5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen
|
|
- Jasper Tristan Schneider
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 .. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion, Fläche zwischen zwei Schaubildern () Untersuchen Sie f(x) x x und g(x) x auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrempunkts sowie gemeinsame Punkte. Skizzieren Sie die beiden Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von f und g eingeschlossen wird. Symmetrie: f und g sind symmetrisch zur y-achse, da f( x) f(x) und g( x) g(x) () f(x) x (x )(x + ) S fx ( ) (doppelt, daher Berührpunkt ohne VZW) und S fx/ (± ) () g(x) (x )(x + ) S gx/(± ) und S gy ( ) (Scheitelpunkt Tiefpunkt) () Ableitungen: f (x) x x x(x ) und f (x) 6x () Tiefpunkte (f (x) und f (x) > ): T f/ (± ) () Gemeinsame Punkte: f(x) g(x) x x + (x )(x ) () S fg/ (± ) und S fg/(± ) () Flächeninhalt A (f (x) g(x))dx + (g(x) f (x))dx () (x x + )dx + ( x + x )dx x x + x + + x x x + + FE () Beschriftete Skizze () Aufgabe : Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten () a) Untersuchen Sie das Schaubild von f(x) x x + auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten. (: t / x ± ) Skizzieren Sie die Schaubilder von f und ihren Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich. b) Berechnen Sie den Inhalte der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und dem Schaubild von f eingeschlossen wird. a) Symmetrie: f(x) f( x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-achse) () Achsenschnittpunkte: x S y ( ), () y mit Substitution z x und p-q-formel S x/ (± ), S x// (± ) () Ableitungen: f'(x) x 6x und f''(x) 6x 6 () Hoch- und Tiefpunkte: f'(x) und f''(x) H( ) und T/ (± ) () Wendepunkte: f''(x) mit VZW bzw. f'''(x) W / (± ) () Wendetangenten: t / (x) x ± () Schaubildskizze () b) A (t (x) f (x))dx ( x + x x + )dx () x + x x + x 6 FE () ()
2 Aufgabe : Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten () a) Untersuchen Sie das Schaubild von f(x) x + x auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten. (: t / x ± ) Skizzieren Sie die Schaubilder von f und ihren Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich. b) Berechnen Sie den Inhalte der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und dem Schaubild von f eingeschlossen wird. a) Symmetrie: f(x) f( x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-achse) () Achsenschnittpunkte: x S y ( ), () y mit Substitution z x und p-q-formel S x/ (± ), S x// (± ) () Ableitungen: f'(x) x + x und f''(x) x + () Hoch-und Tiefpunkte: f'(x) und f''(x) H( ) und T/ (± ) () Wendepunkte: f''(x) mit VZW bzw. f'''(x) W / (± ) () Wendetangenten: t / (x) x ± () Schaubildskizze () b) A (f (x) t (x))dx ( x + x x + )dx () x + x x + x FE () Aufgabe : Kurvenuntersuchung, Extremwertaufgabe, Integration (Matura ) () a) Untersuche die Polynomfunktion f(x) x x + auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- sowie Wendepunkte. Stelle die Funktion in einem Koordinatensystem mit allen wesentlichen Punkten dar. () b) Berechne den Inhalt des endlichen Flächenstücks A, das durch den Funktionsgraphen und die x-achse begrenzt wird. () c) In den Zwischenraum A soll ein Rechteck maximaler Fläche eingeschrieben werden. Bestimme dessen Seitenlängen. (9) d) Wieviel Prozent des gesamten Zwischenraums A nimmt das Rechteck aus c) ein? () en: a) f ist symmetrisch zur y-achse, da f( x) f(x) () Schnittpunkt mit y-achse S y ( ) () f(x) (x ) (x + ) T / (± ) () (doppelte Nullstellen Berührpunkte und insbesondere Tiefpunkte, da f(x) > für alle x, siehe unten) Ableitungen: f (x) x x x(x + )(x ), f (x) x und f (x) 6x () Hochpunkt H( ), da f () und f () < oder mit VZW von + nach () Tiefpunkte T / (± ), da f (±) und f (±) > oder wie oben oder mit VZW () Wendepunkte W / (± 6 9 ), da f (± ) und f (± ) oder mit VZW () Beschriftete Skizze ()
