Raumgeometrie - schiefe Pyramide

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1 1.0 Die Raute ABCD mit den Diagonalen AC = e und BD = f ist die Grundfläche einer schiefen Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt D der Grundfläche. Es gilt: e = 14 cm; f = 10 cm; DS = h = 9 cm. Verlängert man die Diagonale [AC] über A und C hinaus jeweils um x cm und verkürzt [DS] von S aus um x cm, so erhält man neue Pyramiden A'BC'DS. 1.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit AC als Schrägbildachse, ω = 45 ; q = 0,5. Zeichne ferner eine der neu entstehenden Pyramiden A'BC'DS' in das Schrägbild ein. 1.2 Stelle das Volumen V(x) der Pyramiden A'BC'DS' in Abhängigkeit von x dar. 1 2 [Ergebnis: V(x) = ( 10x 20x 630 ) ] 1.3 Ermittle den Extremwert für das Volumen und gib an, um welche Art von Extremwert es sich handelt. 1.4 Für welche Werte von x wird der Flächeninhalt des Schnittdreiecks DBS' der Pyramiden kleiner als 14 cm 2?. 2.0 Gegeben ist eine schiefe Pyramide mit der quadratischen Grundfläche ABCD. Die Seiten des Quadrates sind 4 cm lang, die Höhe [DS] beträgt 8 cm (S liegt senkrecht über D). Man erhält neue Pyramiden AB C DS mit rechteckiger Grundfläche, wenn man die Seiten [AB] und [DC] um x cm verlängert und gleichzeitig die Höhe [DS] um x cm verkürzt. 2.1 Zeichne ein Schrägbild der ursprünglichen Pyramide ABCDS mit DC als Schrägbildachse; ω = 45, q = 1 : 2. Zeichne außerdem für x = 2 die Pyramide AB C DS in das Schrägbild ein. 2.2 Ermittle das Volumen V (x) der Pyramiden AB C DS in Abhängigkeit von x. 4 [Ergebnis: V (x) = 3 (x 2-4x - 32) cm 3 ] 2.3 Für welchen Wert für x erhält man eine Pyramide mit 20 cm 3 Volumen? 2.4 Ermittle rechnerisch die Zahl für x, für die die Pyramide mit dem größten Volumen entsteht. Berechne sodann die Oberfläche dieser Pyramide. RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden 1 (7)

2 3.0 Im Drachenviereck ABCD hat die Symmetrieachse [AC] die Länge 14 cm und die Diagonale [BD] die Länge 10 cm. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt M mit AM = 5 cm. Das Drachenviereck ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide ABCDS, bei der die Spitze S senkrecht über M mit MS = 6,5 cm liegt. 3.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll [AC] auf der Schrägbildachse liegen. 3.2 Aus der Pyramide ABCDS entstehen neue Pyramiden ABC n DS n dadurch, dass [AC] von C aus um x cm verkürzt und zugleich die Höhe [MS] über S hinaus um x cm verlängert wird. Zeichne die Pyramide ABC 1 DS 1 für x = 2,5 in das Schrägbild ein. 3.3 Stelle das Volumen V(x) der Pyramiden ABC n DS n in Abhängigkeit von x dar. 3.4 Unter den Pyramiden ABC n DS n hat die Pyramide ABC o DS o das größte Volumen V max. Berechne V max und das Maß ε des Winkels BS o D. 3.5 In der Pyramide ABC 2 DS 2 schließt die Seitenkante [C 2 S 2 ] mit der Grundfläche den Winkel S 2 C 2 M mit dem Maß 77 ein. Berechne die Länge der Strecke [MC 2 ]. 4.0 Die Raute ABCD mit den Diagonalen [AC] und [BD] ist Grundfläche einer geraden Pyramide ABCDS mit der Höhe [MS]. M ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Es gilt: AC = 10 cm, BD = 14 cm, MS = 11 cm. Verlängert man [AC] über A und C hinaus jeweils um x cm und verkürzt [MS] von S aus um ebenfalls x cm, so erhält man neue Pyramiden A n BC n DS n. D(x) = [0; 11] 4.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS mit AC auf der Schrägbildachse mit q = 0,5, ω = Stelle das Volumen V(x) der Pyramiden A n BC n DS n in Abhängigkeit von x dar. [Ergebnis: V(x) = ( x 5x 2 ) cm 3 ] 4.3 Ermittle rechnerisch die Belegung für x, für die das Volumen V(x) den größten Wert hat. Gib V max an. 4.4 Berechne die Länge s(x) der Pyramidenkanten [A n S n ] in Abhängigkeit von x. 2 [Ergebnis: s(x) = 2x 8x cm] 4.5 Gibt es eine Belegung für x, für die s(x) den Wert 11 cm annimmt? Begründe die Antwort durch Rechnung. Für welche Belegung von x nimmt s(x) den Wert 14 cm an? RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden 2 (7)

