2. Mathematikschulaufgabe

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1 . Mathematikschulaufgabe 1. Ist das Dreieck mit folgenden Maßen konstruierbar? Begründe! b = 6 cm, β = 76, Außenwinkel γ * = 59.. Ein Draht soll zu einem Dreieck gebogen werden. Eine Seite soll 1m lang sein, die andere 0,75m. Wie lang muss die dritte Seite mindestens sein und wie lang darf sie höchstens werden? 3.1 Konstruiere das Dreieck ABC mit b = 4,5cm, c = 5cm und β = Begründe, weshalb es hier Lösungen gibt. 3.3 Gib die Konstruktionsbeschreibung an. 4. Gegeben: M(-/-1), D(4/-) und k(m; r = 3cm). 4.1 Konstruiere die Tangenten von D an den Kreis und markiere sie mit grüner Farbe. 4. Konstruiere und kennzeichne mit blauer Farbe: { P/P k MPD= 40 } 5. Löse die Klammern auf und fasse zusammen: ( ( )) ( ) ( ) ( ) a b + 4a 3a 4b 5 + 3a 4a + 3b = 6. Klammere aus: x y - 4x y + 84x y = 7. Faktorisiere: 7.1 ( 6b 3c )( 4m 7a) ( 16a 6m)( 6b 3c ) = 7. 6a a + 3ab b = 8. Ergänze: 8b y 6byz + 10y = ( 4y)(...) = 9. Multipliziere aus und vereinfache soweit möglich: r b b+ r b 3 r = RM_A0110 **** Lösungen 3 Seiten

2 . Mathematikschulaufgabe 1.0 Zeichne die Punkte A( 1,5) und B( ) Platzbedarf: -3 x 7 ; -3 y M 1 ist der Mittelpunkt der Strecke [AB]. Kennzeichne folgende Punktmenge mit grüner Farbe: P/PM <,5cm PA PB { 1 } 3,5 4 in ein Koordinatensystem. 1. Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes M 1 von der Strecke [AB] mit Hilfe der Mittelpunktsformel. Weiterhin ist gegeben der Punkt C( 1, 8 6, 7 ). Berechne die Koordinaten von den Mittelpunkten der Strecken [AC] und [BC]..0 Zeichne die Punkte A(-1/4), B(4/-1), C(9/1), D(5/7) in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: - x 11 ; - y 9.1 Kennzeichne folgende Punktmenge blau: { P / BPD = 90 }. Kennzeichne folgende Punktmenge grün: { Q/ CQA = 10 } Mit Skizze und Konstruktionsbeschreibung..3 Kennzeichne folgende Punktmenge braun: { S / BSD = 90 CSA = 10 } Hinweis: siehe.1 und.!!! 3.0 Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Aussageformen. 3.1,56x + 19,5 = -3,94x G = N y > y + G = Q 0 Stelle die Lösungsmenge auch auf der Zahlengeraden dar! RM_A0111 **** Lösungen Seiten

3 . Schulaufgabe aus der Mathematik 1.0 Vereinfache die folgenden Terme: 1.1 x + x + x 3 = 1. 5( 3x ) 3x 3( + 5x) = 1.3 ( x 4)( x 3x 1) ( x 6x 1)( x ) x( 3x) =.0 Übertrage die Aufgabe auf dein Blatt und setze in die Leerstellen Terme ein, so dass äquivalente Terme entstehen..1 (4a +...) (...+ 4) = 0a a + 1a = a (5a -...) - (...- 8b) = - 3a Forme die folgenden Terme in Produkte um: ax - 56ay - 54bx + 63by 3. 3ax + 6bx - 3x - 5ay - 10by + 5y 4. Für welche Belegung von x nimmt der Term x - 6x den Wert 0 an? Begründe deine Antwort! 5.0 Entscheide, ob es die folgenden Dreiecke gibt. Begründe deine Antwort! 5.1 a = 3cm, b = cm, c = 4cm 5. a = 6cm, b = 3cm, β = a = b = 4cm, c = 5cm, α = Das Dreieck ABC mit A (3/) und B (9/) wird durch Drehung um A mit dem Drehwinkel 90 auf das Dreieck A B C mit C ( 0 / 8 ) abgebildet. 6.1 Konstruiere die Dreiecke ABC und A B C. 6. Berechne die Koordinaten von C und B. 6.3 Konstruiere den Umkreismittelpunkt M im ABC und M im A'B'C'. 6.4 Berechne die Koordinaten der Umkreismittelpunkte M und M. RM_A011 **** Lösungen Seiten