3 b) Der Flächeninhalt des gesamten Zwischenraums ist A f (x)dx x x + x ( 6 + ) FE. () c) Das Rechteck mit den Eckpunkten A( u ), B(u ), C(u f)u) und D( u f( u) mit u () Flächeninhalt A(u) u f(u) u u + u mit A (u) u 6u + (u u + 6 ) () A (u) für u ± u I ± und u I ±. () u und u sind negativ und liegen ausserhalb des betrachteten Bereiches. () In u wird die Fläche minimal mit A() () Das absolute und relative Maximum muss also bei u Das Rechteck hat die Seitenlängen und 6 d) Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist A Der Anteil von A beträgt A : A A A liegen mit f( ) 6 (). () FE. (),67 % () Aufgabe : Symmetrienachweis durch Verschiebung, Extremwertaufgabe, Integration () Gegeben ist die Funktion f durch f(x) x x + x + mit x. Das Schaubild von f ist K. a) Untersuchen Sie K auf Schnittpunkte mit den Achsen, Hoch-, Tief- und Wendpunkte. Geben Sie die Koordinaten der Hoch und Tiefpunkte auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet an. Zeichnen Sie K für, x, mit LE cm. () b) Zeigen Sie durch eine geeignete Verschiebung des Schaubildes, dass K symmetrisch ist zu N( ). Bestimmen Sie den Inhalt der Gesamtfläche, die von K und der x-achse eingeschlossen wird. (7) c) Zeichnen Sie die Kurve G der Funktion g mit g(x) x + für x in das Achsenkreuz aus Teilaufgabe a) ein. Die Gerade mit der Gleichung x u ( u ) schneidet die Kurve K im Punkt R und die Kurve G im Punkt S. Für welches u wird der Inhalt des Dreiecks RSO am größten? Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. () a) Schnittpunkt mit der y Achse: (x ) S y ( ) (,) Schnittpunkt mit der x Achse: (f(x) ) N ( ), N ( ) und N ( ) (,)
4 Ableitungen: f(x) x x + x +, f'(x) x x + und f''(x) x () Hoch- und Tiefpunkte: T( +,6) T(,7,6) und H(,6) H(,7,6) (,) Wendepunkte: (f''(x) mit VZW bzw. f'''(x ) W( ) (,) Schaubild: (an x-achse gespiegelt) () + () d) b) Symmetrie: f(x ) ( x x + x ) (x x + ) + (x ) + x + x () A ( x x + x + )dx + x x + x + x ( x x + x + )dx (oder A... ) () + x x + x + x () 7 7 +, FE () c) Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken O( ), R (u(f(u)) und S(u g(u)): A(u) g h [( u u + u + ) ( u + )] u 6 u + u mit u () () () Ableitungen: A'(u) u + u und A''(u) u + () relatives Maximum auf [;]: (A'(u) und A''(u) < ) bei u () Randwerte: A(), A( ) und A() absolutes Max für u mit A( ) Aufgabe 6: Symmetrienachweis durch Verschiebung, Extremwertaufgabe, Integration (). () Gegeben ist die Funktion f durch f(x) x x + x + mit x. Das Schaubild von f ist K. a) Untersuchen Sie K auf Schnittpunkte mit den Achsen, Hoch-, Tief- und Wendpunkte. Geben Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet an. Zeichnen Sie K für, x, mit LE cm. () b) Ziegen Sie durch eine geeignete Verschiebung des Schaubildes, dass K symmetrisch ist zu N( ).Bestimmen Sie den Inhalt der Gesamtfläche, die von K und der x-achse eingeschlossen wird. (7) c) Zeichnen Sie die Kurve G der Funktion g mit g(x) x + für x in das Achsenkreuz aus Teilaufgabe a) ein. Die Gerade mit der Gleichung x u ( u ) schneidet die Kurve K im Punkt R und die Kurve G im Punkt S. Für welches u wird der Inhalt des Dreiecks RSO am größten? Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. () a) Schnittpunkt mit der y-achse: (x ) S y ( ) (,) Schnittpunkt mit der x Achse: (f(x) ) N ( ), N ( ) und N ( ) (,) Ableitungen: f(x) x x + x +, f'(x) x x + und f''(x) x () Hoch- und Tiefpunkte: T( +,9) T(,7,9) und H(,9) H(,7,9) () Wendepunkte: (f''(x) mit VZW bzw. f'''(x ) W( ) (,) Schaubild: (vgl. Gruppe A) () + () d)