3 5.0 Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis [AB] und der Höhe h = [MC} ist Grundfläche einer Pyramide ABCS, deren Spitze senkrecht über M liegt. AB = 10 cm; MC = 10 cm; MS = 12 cm 5.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide. q = 0,5; ω = 45 ; [MC] liegt auf der Schrägbildachse. 5.2 Berechne das Maß des Winkels MCS = ϕ sowie die Länge der Seitenkante [CS]. 5.3 Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide ABCS. 5.4 Verlängert man [MC] über C hinaus um x cm und verkürzt die Höhe [MS] von S aus um x cm, so entstehen neue Pyramiden ABC n S n, 0 < x < 12; x R. Zeichne die Pyramide ABC 1 S 1 für x = 3 cm in das Schrägbild ein. 5.5 Gib eine Gleichung für das Volumen V(x) der Pyramiden ABC n S n in Abhängigkeit von x an. 5.6 Bestimme den x-wert für den die zugehörige Pyramide ABC n S n das größte Volumen V max besitzt und gib V max an. Berechne für diese Belegung von x das Maß des Winkels MC 2 S Ermittle den x-wert für den das Volumen der zugehörigen Pyramide ABC 3 S 3 gleich der Hälfte des Volumens der Pyramide ABCS ist. 6.0 Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis [AB] und der Höhe h = [MC} ist Grundfläche einer Pyramide ABCS, deren Spitze senkrecht über M liegt. AB = 10 cm; MC = 10 cm; MS = 12 cm Aus der Pyramide ABCS entstehen neue Pyramiden A n B n CS n, indem man [CM] über M hinaus um x cm verlängert und [CS] von S aus um x cm verkürzt. 6.1 Zeichne die Schrägbilder der Pyramiden ABCS und A 1 B 1 CS 1 für x = 3 cm. q = 0,5; ω = 45 ; [M 1 C] liegt auf der Schrägbildachse. 6.2 Gib die Definitionsmenge für x (x R ) an. 6.3 Berechne die Belegung von x, für die das Maß des Winkels CS 2 M 2 gleich 100 ist. 6.4 Stelle das Volumen V(x) der Pyramiden A n B n CS n in Abhängigkeit von x dar. 6.5 Bestimme rechnerisch die Belegung von x, für die das Volumen der zugehörigen Pyramide maximal ist. Welchen Wert hat V max? 6.6 Weise durch Rechnung nach, ob es in der Menge der Pyramiden A n B n CS n eine Pyramide gibt, die das gleiche Volumen wie die Pyramide ABCS besitzt. RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden 3 (7)