4 . Schulaufgabe aus der Mathematik 1.0 Löse die Klammern auf, und fasse zusammen. Alle Variablen stehen für rationale Zahlen. 1.1 (a 3b) (5a 4b) = 1. (3x y) (x + y) = 1.3 (4 + 3c) (c + 8) (5 c) (c 3)=.0 Wandle die folgenden Summenterme durch Ausklammern in Produktterme um. Alle Variablen stehen für rationale Zahlen..1 6a 3 b 15a b 3 + 3a b =. 4y + 5x 10xy = 3.1 Zeichne das Dreieck ABC mit A (-/0,5), B (3/-0,5), BAC =α= 35 und BC = 6,5cm in ein Koordinatensystem. 3. Begründe sorgfältig, dass es nur ein derartiges Dreieck ABC gibt. 3.3 Konstruiere den Inkreismittelpunkt M, und zeichne den Inkreis des Dreiecks ABC. 4.0 Die Punkte, A (-/-1), B (5/-1) und C(4/y) mit y > -1 sind Eckpunkte von Dreiecken ABC. 4.1 Konstruiere das Dreieck ABC 1 mit CA 1 = 8,5cm, und konstruiere seinen Umkreismittelpunkt M 1 sowie den Umkreis. 4. Konstruiere das Dreieck ABC, dessen Umkreismittelpunkt auf einer Dreiecksseite liegt. Zeichne den Umkreismittelpunkt M ein. 4.3 Auf welcher geometrischen Ortslinie liegen die Umkreismittelpunkte M aller Dreiecke ABC? Zeichne sie farbig ein. 4.4 Es gibt Dreiecke ABC mit β > γ (wie das Dreieck ABC 1 ), aber auch solche mit γ > β (wie das Dreieck ABC ). Konstruiere das Dreieck ABC 3, in dem γ = β gilt. Begründe sorgfältig, dass in diesem Dreieck ABC 3 das kleinste Winkelmaß α ist. 5. Welche der folgenden Dreiecke sind kongruent? Begründe deine Antwort. a 1 = 7,3cm b 1 = 5,7cm β 1 = 43 a = 7,3cm c = 5,7cm α = 43 b 3 = 5,7cm a 3 = 7,3cm α 3 = 43 b 4 = 5,7cm c 4 = 7,3cm β 4 = 43 RM_A0113 **** Lösungen 3 Seiten

5 . Mathematikschulaufgabe 1.0 Gegeben sind die Punkte B( 1 /0) und C(7/). 1.1 Bestimme durch Konstruktion die Menge aller Punkte P, von denen aus die Strecke [BC] unter einem rechten Winkel erscheint und zugleich die Länge der Strecke [PB] gleich der Länge der Strecke [PC] gilt. 1. Gib die Menge aus Aufgabe 1.1 in Mengenschreibweise an.. Von einem Dreieck ABC sind folgende Angaben bekannt: Inkreismittelpunkt P( 3 /); Eckpunkte A( 0 /1) und B( 6 /-1). Konstruiere das Dreieck ABC. 3.0 Bestimme den Extremwert. Gib auch die zugehörige Belegung der Variablen an T(x) = x -4x T(x) = - x + 3x- T(x) = 3,5x - 10,5x Ein Rechteck hat die Seitenlängen 4 cm und 6 cm. Die kürzere Seite wird um x cm verlängert und gleichzeitig die längere Seite um 0,5x cm verkürzt. 4.1 Zeichne das ursprüngliche Rechteck und das neue Rechteck für x = Für welche Werte von x existieren Rechtecke? 4.3 Stelle den Flächeninhalt des neuen Rechtecks in Abhängigkeit von x dar. [Kontrollergebnis: A(x) = - 0,5x + 4x + 4 ] 4.4 Ermittle die Belegung für x, für die das Rechteck seinen maximalen Flächeninhalt hat. 4.5 Um wie viel Prozent geringer ist der Flächeninhalt des Rechtecks für x = 1 gegenüber dem maximalen Flächeninhalt? 4.6 Für welche Belegung von x ergibt sich ein Quadrat? Berechne. Der Gang der Berechnung muss klar ersichtlich sein. Nur Zeichnungen sind mit Bleistift anzufertigen. RM_A0197 **** Lösungen 3 Seiten