5 b) Symmetrie: f(x ) ( x x + 9 x ) ( x x+ ) + (x ) + x + x () A ( x x + x+ )dx + x x + x + x + ( x x + x+ )dx () x x + x + x () +, FE () c) Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken O( ), R (u(f(u)) und S(u g(u)): A(u) g h [( u u + u + ) ( u + )] u u + u mit u () Ableitungen: A'(u) u + u und A''(u) u + () relatives Maximum auf [;]: (A'(u) und A''(u) < ) bei u () 9 9 Randwerte: A(), A( ) und A() absolutes Max für u mit A( ). () () () Aufgabe 7: Kurvenuntersuchung Optimierungsaufgabe, Integration () Für x ist die Funktion f mit dem Schaubild K gegeben durch f(x) (x 6x + ). a) Untersuchen Sie das Schaubild K auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K im Bereich, x 6, mit LE cm. (7) b) Die Gerade g mit der Gleichung y x und das Schaubild K begrenzen zwei Flächenstücke. Berechnen Sie deren Gesamtinhalt. (7) c) Für u schneidet die Gerade mit der Gleichung x u das Schaubild im Punkt A und die Gerade aus Teilaufgabe b) im Punkt B. Der Punkt C( ) bildet mit den Punkten A und B ein Dreieck. Für welchen Wert von u wird das Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal? () en a) Ableitungen: f(x) (x 6x ) +, f'(x) (x x), f''(x) (6x ) und f'''(x) (,) Extrema: (f'(x) und f''(x) </> ) T( ) und H( ) () Wendepunkt: (f''(x) mit VZW bzw. f'''(x) ) W( ) (,) Skizze: () b) Schnittpunkte von g und K: Entweder rechnerisch durch Gleichsetzen g(x) f(x) (ergibt Gleichung. Grades > Probieren) oder durch ablesen der Punkte aus dem Schaubild und Punktprobe: x, x 6, x () A ( f (x) g(x) ) dx + ( f (x) ) x x x+ dx + x x x + x ( + 6) ( + 6) g(x) dx () + 6 x x x+ dx () x x x + x 6 () ( 9+ ) ( + 6) ()
6 + () 6 FE. () c) A(u) g h (f(u) g(u)) ( u) ( u u u + ) ( u) 6 u + u u u + A'(u) u + u u () Maximum: (A'(u) ergibt Gleichung. Grades Probieren) u (relatives Maximum) () u (relatives Minimum) () u + (außerhalb des zulässigen Bereiches) () Randwerte: A( ), A() ist rel. Minimum abs. Maximum bei u mit A( ). () Aufgabe : Kurvenuntersuchung Optimierungsaufgabe, Integration () Für x ist die Funktion f mit dem Schaubild K gegeben durch f(x) (x + 6x ). a) Untersuchen Sie das Schaubild K auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K im Bereich 6, x, mit LE cm. (7) b) Die Gerade g mit der Gleichung y x und das Schaubild K begrenzen zwei Flächenstücke. Berechnen Sie deren Gesamtinhalt. (7) c) Für u schneidet die Gerade mit der Gleichung x u das Schaubild im Punkt A und die Gerade aus Teilaufgabe b) im Punkt B. Der Punkt C( ) bildet mit den Punkten A und B ein Dreieck. Für welchen Wert von u wird das Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal? () en a) Ableitungen: f(x) (x 6x ) +, f'(x) (x x) + und f''(x) (6x + ) (,) Extrema: (f'(x) und f''(x) </> ) T( ) und H( ) () Wendepunkt: (f''(x) mit VZW bzw. f'''(x) ) W( ) (,) Wertetabelle und Schaubild: (vgl. Gruppe A) () b) Schnittpunkte von g und K: Entweder rechnerisch durch Gleichsetzen g(x) f(x) (ergibt Gleichung. Grades Probieren) oder durch ablesen der Punkt aus dem Schaubild und Punktprobe: x, x 6, x () A ( f (x) g(x) ) dx + ( f (x) ) x x x dx x + x x x 6 g(x) dx () 6 + x + x x dx () ( + 6) ( 9+ ) + x + x x x () ( + 6) ( + 6) () () 6 FE. () c) A(u) g h (g(u) f(u)) ( + u) ( u u + u + ) ( + u) 6 u u u + u + A'(u) u u u + und A''(u) u u () Maximum: (A'(u) ergibt Gleichung. Grades Probieren): u + (relatives Maximum), u (relatives Minimum) und u (außerhalb des zulässigen Bereiches) () 6
7 Randwerte: A( ) ist rel. Minimum, A() abs. Maximum bei u + mit maximaler Fläche A( + ). () Aufgabe 9: Kurvenuntersuchung, Extremwertaufgabe, Integration () e) Untersuche f(x) x x + auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- sowie Wendepunkte und skizziere ihren Graphen mit allen wesentlichen Punkten. f) In den Raum zwischen der x-achse und dem Teil des Graphen von f, der die Extremalpunkte enthält, soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt eingepasst werden. Berechne die Eckpunkte dieses Rechtecks. g) Wieviel Prozent des gesamten Zwischenraums