3. Mathematikschulaufgabe

Transkript

1 Klasse 0 / II.0 Die Raute ABCD mit den Diagonalen AC = e und BD = f ist die Grundfläche einer schiefen Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt D der Grundfläche. Es gilt: e = 4 cm; f = 0 cm; DS = h = 9 cm. Verlängert man die Diagonale [AC] über A und C hinaus jeweils um x cm und verkürzt [DS] von S aus um x cm, so erhält man neue Pyramiden A'BC'DS.. Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit AC als Schrägbildachse, ω = 45 ; q = 0,5. Zeichne ferner eine der neu entstehenden Pyramiden A'BC'DS' in das Schrägbild ein.. Stelle das Volumen V(x) der Pyramiden A'BC'DS' in Abhängigkeit von x dar. (Ergebnis: V(x) = ( 0x 0x 630 ) ).3 Ermittle den Extremwert für das Volumen und gib an, um welche Art von Extremwert es sich handelt..4 Für welche Werte von x wird der Flächeninhalt des Schnittdreiecks DBS' der Pyramiden kleiner als 4 cm?..0 Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit AB = 5 cm und der Höhe h c = 0 cm.. Dem Dreieck werden Rechtecke DEFG einbeschrieben mit D, E [AB]; F [BC] und G [AC]. Es gilt: DE = y cm; EF = x cm. Zeichne das Dreieck ABC und das einbeschriebene Rechteck für y =.. Stelle die Länge der Strecke [DE] in Abhängigkeit von der Maßzahl x dar. (Ergebnis: y = x 5 ).3 Bestimme rechnerisch die Größe von x so, daß das einbeschriebene Rechteck ein Quadrat wird..4 Das Dreieck und die einbeschriebenen Rechtecke rotieren um die Achse [MC], wobei M der Mittelpunkt der Seite [AB] ist. Bestimme die Mantelfläche der entstehenden Zylinder in Abhängigkeit von x. π (Ergebnis: M (x) = ( 0x x ) ).5 Gibt es unter den entstehenden Zylindern solche, die die Mantelfläche M = 5 π besitzen? (Rechnerische Bestimmung).6 Der Mantel des entstehenden Drehkegels aus.4 wird abgewickelt. Bestimme rechnerisch das Maß des Mittelpunktswinkels ϕ der Abwicklung. RM_A059 **** Lösungen Seiten

2 Klasse 0 / II Achtung! Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden..0 Gegeben ist die Parabel p: y = - x + 8x Zeichne die Parabel in ein kartesisches Koordinatensystem Für die Zeichnung: - x 8; - y 0; LE = cm. Eine Dreieckschar ABC n ist wie folgt festgelegt: A ( 0 / 0 ); B ( 6 / 0 ); C n p..3 Zeichne das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis [AB], ermittle die Koordinaten von C und berechne die Innenwinkel des Dreiecks ABC..4 Gib für alle xc n den Definitionsbereich an..5 Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt 6 FE. Bestimme durch Rechnung die Koordinaten von C. Hinweis: x C < x C.6 Zeichne das Dreieck ABC ein..7 Zeichne das rechtwinklige Dreieck ABC 3, das [AC 3 ] als Hypothenuse hat und berechne das Maß des Winkels AC 3 B.. Zeichne zum Dreieck ABC mit A (- 6 / ); B ( 3 / - ); C ( / 7 ) den Umkreis k. Für die Zeichnung: - 7 x 6; - 5 y 8; LE = cm. Berechne den Radius des Umkreises..3 Überprüfe durch Rechnung, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist und berechne das Maß des Winkels ACB. (Zwischenergebnis: Winkel ACB = 65, ).4 Das Dreieck ABC gehört zu einer Dreieckschar ABC n mit C n k. Zeichne das Dreieck ABC mit [AC ] = 5 cm und berechne das Maß des Winkels BAC..5 Das Dreieck ABC 3 ist gleichschenklig mit der Basis [AB]. Zeichne das Dreieck ABC 3 und berechne seinen Flächeninhalt..6 Berechne den Flächeninhalt des kleineren Kreissegments, das von der Sehne [AB] und dem Umkreis k eingeschlossen wird. weiter siehe Blatt RM_A060 **** Lösungen 7 Seiten ()

3 Klasse 0 / II Achtung! Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden. 3.0 Gegeben sind die Geraden g und g mit g : y = x+ 3 g : y = x Zeichne die Geraden g und g in ein kartesisches Koordinatensystem und berechne ihren Schnittpunkt. 3. Berechne die Neigungswinkel von g und g und den spitzen Winkel, den die beiden Geraden einschließen. RM_A060 **** Lösungen 7 Seiten ()