6 . Mathematikschulaufgabe 1. Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung: 8 ( ) ( ) ( ) x+ x 1 > 3x x + G= 3. Der Umfang eines Rechtecks beträgt 68 m. Der Flächeninhalt des Rechtecks wird um 33 m² größer, wenn man eine Seite um 4 m verkürzt und gleichzeitig die andere Seite um 5 m verlängert. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Fertige dazu auch eine Skizze an. 3.1 Berechne den Extremwert des folgenden Terms und gib an, für welchen Wert von x der Extremwert angenommen wird. T 7 ( x) = x + 14x 4 8 x 4;1 mit x = 1 3. Tabellarisiere den Term für [ ] 4.1 Ein LkW fährt mit einer Geschwindigkeit von 84 km/h von Würzburg ins 00 km entfernte Lager bei Nürnberg. Eine halbe Stunde später fährt ein PkW dieselbe Strecke mit einer Geschwindigkeit von 11 km/h. Nach welcher Zeit holt der Personenwagen der LkW ein? 4. Wie weit sind beide beim Überholen von Würzburg entfernt? RM_A03 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L03)

7 . Mathematikschulaufgabe 1. Löse die folgenden Gleichungen bzw. Ungleichungen. a) 4+ 4 ( x 5) = 31,4 ( 6x 17) b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 4 x 3 0,x 5 3,71 x 3 65,87 G < = 0. Löse folgende Textaufgaben: a) Subtrahiert man vom Fünffachen einer Zahl das Zweifache der um 4 verminderten Zahl, so erhält man das Achtfache der um 10 verminderten Zahl. b) Verkürzt man die eine Seite eines Quadrates um 3 cm und verlängert gleichzeitig die andere Seite um 5 cm, so wird der Flächeninhalt des entstehenden Rechtecks um 10 cm² größer als der des ursprünglichen Quadrates. Berechne die Seitenlängen des Quadrates und des Rechtecks. 3. Kann man aus den folgenden gegebenen Stücken jeweils ein Dreieck konstruieren? Begründe! a) a = 7, cm; b = 3,7 cm; c = 3,5 cm b) c = 6,3 cm; b = 3,9 cm; β = Konstruiere ein Dreieck aus den Stücken a = 47 mm; b = 60 mm und β= 98 und gib die Konstruktionsbeschreibung an! 5. Beim Neubau einer Straße soll ein Teilstück mit einer Brücke versehen werden. Hierzu haben Vermessungsingenieure ein Geländedreieck festgelegt. (Siehe Skizze) a) Konstruiere das Dreieck im Maßstab 1 : 0 000! b) Wie lang wird die Brücke? c) 100 Meter der Brücke kosten rund 0,8 Millionen Euro. Welche Kosten verursacht die gesamte Brücke? RM_A04 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L04)

8 . Mathematikschulaufgabe 1. Bestimme die Lösungsmenge. ( x+ 6)( x- 8) = 0. Gib jeweils die Definitionsmenge der Terme an für G =. a) 7 x+ 5 b) 3 - x ( 3x+ 5)( x-4) c) ( - ) 3 x 7 x Löse die folgende Bruchgleichung. x-1 = x-3 x + 3 4x Vereinfache. 3x + 3 x -5 x + 10x + 5 9x Verdoppelt man die Summe aus einer Zahl und 3 und subtrahiert dann das Vierfache der Zahl, so erhält man die Zahl 7. Wie heißt die dazugehörige x- Gleichung? 6. a) Gib einen dazugehörigen quadratischen Term T(x) an. Für x =- 3 ist Tmax = 5 b) Berechne den Extremwert. T(x) = - x + 1x + 7. Ein Rechteck ABCD hat die Länge AB = 10 cm und die Breite AD = 4 cm. Man erhält neue Rechtecke, indem man AB bei B um x cm verkürzt und zugleich AD bei D um x cm verlängert. a) Zeichne die Rechtecke ABCD und ABCD für x = 1,5. b) Welche Werte darf x annehmen? c) Berechne den Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von x. d) Für welche Belegung von x erhält man ein Quadrat? 8. Konstruiere das Dreieck ABC mit b = 4, m, c = 6,5 m, g = 110 im Maßstab 1:100. Beschreibe deine Konstruktion. RM_A0338 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0338)

