Ebene geschnitten, die die Kante [BC] enthält (siehe Zeichnung). 4.1 Berechne den Umfang der Schnittfigur in Abhängigkeit von der Kantenlänge a ε= PBA; P [AS] und dem Maß des Winkels ε. ( ) Ergebnis: u a 3 = a+ sinε + 3 cosε 4. Ermittle den minimalen Umfang u. RM_A0008 **** Lösungen 3 Seiten

8 Arbeitszeit 10 Minuten 1.0 Die Pfeile OA 4 sin α = und OC = 1 mit α ] 0 ; 90 ] 1 sin α spannen Parallelogramme OABC mit O (0/0) auf. 1.1 Berechne für α { 15 ; 5 ; 65 } die Koordinaten der Pfeile OA und zeichne die zugehörigen Parallelogramme in ein Koordinatensystem. Berechne dann die Koordinaten der Punkte B in Abhängigkeit von α. Für die Zeichnung: 1 LE cm; - 3 LE < x < 4 LE; 0 < y < 5 LE 1. Berechne α so, daß OABC ein Rechteck ist. 1.3 Ermittle die Gleichung des Trägergraphen der Punkte A. 1.4 Bestimme die Länge der Pfeile OA zunächst allgemein in Abhängigkeit von α und dann für α = 45. Berechne für letzteren Fall das Maß ϕ des Winkels zwischen den Pfeilen OA und OC. 1.5 Berechne die Koordinaten des Pfeiles OA `, der aus OA bei einer Drehung um O mit dem Drehwinkel +90 hervorgeht. Zeige mit dessen Hilfe, daß unter den Parallelogrammen OABC kein Quadrat ist. 1.6 Berechne für ϕ = 63, (Maß des Winkels zw. OA und OC ) den zugehörigen Wert für α..0 Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit den Kathetenlängen AC = 8 cm und BC = 6 cm wandert ein Punkt P auf [AB]..1 Zeichne das Dreieck ABC und P für AP = 5 cm. Bestimme die Grenzen für das Maß ε des Winkels PCB.. Berechne [PC] = x cm in Abhängigkeit von ε. (Ergebnis: x =.3 Für welchen Wert von ε wird x minimal?.4 Für welchen Wert von ε gilt x = 5?.5 Berechne ein Intervall für das Maß ε, so daß x < 7 gilt..6 Berechne [AP] = y cm in Abhängigkeit von x..7 Bestimme aus.6 den minimalen Wert für x..8 Zeige, daß für das Maß ϕ des CPA gilt: (Hinweis: zweimal Kosinussatz) cosϕ=.9 Zeige, daß für y = 3x keine Dreiecke APC existieren. y 6,4 y 1,8y+ 64 4,8 sin(16,87 ε) ) Quelle: Nr. 1.0 bis 1.6 teilw. gemäß Abschlussprüfung Bayern 1981 Gruppe A RM_A0009 **** Lösungen 6 Seiten

9 Zeit: 60 Minuten 1.0 In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei A ist AC = 6 cm und h a = 4,8 cm. 1.1 Konstruiere das Dreieck. Fertige zuerst eine Planfigur, in die alle bekannten Strecken und Winkel eingezeichnet sind (Farbe!). 1. Berechne die fehlenden Seiten und Winkel und gib die Länge des Umkreisradius an..0 Zeichne die Geraden g 1 mit y = 1,5 x und g mit y = - 0,5 x + 4 in ein Koordinatensystem..1 Berechne den Schnittwinkel zwischen der Geraden g und der Geraden g Das Rechteck ABCD mit AB = 6 cm und BC = 4 cm ist Grundfläche einer 10 cm hohen Pyramide. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Grundkante [AD]. 3.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 3 und ω = 45. Die Kante [CD] soll 4 dabei auf der Schrägbildachse liegen. 3. Berechne das Maß des Winkels DAS, den die Seitenfläche ABS mit der Grundfläche einschließt. Begründe, warum DAS der Schnittwinkel der angegebenen Flächen ist. 3.3 Berechne das Maß des Winkels SCM. 3.4 Ebenen schneiden die Pyramide in gleichschenkligen Trapezen BCF n G n. Sie schließen mit der Grundfläche Winkel mit dem Maß ϕ ein. Zeichne jenes Trapez BCF 1 G 1 ein, welches die Pyramidenhöhe halbiert. ( Zur Beschriftung: E ist Mittelpunkt von [BC], P ist Mittelpunkt von [F 1 G 1 ], ϕ = PEM ) 3.5 Welche Winkelmaße kann ϕ annehmen? 3.6 Berechne die Höhe [EP] und den Flächeninhalt der Trapeze in Abhängigkeit von ϕ. 4.1 Berechne die exakten Werte des Bogenmaßes der Winkel: a) 10 b) 7 c) Rechne die angegebenen Bogenmaßwerte ins Gradmaß um: a) 0, b) 1 c) 3,15 d) 100 RM_A0010 **** Lösungen 4 Seiten