nimmt das Rechteck aus b) ein? en: a) Symmetrie zur y-achse, da f( x) f(x) oder. f(x) x x + enthält nur gerade Exponenten () S y ( ) () f(x) (x ) (x + ) T / (± ) () (doppelte Nullstellen Berührpunkte und insbesondere Tiefpunkte, da f(x) > für alle x, siehe unten) Ableitungen: f (x) x x x(x + )(x ), f (x) x (und f (x) 6x) () Hochpunkt H( ), da f () und f () < oder mit VZW von + nach () Tiefpunkte T / (± ), da f (±) und f (±) > oder wie oben oder mit VZW () Wendepunkte W / (± 6 9 ), da f (± ) und f (± ) 6 oder mit VZW () Beschriftete Skizze () b) Das Rechteck mit den Eckpunkten A( u ), B(u ), C(u f)u) und D( u f( u) mit u () Flächeninhalt A(u) u f(u) u u + u mit A (u) u u + (u u + 6 ) () A (u) für u ± u I ± und u I ±. () u und u sind negativ und liegen ausserhalb des betrachteten Bereiches. () In u wird die Fläche minimal mit A() () Das absolute und relative Maximum muss also bei u liegen mit f( ) 6. () Das Rechteck hat die Eckpunkte (± ) und (± 6 ) () c) Der Flächeninhalt des Rechtecks aus b) ist A( ) Der Flächeninhalt des gesamten Zwischenraums ist A f (x)dx x x + x Der Anteil von A betragt A A ( 6 + ) FE. () FE. (),66 % () Aufgabe : Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Optimierungsaufgabe, Integration () Gegeben ist f t (x) 9 x + t x t x + t t mit x ε und t ε * +. Das Schaubild von f t heißt K t. a) Untersuchen Sie K auf Achsenschnittpunkte, Extrem- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K für x mit LE cm. () b) Bestimmen Sie die Ortskurve des Hochpunktes von K t. (6) c) Die Senkrechte x u mit x schneidet K in R und die x-achse in P. K schneidet die positive x- Achse in Q. Berechnen Sie dien maximalen Flächeninhalt, den das Dreieck PQR annehmen kann. (6) 7
8 a) Ableitungen: f (x) 9 x + x x, f (x) x + x und f (x) x + () Schnittpunkt mit der y-achse: S y ( ) (,) Schnittpunkte mit der x-achse (f (x) 9 (x )(x + ) S x ( ) und S x/ ( ) (doppelt) (,) Extrema: (f (x) und f (x) </> ) T( ) und H( ) () 9 Wendepunkte: (f (x) mit VZW) W( 6 ) 9 () Skizze () b) Ableitungen: f t (x) x t + x t t und f t (x) x + () Hochpunkte (f t (x) und f t (x) < ) H( t t + t t ) () Ortskurve y 9 x + x + x () c) A(u) g h ( u) ( f(u)) (u u + ) A (u) (u 6u) () relatives Maximum (A (u) und A (u) < ) bei u mit A(), FE. () Bereichsgrenzen A( ) A() absolutes Maximum bei u. () Aufgabe : Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Optimierungsaufgabe, Integration () x K ist das Schaubild der Funktion f t.mit f t (x t) mit x ε und t ε * +. t a) Untersuchen Sie K auf Schnittpunkte mit der x-achse, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K für x 6 mit LE cm. () b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Hochpunkte von K t. (6) c) Die Senkrechte x u schneidet K in P und die x-achse in R. Gegeben ist außerdem der Punkt Q( 6). Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt, den das Dreieck PQR annehmen kann. () a) f (x) x (x 6) x + x, f '(x) x + x, f ''(x) x +, f '''(x) () Schnittpunkte mit der x-achse: (f(x)) N / ( ) (doppelte NST Berührpunkt) und N (6 ) () Hoch- und Tiefpunkte: (f'(x), f''(x) </>) T( ) und H( ) () Wendepunkte: (f''(x), f''' oder VZW von f''(x)) W( ) () Wertetabelle und Schaubild: () b) f t (x) x + 6 t t x, f t(x) 6 x + 6 t t () Hochpunkt: (f t (x) und f t (x) < ) H(t t) () Ortskurve der Hochpunkte y x () c) A(u) g h (6 u) f (u) u (u 6), () A (u) u (u 6) (u ), A (u) (u 6u + 6) () rel. Max (A (u) und A (u) < ) bei u. () Bereichsgrenzen: A() A(6) abs Max bei u mit A() FE. () Aufgabe : Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Optimierungsaufgabe (6) Für jedes t * + sind die Funktionen f t und g t gegeben durch f t (x) x t x und g t (x) t ( t )x. Das Schaubild von f t ist K t, das Schaubild von g t ist G t. t t
