Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)

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Felix Bösch
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1 Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 005 Prüfungsfach: Mathematik (technische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 16. Juni 005 Prüfungsdauer: 09:00-1:00 Uhr Hilfsmittel: elektronischer, nichtprogrammierbarer Taschenrechner, zugelassene Formelsammlung Hinweis: Der Bereich Analysis besteht aus vier Aufgaben. Die Schülerinnen und Schüler haben daraus drei Aufgaben zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben trifft die Schule. Die Aufgabe Analytische Geometrie ist von allen Schülern zu bearbeiten.

2 - - Analysis: Aufgabe 1 1 Gegeben sind die reellen Funktionen z k : x x 8x k mit k a + IR in der maximalen Definitionsmenge D(z k ). Der Graph dieser Funktion z k in einem kartesischen Koordinatensystem heißt G(z k ) Berechnen Sie die Koordinaten der Nullstellen der Funktion z k und geben Sie deren Vielfachheit in Abhängigkeit von k an. Für die folgenden Teilaufgaben gilt: k = 7. z(x) 7 1. Gegeben ist die reelle Funktion f 7 : x a x 8 in der maximalen Definitionsmenge D(f 7 ) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D(f 7 ) Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen G(f 7 ) an Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion f 7. Bestimmen Sie Art und Lage der relativen Extremalpunkte des Graphen G(f 7 ). x 16x+ 57 mögliches Teilergebnis:f'(x) 7 = (x 8) Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und einer geeigneten Wertetabelle den Graphen G(f 7 ) und seine Asymptoten im Bereich 3 x 8 in ein kartesisches Koordinatensystem Der Graph G(f 7 ) schließt mit der x-achse ein endliches Flächenstück ein. Markieren Sie diese Fläche in Teilaufgabe und berechnen Sie die Maßzahl der Fläche.

3 - 3 - Analysis: Aufgabe Gegeben ist die reelle Funktion f: x a (lnx) 1 in der maximalen Definitionsmenge D(f) = IR +. Der Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem heißt G(f). 3.1 Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen G(f) mit der x-achse. 3. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f an den Rändern des Definitionsbereiches D(f) und geben Sie die Gleichung der Asymptote an. 5.3 Bestimmen Sie Lage und Art des Extremalpunktes des Graphen G(f). lnx mögliches Teilergebnis:f'(x) = x 3.4 Untersuchen Sie das Verhalten der Tangentensteigung des Graphen G(f) für x und für x Zeigen Sie, dass der Graph G(f) einen Wendepunkt besitzt. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes und bestimmen Sie die Gleichung, sowie den Steigungswinkel der zugehörigen Wendetangente. 5.6 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Graphen G(f) und die Wendetangente im Bereich 0< x 10 in ein kartesisches Koordinatensystem. Geben Sie den Wertebereich der Funktion f an. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1cm

4 - 4 - Analysis: Aufgabe 3 3 Eine Maschine schneidet aus rechteckigen Blechstreifen mit der Länge a und der Breite b Profilbleche aus. Die Ränder eines Profils werden durch die Funktionen f: x a 10 x und g: x a 0,5 x in den Definitionsmengen D(f) = IR + 0 und D(g) = IR + 0 beschrieben (siehe Skizze). b G(g) a B Blechstreifen G(f) Profilblech A Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte A und B der Graphen G(f) und G(g) und berechnen Sie die Maßzahl der Länge a der Rechteckstreifen. [ Teilergebnis: B(400; 00) ] 4 3. Eine Tangente t, die parallel zur Geraden g ist, berührt den Graphen G(f) im Punkt P. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t und die Koordinaten des Punktes P. Teilergebnis: t: x a 0,5x+ 50 [ ] Die Gerade s geht durch den Punkt P und steht senkrecht auf der Tangente t. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden s und berechnen Sie die Maßzahl der Breite b der Rechteckstreifen Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts eines Profilblechs Berechnen Sie den Blechabfall in Prozent, der bei der Herstellung eines Profilblechs anfällt.

5 - 5 - Analysis: Aufgabe 4 4 Ein Körper wird vom Punkt A zum Punkt B geschossen. Die Flugbahn f wird für den Bereich 0 x 10durch die Funktionsgleichung f: x a ax + bx+ c mit a, b, c IR beschrieben. Für die folgenden Teilaufgaben sind nur die Maßzahlen zu berücksichtigen, mit einer Genauigkeit von Nachkommastellen Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion f, wenn der Flugkörper im Startpunkt A(0; 3) mit der Horizontalen einen Winkel von 45 bildet und im Punkt B(10; 6) aufschlägt. Ergebnis: f:x a 0,07x² + x+ 3 [ ] 3 4. Berechnen Sie die Koordinaten des höchsten Punktes der Flugbahn Das Geländeprofil wird durch die Funktion 3 g:x a 0,015x 0,1x + 3beschrieben. Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der Extremalstellen Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und g unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und mit Hilfe einer Wertetabelle im Bereich 0 < x < 10 in ein kartesisches Koordinatensystem Die Flughöhe des Körpers über dem Geländeprofil wird durch die Gleichung h(x) = f(x) g(x) beschrieben. Ermitteln Sie die maximale Flughöhe und zeichnen Sie diese in das Koordinatensystem von Aufgabe 4.4.

6 - 6 - Analytische Geometrie 5 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(3; 1; ), B(9; 4; 5) und C( 1; 3; 10) gegeben Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und Normalenform, die die Punkte A, B und C enthält. mögliches Teilergebnis: E: x 5x x 3 = 0 [ 1 3 ] 4 5. Der Punkt S(8; 9; ) bildet die Spitze einer dreiseitigen Pyramide mit dem Dreieck ABC als Grundfläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide Die Gerade g geht durch die Spitze S und steht senkrecht auf der Grundfläche der Pyramide. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g und berechnen Sie den Schnittpunkt L von g mit der Ebene E. [ Ergebnis: L(4; 1; 0) ] Der Punkt S* ist der Spiegelpunkt des Punktes S an der Ebene E. Berechnen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes S* Berechnen Sie den Schnittwinkel α von E mit der Geraden durch die Punkte A und S der Pyramide Die Ebene F verläuft parallel zur Ebene E und geht durch den Punkt H(6; 4; 1). Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform und berechnen Sie den Abstand der Spitze S von der Ebene F.

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