10 1.0 Die Punkte A (0/0), B (6/0) und C auf der Geraden g mit y = - 0,5 x + 6 sind Eckpunkte von Dreiecken ABC. 1.1 Zeichne das Dreieck ABC 1 mit C 1 (4/?) auf g ein. Berechne sodann das Maß γ 1 des Winkels AC 1 B. 1. Zeige rechnerisch, daß es keine Dreiecke gibt, die bei C rechtwinklig sind. 1.3 Für C (3/?) entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis [AB]. Berechne für dieses Dreieck ABC die Koordinaten des Inkreismittelpunktes M und gib den Radius an. 1.4 Berechne den Abstand des Punktes A von der Geraden g.. Löse folgende Gleichung: cos(10 ϕ) 3 sinϕ = 0 ϕ [ 0 ; 360 ] 3.0 Eine Pyramide PQRS hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck PQR mit der Seitenlänge s = 8 cm. Der Mittelpunkt M der Grundkante [QR] ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe h. Es gilt: MS = h = 1 cm. Ein Punkt T n bewegt sich auf [PS]. Durch [QR] und T n [PS] sind Ebenen festgelegt. Es sei T n MP = ε. 3.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 0,5 und ω = 60. Trage ein Dreieck T 1 QR in das Schrägbild ein. 3. Berechne das Maß des Neigungswinkels α der Seitenkante [PS] gegen die Grundfläche. ( Ergebnis: α = 60 ) 3.3 Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche QRT n in Abhängigkeit von ε. 4 ( Ergebnis: A( ε) = cm ) sin( 10 ε) 3.4 Berechne das Winkelmaß ε 0, für das die Schnittfläche den kleinsten Flächeninhalt annimmt. RM_A0011 **** Lösungen 6 Seiten

11 1.0 Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basislänge c = 6 cm und a = b = 8 cm. Q ist der Mittelpunkt der Seite [AC]. Ein Punkt bewegt sich auf [AB] von A nach B mit [AP] = x cm. Der Winkel QPA hat das Maß ϕ. 1.1 Fertige für x = 4 cm eine Zeichnung an. 1. Bestimme rechnerisch das Intervall, aus dem das Winkelmaß ϕ sein kann. 1.3 Ermittle PQ in Abhängigkeit von ϕ und berechne, für welche Werte von ϕ PQ > 3,9 cm gilt. 1.4 Zeige, daß gilt: x = 1,5 ± PQ 13, Für die folgenden Aufgaben 1.5 bis 1.8 soll auch der Punkt Q wandern; es gilt: Q [AC] mit CQ = x cm. Fertige nochmals eine Zeichnung von ABC mit den Punkten P und Q für x = 5 cm an. Berechne dann PQ in Abhängigkeit von x. ( Ergebnis: PQ = 75, x x + 64 ) 1.6 Ermittle den Extremwert für PQ und gib seine Art sowie die zugehörige Belegung für x an. 1.7 Berechne x in Abhängigkeit von ϕ. ( Ergebnis: x = 1.8 Berechne x und PQ so, daß [PQ] zu [BC] parallel ist. 8 sin( ϕ , ) ) sin ϕ + sin( ϕ + 67, 98 ).0 Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basislänge BC = 1 cm und der Höhe AM = 10 cm ist die Grundfläche der Pyramide ABCS. Ihre Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt H der Strecke [AM] mit HS = 1 cm. Die Punkte P n auf der Strecke [MS] sind die Spitzen von Pyramiden ABCP n. Winkel P n AS ist ϕ..1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. Dabei soll die Strecke [AM] auf der Schrägbildachse liegen. Zeichne dann die Pyramide ABCP 1 für ϕ = 15 ein. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45. Berechne α = MAS. ( Ergebnis: α = 67,38 ).3 Ermittle die Streckenlänge AP n (ϕ) in Abhängigkeit von ϕ. Unter den Strecken [AP n ] ist [AP 0 ] die kürzeste Strecke. Gib das zugehörige Winkelmaß ϕ 0 und AP 0 an. ( Teilergebnis: AP n ( ϕ) = 93, ) sin( 45, 4 + ϕ).4 Berechne ϕ so, daß AP n = 9,5 cm gilt..5 Ermittle rechnerisch das Volumen V(ϕ) der Pyramiden ABCP n in Abhängigkeit von ϕ. Berechne ϕ, so daß die zugehörige Pyramide ABCP ein Volumen von 100 cm 3 hat. ( Teilergebnis: V( ϕ) = 184, 6 sin( 67, 38 ϕ) cm 3 ) sin( 45, 4 + ϕ) Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden! RM_A001 **** Lösungen 7 Seiten