4 Klasse 0 / II.0 Ein gerader Kreiskegel hat den Grundkreisradius r = 5 cm und die Höhe h = cm. Diesem Kegel werden Zylinder einbeschrieben. Die einbeschriebenen Zylinder stehen auf der Grundfläche des Kegels und berühren den Kegelmantel. Die Höhe der einbeschriebenen Zylinder ist x cm, der Radius des Grundkreises beträgt y cm.. Der Kegel mit dem einbeschriebenen Zylinder wird längs der Kegelachse geschnitten. Zeichne die Schnittfigur.. Stelle die Mantelfläche der einbeschriebenen Zylinder in Abhängigkeit von x dar (Ergebnis: M (x) = 5 ( x x) 6 π + ).3 Es gibt einbeschriebene Zylinder mit der Mantelfläche 45 π cm. Ermittle rechnerisch die zugehörige Belegung für x..4 Der Mantel des Kegels aus.0 wird abgewickelt. Bestimme das Maß des Mittelpunktswinkels ϕ der Abwicklung..0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 9 cm ist die Grundfläche einer 0 cm hohen Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M. Verlängert man die Seiten [AB] und [DC] über die Endpunkte hinaus um jeweils x cm und verkürzt gleichzeitig die Höhe um x cm ( 0 < x < 0 ), so enstehen neue vierseitige Pyramiden A'B'C'D'S' mit dem Rechteck A'B'C'D' als Grundfläche.. Zeichne ein Schrägbild der ursprünglichen Pyramide (CD = Schrägbildachse; ω = 45 ; q = 0,5) und zeichne eine Pyramide A'B'C'D'S' farbig ein.. Berechne das Volumen V(x) der Pyramiden A'B'C'D'S' in Abhängigkeit von x. (Ergebnis: V (x) = - 6x + 33x + 70).3 Für welche Belegung von x erhält man die Pyramide mit dem größten Volumen?.4 Für welche Belegung von x besitzt die Seitenfläche B'C'S' der Pyramide einen extremen Flächeninhalt? (Teilergebnis: A (x) = 4,5 x x + 0,5 ).5 Für welchen Bereich von x ist der Flächeninhalt der Seitenfläche B'C'S' größer als 54 cm? RM_A06 **** Lösungen 4 Seiten

5 Klasse 0 / II RM_A06 **** Lösungen Seiten

6 Klasse 0 / II RM_A063 **** Lösungen 5 Seiten

7 Klasse 0 / II RM_A064 **** Lösungen Seiten

8 Klasse 0 / II.0 Eine Gleichung der Form y = ax + bx + c mit G =, a, b, c und a 0 gehört zur Parabel p. Sie verläuft durch den Punkt R(4/5) und hat den Scheitelpunkt S (/9). Die Parabel p hat die Gleichung y = (x - 3) - 4 mit G =.. Ermittle rechnerisch die Gleichung der Parabel p in ihrer Normalform. [Teilergebnis: p mit y = - x + 4 x + 5] Zeichne die Parabeln p und p in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: - x 8; -5 y 0; Längeneinheit cm. Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte A und C der Parabeln p und p. [Teilergebnis: A(0/5) und C(5/0)].3 Die Schnittpunkte A und C sind Eckpunkte von Vierecken AB n CD n mit B n p und D n p. Dabei haben die Punkte B n und D n dieselbe x-koordinate. Zeichne das Viereck AB CD für x =,5 in das Koordinatensystem zu. ein. Bestimme den Flächeninhalt A(x) der Vierecke AB n CD n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B n bzw. D n..0 Gegeben ist das Prisma ABCDEFGH mit der Höhe h = 6 cm und der Raute ABCD als Grundfläche mit AC = 0 cm und BD = 8 cm.. Zeichne das Schrägbild des Prismas so, dass die Diagonale [BD] auf der Schrägbildachse liegt (Blatt quer nehmen). Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45. Berechne die Oberfläche des Prismas ABCDEFGH auf eine Stelle nach dem Komma gerundet..3 Es entstehen neue Prismen, in dem man die Diagonale [BD] von B und D aus um jeweils x cm verkürzt und die Höhe des Prismas um x cm verlängert. Zeichne das Prisma für x = 3 in das Schrägbild zu. ein..4 Gib die maximale Grundmenge für x an..5 Berechne das Volumen der neuen Prismen in Abhängigkeit von x. [Teilergebnis: V(x) = (-0x + 30x + 540) cm 3 ].6 Für welche Werte von x erhält man Prismen, deren Volumen größer als 500 cm 3 ist? (Rechnerische Lösung erforderlich!) Fortsetzung siehe Blatt RM_A074 **** Lösungen 6 Seiten ()