4 7.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 8 cm und AD = 10 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS, deren Spitze S senkrecht über D liegt und DS = 12 cm ist. 7.1 Erstelle ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. q = 0,5; ω = 45 ; [DC] liegt auf der Schrägbildachse. 7.2 Berechne die Länge der Pyramidenkante [BS] sowie das Maß des Winkels DBS = ϕ. 7.3 Berechne das Volumen der Pyramide ABCDS. 7.4 Man erhält neue Pyramiden ABC n DS n, wenn man [DC] über C hinaus um x cm verlängert und [BS] von S aus um x cm verkürzt. Zeichne für x = 2,5 cm die zugehörige Pyramide ABC 1 DS 1 in das Schrägbild ein. 7.5 Die Punkte F n [DB] sind Fußpunkte der Höhen h n der Pyramiden ABC n DS n. Weise nach, dass für die Höhen h n (x) in Abhängigkeit von x gilt: h n (x) = (12-12 x) cm 17,55 Stelle sodann das Volumen V(x) der Pyramiden ABC n DS n in Abhängigkeit von x dar. 7.6 Für welche Belegung von x hat die zugehörige Pyramide ABC 2 DS 2 das größte Volumen? Gib dieses größte Volumen V max an. 7.7 Berechne die Höhe h 2 der Pyramide ABC 2 DS 2 sowie das Maß des Winkels F 2 BS Der Punkt D ist der Mittelpunkt der Basis [BC] des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit BC = 8 cm und AD = 8 cm. Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCS, deren Spitze S senkrecht über D mit DS = 10 cm liegt. 8.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. [AD] soll auf der Schrägbildachse liegen. Berechne das Maß ϕ des Winkels DAS. 8.2 Punkte P n auf der Seitenkante [AS] der Pyramide sind Eckpunkte von Dreiecken BCP n. Zeichne das Dreieck BCP 1 für AP 1 = 4 cm in das Schrägbild ein. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks BCP Es gibt ein Dreieck BCP 2, so dass B 2 DA = 65 gilt. Berechne das Maß ε des Winkels BP 2 C. 8.4 Die Basis [BC] des Dreiecks ABC wird über B und C hinaus jeweils um x cm verlängert, gleichzeitig wird die Pyramidenhöhe [DS] von S aus um 2x cm verkürzt. Es entstehen neue Pyramiden AB n C n S n. Zeichne die Pyramide AB 1 C 1 S 1 für x = 1,5 in das Schrägbild ein. Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen V(x) der Pyramiden AB n C n S n in Abhängigkeit von x gilt: V(x) = (x2 + 3x 40) cm Berechne das Volumen V der Pyramide AB 2 C 2 S 2, bei der der Winkel B 2 S 2 C 2 das Maß 120 besitzt. RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden 4 (7)

5 9.0 Das bei B rechtwinklige Dreieck ABC mit AB = 6 cm und BC = 8 cm ist die Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt A mit AS = 10 cm. 9.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. [AB] liegt auf der Schrägbildachse. Berechne das Maß α des Winkels BAC. 9.2 Die Seiten [AB] und [AC] der Grundfläche der Pyramide ABCS werden jeweils über B und C hinaus verlängert. Es entstehen neue Pyramiden AB n C n S. Dabei gilt: BB n = x cm mit x R + und [B n C n ] II [BC]. Zeichne die Pyramide AB 1 C 1 S für x = 2 in das Schrägbild ein. 9.3 Berechne die Streckenlängen AC 1 und BC Berechne die Grundkantenlänge BC n n (x) und sodann das Volumen V(x) der Pyramiden AB n C n S jeweils in Abhängigkeit von x. 9.5 In der Pyramide AB 2 C 2 S hat der Winkel SB 2 B das Maß 30. Berechne das Volumen der Pyramide AB 2 C 2 S Im gleichschenkligen Dreieck ABC hat die Basis [AB] die Länge 10 cm und die Höhe [CF] ist 12 cm lang. Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCS, deren Spitze S senkrecht über F liegt mit FS = 9 cm Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. [AF] liegt auf der Schrägbildachse. Berechne das Maß α des Winkels FCS und die Länge der Seitenkante [CS] Die Punkte D n sind Endpunkte von Strecken [CD n ], die durch Verlängerung der Strecke [CF] um x cm über F hinaus entstehen. Die Punkte P n liegen auf der Seitenkante [CS] in 2x cm Entfernung von S. Die Punkte P n sind die Spitzen von Pyramiden CAD n BP n. Zeichne die Pyramide CAD 1 BP 1 für x = 3 zusammen mit der Pyramidenhöhe [P 1 E 1 ] in das Schrägbild ein In der Pyramide CAD 2 BP 2 hat der Winkel CP 2 D 2 das Maß 90. Berechne den zugehörigen Wert für x Zeige durch Rechnung, dass für die Höhen PE n n(x) der Pyramiden CAD n BP n in Abhängigkeit von x gilt: PE n n(x) = (9 1,2x) cm. Weise rechnerisch nach, dass sich das Volumen V(x) der Pyramiden CAD n BP n in Abhängigkeit von x wie folgt darstellen lässt: V(x) = (-2x 2 9x + 180) cm Überprüfe rechnerisch, ob es unter den Pyramiden CAD n BP n eine Pyramide gibt, die das gleiche Volumen wie die Pyramide ABCS hat. RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden 5 (7)