9 . Mathematikschulaufgabe 1. Gib den Extremwert, seine Art (min oder max) und die zugehörige Belegung für x an. a) T(x) = x -14 T = für x = b) T(x) =-,5( x+ 0,4) + 1 T = für x = c) T(x) = ( x+ 8) T = für x =. Gib einen quadratischen Term T(x) an, a) der für x =- 9 den maximalen Wert annimmt: b) der das Minimum 1,5 für x = 0 besitzt: 3. Ermittle die Extremwerte und die zugehörige Belegung für x durch Rechnung. a) T(x) = 4x + 0x -15 b) T(x) = - 0,5x + x+ 5 RM_A0374 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0374) 1 (3)

10 . Mathematikschulaufgabe 4.0 Gegeben ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ABC mit AB = AC = 8 cm. Diesem Dreieck lassen sich beliebig viele Rechtecke einbeschreiben (siehe Skizze). 4.1 Bestimme den Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von x. 4. Bestimme den maximalen Flächeninhalt und den zugehörigen x-wert. 5. Von einem Turmfenster in der Höhe H= 50m werden der Fußpunkt und die Spitze eines Baumes der Höhe x angepeilt. Gemessen zur Horizontalen ergeben sich die Tiefenwinkel 4 und 5. Wie weit ist der Baum vom Turm entfernt (Maß d) und welche Höhe hat der Baum (Maß x)? Beantworte die Fragen mithilfe einer genauen Konstruktion (Bleistift) im Maßstab 1 : 1000 RM_A0374 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0374) (3)

11 . Mathematikschulaufgabe 6. Konstruiere das Dreieck ABC mit folgenden Maßen. Verwende Geo-Dreieck, Bleistift, Zirkel. Eine Planfigur kann hilfreich sein. a) a = 7, cm, b = 6, cm, b= 5 b) b = 8 cm, a = 65, b= 81 RM_A0374 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0374) 3 (3)

12 . Mathematikschulaufgabe 1. Gib den Extremwert ( T min oder T max ) und die zugehörige Belegung für x an. a) T(x) = - 0,3( x+ 4) -3 T = für x = b) T(x) x 7 ( ) = + T = für x = 9 T(x) = x T = für x = 3 c) ( ). Gib einen passenden quadratischen Term T(x) an, der a) das Minimum - 3,8 für x =- 4, besitzt: b) für x = 0 den minimalen Wert - 5 annimmt: 3. Bestimme durch Rechnung den Extremwert und die zugehörige Belegung für x. 5 T(x) = - 4x+ x Bestimme die Lösungsmenge. ( x+ 3)( x- ) + 8 = 15x+ ( x+ 9)( x-4) RM_A0408 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0408) 1 (3)

13 . Mathematikschulaufgabe 5. Emma hat im Baumarkt 1 m Haustierzaun gekauft, um für ihre Schildkröten im Garten ein Freigehege abzugrenzen. Den Tieren soll eine möglichst große rechteckige Fläche zur Verfügung stehen. Das Freigehege wird an zwei Seiten durch eine Mauer begrenzt (dort ist kein Zaun notwendig). a) Stelle einen Term A(x) auf, der die Fläche des Rechtecks in Abhängigkeit von x beschreibt. b) Welche Seitenlängen hat der Zaun des Freigeheges mit dem größten Flächeninhalt? Gib auch A an. max 6. Max steht vor einem kleinen Windrad und blickt unter dem Winkel 4 zur Rotorblattspitze. Nachdem er 50 m näher an das Windrad herangegangen ist, sieht er die Blattspitze nun unter einem Winkel von 41. Wie weit ist die Rotorblattspitze vom Boden entfernt? (Die Augenhöhe von Max soll unberücksichtigt bleiben) Bestimme die Rotorblatthöhe mithilfe einer genauen Konstruktion. Wähle dazu einen geeigneten Maßstab, der auch anzugeben ist. RM_A0408 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0408) (3)

14 . Mathematikschulaufgabe 7. Welche Angaben sind erforderlich, um ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren? 8.1 Bestimme die Maße der Winkel a im Dreieck ABC mit b = 6,5 cm, c = 4,6 cm und g = 4 durch Konstruktion (Geo-Dreieck, Zirkel, Bleistift). 8. Was müsste gelten, damit das Dreieck aus 8.1 eindeutig konstruierbar ist? 9. Beweise folgenden Satz: Wenn das (spitzwinklige) Dreieck ABC gleichschenklig ist, dann sind die Lote von den Basisecken zu den gegenüberliegenden Schenkeln gleich lang. RM_A0408 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0408) 3 (3)