9 a) Untersuchen Sie das Schaubild K t auf Symmetrie, Schnittpunkte mit der x-achse, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K und G im Bereich x mit LE cm. () b) In den Raum, der zwischen K und G liegt, soll ein Rechteck maximaler Fläche eingepasst werden, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Rechteckes auf zwei Nachkommastellen gerundet an. (9) c) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von K t und G t. Für welches t wird der Abstand der beiden rechten Schnittpunkte minimal? Hinweis: Dieses Extremwertproblem lässt sich lösen ohne dabei irgendwelche Ableitungen zu bilden! (6) en: 6 a) Ableitungen: f t (x) x t x, f t (x) x t und f t (x) x () t t t Symmetrie: f t ist eine gerade Funktion, also symmetrisch zur y-achse. () Schnittpunkte mit der x-achse N / ( ) (doppelte NST Berührpunkt) und N / (± t ) () Extrempunkte (f t (x) und f t (x) ): H( ) und T / (± t t ) () Wendepunkte (f t (x) mit VZW): W / (± t t ) () Schaubild (zusätzliche Werte: f (±) ) () b) Aus der Zeichnung lässt sich erkennen, dass von den Zwischenräumen in den Bereichen x, x und x der mittlere Bereich x deutlich größer ist als die beiden anderen. Es bietet sich daher an, die folgenden Eckpunkte mit x zu wählen: A(u g(u)) B(u (f(u)) C(u (f( u)) C( u f(u) D(u (g( u)) D( u g(u) () A(u) b h [u ( u)] [f (u) g (u)] u [,u,u + ] u u + u A (u) u u + und A (u) u u Relatives Maximum (A (u) und A (u) < ): u u + u u +, z z +, z / ± 9 u / 9 ± + ±,6 und u / 9 ± ±,. Nur u, liegt im gewünschten Bereich! A (,), < relatives Maximum (Hochpunkt). Bereichsgrenzen: A(), A(,), und A() absolutes Maximum bei u, y-koordinaten: f (,), und g (,),6 Eckpunkte: A(,,), B(,,), C(,,6) und D(,,6). (7) c) Punkte A( t t ) und B( t t ) Abstand d(t) + ( t ) mit t >. t Ansatz : Da die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, genügt es, das Minimum von d (t) + ( t ) t zu suchen: Ist d (t) an der Stelle t minimal, so besitzt auch d(t) dort ein relatives Minimum. (d (t) ) ( t t )( t 6t) t t t mit d( ). (t >!). Randwerte: Da d(t) für t (wegen t ) und für t (wegen t ) gegen strebt, ist an dieser Stelle auch das absolute Minimum. Ansatz : + erreicht sein absolutes Minimum, wenn ( t ) t t t t Aufgabe : Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Tangente (). Für jedes t ε ist die Funktion f t gegeben durch f t (x) x + (t )x + (t )x + t. Ihr Schaubild heißt K t. a) Untersuchen Sie K auf Achsenschnittpunkte, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K für x mit LE cm. () 9
10 b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an K im Punkte P(, f (,)). Zeigen Sie, dass der Tiefpunkt von K auf dieser Tangenten liegt. Q sei ein vom Hochpunkt H( ) verschiedener Punkt auf K. Bestimmen Sie die Koordinaten von Q so, dass die Tangente an K in Q durch H geht. (7) c) Zeigen Sie, dass K t die x-achse in A( ) berührt. Für welche Werte von t ist A Hochpunkt Tiefpunkt Wendepunkt von K t? d) Es sei t. Auf dem Schaubild K t liegen die Punkte R(t ) und S( t). Der Ursprung O( ) und die Punkte R und S bilden Sie Eckpunkte eines Dreieckes mit dem Flächeninhalt A (t). Die Koordinatenachsen und K t begrenzen im. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt A (t). Für welchen Wert von t gilt A (t) : A (t) :? Aufgabe : Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Optimierungsaufgabe () t Gegeben ist die Funktion f t durch f t (x) x t + x mit x und t * +. Das Schaubild von f t heißt K t. 6 a) Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit der x-achse, Extrem- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K für x mit LE cm. () b) Untersuchen Sie K t auf Extrempunkte und zeigen Sie, dass K t keinen Hochpunkt besitzt. Bestimmen Sie die Ortskurve des Tiefpunktes von K t. () c) Die Senkrechte x u mit u schneidet K in P und die x-achse in Q Für welches u ist der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ maximal? ()