12 1.0 Gegeben sind die Eckpunkte A (0/0) und C(0/8) von Dreiecken AB n C. Die Seite [ AB ] hat stets die Länge 6 cm. 1.1 Zeichne die Dreiecke AB 1 C und AB C in ein Koordinatensystem. Der Winkel γ (γ = ACB 1 bzw. ACB ) beträgt ( für die Zeichnung ) Bestimme durch Rechnung die Länge a der Seiten [ BC ] in Abhängigkeit vom Maß γ des Winkels AC n B. 1.3 Berechne für γ = 35 die Längen der Seiten [ B 1 C ] und [ B C ], und das Maß α der Winkel B 1 AC sowie B AC. 1.4 Wie lang ist die Seite a* für das Dreieck AB*C mit dem größtmöglichen Winkel γ *? Wie groß ist γ*? Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Punktes B* 1.5 Ermittle den Flächeninhalt der Dreiecke AB n C in Abhängigkeit vom Maß γ des Winkels AC n B..0 Das gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge a ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Strecke [ BC ]. Die Höhe [ MS ] der Pyramide entspricht der Länge der Strecke [ AM ]. Ebenen BCP n mit P [ AS ] bilden in der Pyramide Dreicke. Der Winkel SMP n soll mit ε bezeichnet werden..1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit einem Dreieck BCP. Für die Zeichnung gilt: a = 8 cm; ω = 45 ; q = 0,5; [ AP ] = 4 cm. Rißachse ist AM.. Berechne die Dreieckshöhe [ MP ] = x in Abhängigkeit von a und ε. Wie lauten die Grenzwerte für ε. Berechne die Grenzen der Dreieckshöhe [ MP ] in Abhängigkeit von a..3 Berechne den Flächeninhalt A der Dreiecke BCP in Abhängigkeit von a und ε..4 Für welche Werte von ε beträgt der Flächeninhalt A der Dreiecke 8 cm, wenn a = 8,5 cm lang ist..5 Bestimme die Streckenlänge [ AP ] = z in Abhängigkeit von a und ε..6 Der Punkt P ist die Spitze von Pyramiden ABCP. Berechne das Volumen V der Pyramiden in Abhängigkeit von a und ε..7 Für welchen Wert von ε wird das Volumen a 3 / 48 cm 3 groß? Alle Ergebnisse auf Stellen nach dem Komma runden! RM_A005 **** Lösungen 4 Seiten

13 1.0 Die Punkte A(0/0) und C(0/7) sind Eckpunkte von Dreiecken ABC. Die Seite AB dieser Dreiecke hat stets die Länge c = 5cm. 1.1 Zeichne die beiden Dreiecke AB 1 C und AB C, deren Winkel ACB 1 bzw. ACB das Maß γ = 40 haben. 1. Stelle die Länge a der Seiten BC in Abhängigkeit vom Maß γ des Winkels ACB dar. ( Ergebnis: a 1/ = (7cosγ ± 49cos γ 4 ) cm ) 1.3 Wie lang sind BC 1 = a 1 und BC = a für γ = 40? Gib für diese Dreiecke jeweils das Maß α 1 bzw. α der Winkel B 1 AC bzw. B AC an. 1.4 Es gibt ein Dreieck AB*C mit maximalem Winkelmaß γ*. Wie lang ist für diesen Fall die Seite a = BC? 1.5 Für das in 1.4 beschriebene Dreieck AB*C erhält man γ* = 45,58, a* = 4,90cm und CB*A = 90. Bestimme mit Hilfe dieser Angaben die Koordinaten des Punktes B*, und überprüfe damit rechnerisch die Länge c = 5cm der Seite AB *.0 Die Punkte A(0/0), B(8/0) und C auf der Geraden g: y = 1 4 x+ 4 sind Eckpunkte von Dreiecken ABC..1 Zeichne das Dreieck ABC 1 mit C 1 (6/?) auf g ein und berechne das Maß γ des Winkels AC 1 B.. In der Dreiecksschar gibt es bei C zwei rechtwinklige Dreiecke ABC und ABC 3. Berechne die Koordinaten der Punkte C und C 3..3 Berechne den Abstand des Punktes A von der Geraden g. RM_A0171 **** Lösungen Seiten