6 11.0 Die Pyramide ABCDS hat das Rechteck ABCD mit den Seitenlängen AB = 8 cm und AD = 10 cm als Grundfläche. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Punkt D in 9 cm Höhe über der Grundfläche Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [DC] liegt auf der Schrägbildachse Berechne die Länge der Seitenkante [CS] und die Oberfläche A der Pyramide ABCDS Man erhält neue Pyramiden ABC n D n S n, wenn die Höhe [DS] um x cm verkürzt und gleichzeitig die Kante [CD] über C und D hinaus jeweils um 2x cm verlängert wird. Zeichne für x = 2 cm die Pyramide ABC 1 D 1 S 1 in das Schrägbild ein Bestätige durch Rechnung, dass für das Volumen V(x) der Pyramiden ABC n D n S n in Abhängigkeit von x gilt: V(x) = 20 3 (-x2 5x + 36) cm Die Pyramide ABC 2 D 2 S 2 hat das größtmögliche Volumen V max. Berechne den zugehörigen Wert für x und V max In der Pyramide ABC 3 D 3 S 3 hat der Winkel D 3 C 3 B das Maß 70. Berechne den zugehörigen Wert für x. Alle Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet Die Raute ABCD mit den Diagonalenlängen AC = 10 cm und BD = 16 cm ist die Grundfläche einer Pyramide ABCDS, deren Spitze S senkrecht über dem Punkt C mit CS = 10 cm liegt. [AC] und [BD] schneiden sich im Punkt M. Punkte P n liegen auf der Strecke [AM] und die Punkte Q n auf der Seitenkante [AS]. Es gilt PM n = SQ n = x cm. Die Punkte Q n sind die Spitzen der Pyramiden ABP n Q n Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [AC] liegt auf der Schrägbildachse. Zeichne die zu x = 3,5 gehörende Pyramide ABE 1 F 1 in das Schrägbild ein Berechne das Maß γ des Winkels SAC und die Länge der Seitenkante [AQ 1 ] der Pyramide ABP 1 Q Unter den Pyramiden ABP n Q n gibt es eine Pyramide ABP 2 Q 2, bei der der Winkel P 2 BA das Maß 70 hat. Berechne den zugehörigen Wert für x Berechne das Volumen V 2 der Pyramide ABP 2 Q 2. RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden 6 (7)

7 13.0 Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt dabei senkrecht über C. [AC] = 8 cm, [CS] = 10 cm, der rechte Winkel liegt bei C. Verlängert man den Schenkel [AC] der Grundfläche um x cm und verkürzt gleichzeitig die Höhe um 1,5x cm, so erhält man neue Pyramiden A 1 BCS Zeichne ein Raumbild der Pyramide ABCS und trage eine neue Pyramide für x = 2 in die Zeichnung ein Berechne das Volumen V(x) der neuen Pyramiden in Abhängigkeit von x. [Ergebnis: V(x) = (-2x x )cm 3 ] Bestimme das Intervall für x damit neue sinnvolle Pyramiden entstehen Für welche Belegung für x erhält man die Pyramide mit dem größten Volumen? Gib dieses Volumen an. [Teilergebnis: V(x) = ( -2(x ) ) cm 3 ] 9 RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden 7 (7)