5.3. Abstrakte Anwendungsaufgaben
Aufgabe.. Abstrakte Anwendungsaufgaben In den Raum zwischen der x-achse und dem Graphen von f(x) = x x + soll ein Rechteck möglichst großer Fläche gelegt werden, dessen Ecken auf dem Graphen liegen. Wie
MehrFH- Kurs Mathematik Übungsaufgaben für 2. Klausur
Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f mit 1 f x = x x x + x R 8 3 2 ( ) = ( 3 9 + 27);. a) Untersuchen sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte. Zeichnen
Mehr5.3. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen
.. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion Untersuche die folgenden Funktionen auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- und Wendepunkte und zeichne ein Schaubild
Mehr5.3. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen
.. Aufgaben zur Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion Untersuche die folgenden Funktionen auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Etrem- und Wendepunkte und zeichne ein Schaubild
MehrMathemathik-Prüfungen
M. Arend Stand Juni 2005 Seite 1 1980: Mathemathik-Prüfungen 1980-2005 1. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung geht durch P 1 (0 4) und hat in P 2 (-1 1) einen Wendepunkt. 2. Diskutieren Sie
MehrAufgaben zur e-funktion
Aufgaben zur e-funktion 1.0 Gegeben ist die reelle Funktion f(x) = 2x 2x e 1 x2 mit x R (Abitur 2000 AII). 1.1 Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion f und bestimmen Sie die Nullstellen
Mehr)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.
Analysis Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK (abgeändert). Gegeben ist die Funktion f(x) = ( x )e ( x ). a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen
Mehr1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13
Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL A. Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion f mit f( x) ( x ) ( x ) ; x IR an.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P( f ())
MehrAbschlussprüfung Fachoberschule 2016 Mathematik
Abschlussprüfung Fachoberschule 06 Aufgabenvorschlag A Funktionsuntersuchung /6 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x) = x + x; x IR. Berechnen Sie die Funktionswerte f( x ) für folgende
MehrAbiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A Für jedes a > ist eine Funktion f a definiert durch fa (x) = x (x a) mit x R a Das Schaubild von f
MehrArbeitsblätter Förderplan EF
Arbeitsblätter Förderplan EF I.1 Nullstellen bestimmen Lösungen I.2 Parabeln: Nullstellen, Scheitelpunkte,Transformationen Lösungen I.3 Graphen und Funktionsterme zuordnen Lösungen II.1 Transformationen
MehrÜ b u n g s a r b e i t
Ü b u n g s a r b e i t Aufgabe. a) Die Querschnittsfläche eines Abwasserkanals ist im unteren Teil von einer Parabel k begrenzt, an die sich nach oben die beiden Geraden g und h anschließen. Bestimmen
Mehr5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation
5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation Aufgabe : Verschiebung und Streckung trigonometrischer Funktionen (5) a) Bestimmen Sie die Periode p sowie die Nullstellen der Funktion
MehrB Anwendungen der Differenzialrechnung
B Anwendungen der Differenzialrechnung Kurvendiskussionen Um den Verlauf eines Funktionsgraphen zu bestimmen, kann eine Wertetabelle aufgestellt werden. Dies kann jedoch sehr mühselig sein und es ist nicht
Mehr1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13
Pflichtteil Aufgabe BEISPIEL A. Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion f mit 4 f( x) ( x ) ( x ) ; x IR an.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P( f ()) an das Schaubild der Funktion
MehrArbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.
Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der
MehrTK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten
. Feststellungsprüfung Nachprüfung 19.0.005 1. Untersuchen Sie die Funktion p ( ) = + 16 auf Monotonie und geben Sie auf Grund dieses Ergebnisses die Lage des Scheitels an. (10. Der Graph einer ganz rationalen
MehrHauptprüfung 2006 Aufgabe 1
Hauptprüfung 6 Aufgabe. Geben Sie eine Funktion h an, deren Schaubild mit der folgenden Kurve übereinstimmt. (6 Punkte). Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x + x, x Ihr Schaubild ist K. Berechnen Sie
Mehra) Begründen Sie, dass der Graph von f symmetrisch zum Punkt S 0 2 f) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt B
I. Wendepunkte 1. Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte sowie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit der angegebenen Funktionsgleichung. a) f(x) 1 b) 12 (x + 1) (x 2) (x + 6) f(x) 1 4 x4
MehrMathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate
Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +
MehrAbiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades geht durch den Punkt S(0/) und hat den 3 Wendepunkt
Mehre-funktionen f(x) = e x2
e-funktionen f(x) = e x. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch, da f( x) = f(x).. Nullstellen: Bed.: f(x) = 0 Es sind keine Nullstellen vorhanden, da e x stets positiv ist. 3. Extrema: notw. Bed.: f
MehrAbschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis II
Analysis NT GS - 0.06.06 - m06_ntalsg_gs.mcd Abschlussaufgabe 006 - Nichttechnik - Analysis II.0 Gegeben sind die reellen Funktionen fx ( ) mit ID f = ID g = IR. ( ) = x und gx ( ) = fx ( ) +. Zeigen Sie,
MehrAbiturprüfung 2000 LK Mathematik Baden-Württemberg
Abiturprüfung 000 LK Mathematik Baden-Württemberg Aufgabe I 1 Analysis ( )² Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) = ; D f. Ihr Schaubild sei K. ( 4) a) Geben Sie die maimale Definitionsmenge D f an. Untersuchen
MehrBearbeitungszeit Die Arbeitszeit beträgt 300 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Auswahl der Wahlaufgaben.
Apsel Probeabitur LK Mathematik 00/003 Seite Hinweise für Schüler Aufgabenauswahl Von den vorliegenden Aufgaben sind die Pflichtaufgaben P, P und P3 zu lösen. Von den Wahlaufgaben W5, W6 und W7 sind Aufgaben
MehrAufgaben zur e- und ln-funktion
Aufgaben zur e- und ln-funktion 1.0 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x2 2 mit D. Ihr Graph sei G f. (Abitur 2008 AI) e x f =! 1.1 Geben Sie die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen an. 1.2 Untersuchen
MehrAbschlussprüfung Mathematik 12 Nichttechnik A II - Lösung
GS.06.0 - m_nt-a_lsg_gs_pdf Abschlussprüfung 0 - Mathematik Nichttechnik A II - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f( x) D f = IR. 0 x x 8 x mit der Definitionsmenge Teilaufgabe.
MehrÜbungsbeispiele Differential- und Integralrechnung
Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung A) Gegeben ist die Funktion: y = 2x 3 9x 2 + 12x. a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [ 0,5; 3] b) Diskutieren Sie die Funktion (Nullstellen,
MehrAbschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis I - Lsg.
Analysis NT GS -.6.7 - m7_nta_l.mcd Abschlussaufgabe 7 - Nichttechnik - Analysis I - Lsg.. Gegeben sind die reellen Funktionen f k ( x) und ID fk ( ) x k x k x mit k IR k IR. Der Graph einer solchen Funktion
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
MehrAbschlussprüfung Berufliche Oberschule 2017 Mathematik 12 Nichttechnik - A I - Lösung
Abschlussprüfung Berufliche Oberschule Mathematik Nichttechnik - A I - Lösung Teilaufgabe. Gegeben ist die ganzrationale Funktion g dritten Grades mit D g IR, deren Graph G g in untenstehender Abbildung
Mehr1.2 Berechne den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von mit 5P der -Achse einschließt.
Diese Aufgaben sind zu bearbeiten. Sie können nicht abgewählt werden. Aufgabe A1 1. Gegeben ist die Funktion mit 2 3; 1.1 Eine der folgenden Abbildung zeigt das Schaubild. 6P Untersuche für jede der Abbildungen,
Mehr1.2 Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Schaubild der Funktion mit 4P! bei 1 einen Sattelpunkt aufweist.