9 Klasse 0 / II 3.0 Der Punkt M ist Mittelpunkt der Basis [QR] des gleichschenkligen Dreiecks PQR mit QR = 8cm und PM = 8cm. Das Dreieck PQR ist Grundfläche einer Pyramide PQRS. Seine Spitze S liegt senkrecht über M mit MS = 0cm. 3. Zeichne ein Schrägbild der Pyramide PQRS. [PM] soll auf der Schrägbildachse liegen. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45. Berechne das Maß α des Winkels MPS auf Stellen nach dem Komma gerundet. [Ergebnis: α = 5,34 ] 3. Punkte A n auf der Seitenkante [PS] der Pyramide sind Eckpunkte von Dreiecken QRA n. Zeichne das Dreieck QRA für PA = 5cm in das Schrägbild zu 3. ein. Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks QRA auf Stellen nach dem Komma gerundet. 3.3 Bei dem Dreieck QRA ist der Winkel A MP = 60. Berechne das Maß β des Winkels QA R auf Stellen nach dem Komma gerundet. RM_A074 **** Lösungen 6 Seiten ()

10 Klasse 0 / II G = bzw. G= x Auf zwei Dezimalstellen runden!.0 Gegeben sind die Parabel p:y= 0,5x + bx+ c und die Gerade g:y = x. 3. Der Graph der Parabel p verläuft durch die Punkte A ( / 8 ) und B ( - 3 / - 4,5 ). Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel. [Zwischenergebnis: p:y= 0,5x + 4x+ ]. Zeichne die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem und berechne die Koordinaten der Schnittpunkte S und S. (Platzbedarf: < x < 9 und < y < ).3 Welchen Winkel schließt die Gerade g mit der x - Achse ein?.4 Zwischen S und S liegen Punkte P n auf der Geraden g. Geben Sie die Koordinaten der Punkte P n in Abhängigkeit von x an. Die Punkte Q n auf der Parabel p haben eine doppelt so große Abszisse x wie die Punkte P. n Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte Q n in Abhängigkeit von x..0 In einer rechteckigen Grünanlage ABCD wird die Grundfläche einer Raute EFGH einbeschrieben, die später mit Blumen bzw. Rasen bepflanzt wird. AB= 0m; BC= m; BC= m E AB; F BC; G CD; H DA. Zeichnen Sie das Rechteck sowie die einbeschriebene Raute im Maßstab : 00. Berechnen Sie die Seitenlänge der Raute. [Teilergebnis: EF =,66 m ]. Innerhalb der Raute werden zwei kongruente dreieckige Beete PEH und PEF abgestreckt, für die gilt P [HG] und P [GF], zudem gilt PEH = FEP = 40. Zeichnen Sie die beiden Beete PHE und PEF ein. Berechnen Sie das Maß des Winkels EHP und die Streckenlänge EP. [Teilergebnis: EHP = 6,93 und EP = 0,5 m ].3 Berechnen Sie den Flächeninhalt der beiden Blumenbeete PHE und PEF..4 Auf der drachenförmigen Fläche innerhalb der Raute zwischen den beiden Blumenbeeten PHE und PEF wird ein Kreissektor mit Mittelpunkt E und Kreisbogen PP abgetrennt, auf dem Rasen angesät wird. Zeichnen Sie den Kreissektor ein..5 Die Figur, die vom Kreisbogen PP und den Strecken [PG] und [P G] begrenzt wird, soll mit Steinplatten belegt werden. Berechnen sie diesen Flächeninhalt A Steine. [Teilergebnis: A Steine = 4, 40 m ].6 Welchen prozentualen Anteil hat die mit Steinplatten belegte Fläche an der gesamten Rautenfläche? RM_A005 **** Lösungen 4 Seiten

11 Klasse 0 / II. Die Punkte P ( 0,5 ) und Q ( ) geöffneten Normalparabel p: 3,5 6 bestimmen die Lage einer nach oben y x x,75 =. a) Berechnen Sie den Scheitelpunkt der Normalparabel! b) Die Punkte P ( ) und Q (,5 6) liegen auf dem Graph der linearen Funktion g. Berechnen Sie Ihre Funktionsgleichung! c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der linearen Funktion mit der Normalparabel. d) Zeichnen Sie die beiden Funktionen in ein Koordinatensystem.. Die Normalparabel p hat die Funktionsgleichung y = x + 6x+ 7. a) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel p. b) Die Punkte P ( 3 ) und P ( 6) liegen auf dem Graphen einer nach unten geöffneten Normalparabel p. Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung in Normalform. c) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel p. d) Zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. e) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte T und T der beiden Parabeln p und p. 3. Geben Sie den Definitionsbereich folgender Bruchgleichung an und bestimmen Sie die Lösungsmenge 3x + 5 = x ; G = x x x x 4. Ein rechteckiger Fußboden wird neu gefliest (siehe Skizze). Die hell geflieste Fläche ist genauso groß wie die dunkle Fläche. Die hellen Flächen sind an jeder Stelle gleich breit. Berechnen Sie die Breite der hellen Streifen in m! RM_A0305 **** Lösungen 6 Seiten (RM_L0305)