Aufgabe A1 1.1 Erläutere anhand einer Skizze, ob das Integral 3P größer, kleiner oder gleich Null ist. 1.2 Für eine Funktion gilt: (1) 0 für 2 und 1 (2) 23 (3) 13 (4) 2 (5) 1 6 Welche Aussagen lassen sich
MehrAnalysis 2. f(x) = x2 6x + 8 x 2 6x + 5 a) Ermitteln Sie den Definitionsbereich der Funktion f. Weisen Sie nach, dass gilt:
Analysis 2 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = x2 6x + 8 x 2 6x + 5 a) Ermitteln Sie den Definitionsbereich der Funktion f. Weisen Sie nach, dass gilt: f (x) = 6(x
Mehrf(x) 1,71 1,92 0,33-0,96 3,75
Abschlussprüfung Fachoberschule 07 Aufgabenvorschlag A Funktionsuntersuchung /4 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) 0,0x 0,x + x; x IR.. Beschreiben Sie das Verhalten des Graphen
Mehr1. Bestimmen Sie jeweils das allgemeine Folgeglied der Folge (a n )! 2. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch folgende Punkte!
1 Folgen und Reihen 1. Bestimmen Sie jeweils das allgemeine Folgeglied der Folge (a n )! (a) (a n ) = (1; 3; 5; 7;...) (b) (a n ) = ( 3 2 ; 6 5 ; 9 10 ; 12 17 ; 15 26 ;...) 2. Bestimmen Sie die ersten
MehrSchwerpunktaufgaben zur Vorbereitung auf die Leistungsfeststellung
Schwerpunktaufgaben zur Vorbereitung auf die Leistungsfeststellung 1. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Verfahrens. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Taschenrechner. ganzzahlig
MehrErgänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)
Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 004 Prüfungsfach: Mathematik (technische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 4. Juni 004 Prüfungsdauer: 09:00-1:00 Uhr Hilfsmittel: elektronischer,
MehrAnalysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen
A1 Funktionen/Funktionsklassen 1 Grundbegriffe Analysis A 1.1 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2 x 2 + x. a) Bestimme, wenn möglich, die Funktionswerte an den Stellen 0, 4 und 2. b) Gib die maximale
MehrSkripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x.
Skripten für die Oberstufe Kurvendiskussion x 3 f (x) x f (x)dx = e x H. Drothler 0 www.drothler.net Kurvendiskussion Zusammenfassung Seite Um Funktionsgraphen möglichst genau zeichnen zu können, werden
MehrI 1. Ermittle von den folgenden Funktionen jeweils Stammfunktionen: (d) 4cosxdx (e) 3e x dx (f) ( e x + x 2) dx
Integralrechnung: I. Ermittle von den folgenden Funktionen jeweils Stammfunktionen: (a) y =,5 (b) y = + (c) y = 5 (d) y = 3 (e) y = (f) y = (g) y = 3 (h) y = (i) y = 3 4 4 (j) y = 6 + 3 (k) y = 3 + 4 (l)
MehrAnalysis. Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Monotonie, Verhalten im Unendlichen, Tangente. Gymnasium Klasse 10
Analysis Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Monotonie, Verhalten im Unendlichen, Tangente Gymnasium Klasse 1 Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner Alexander Schwarz März 18 1
MehrMatur-/Abituraufgaben Analysis
Matur-/Abituraufgaben Analysis 1. Tropfen Die folgende Skizze zeigt die Kurve k mit der Gleichung y = (1 ) im Intervall 1. Die Kurve k bildet zusammen mit ihrem Spiegelbild k eine zur -Achse symmetrische
MehrMathematik GK m1/m2/m3, 2. Kl. Funktionenuntersuchung Lösung A
Aufgabe 1: Kurvendiskussion Führe eine vollständige Funktionsuntersuchung für die Funktion f x = 1 2 x5 1 4 x4 3 2 x3 durch. Dazu gehören alle Teilaufaben, wie sie im Unterricht besprochen wurden und auf
MehrWurzelfunktionen Aufgaben
Wurzelfunktionen Aufgaben. Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k (x) = 8 (x k ) kx, 0 x gegeben. a) Untersuchen Sie die Funktion f k auf Nullstellen und Extrema. Ermitteln Sie lim f k(x) sowie für 0
MehrErgänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)
Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 005 Prüfungsfach: Mathematik (technische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 16. Juni 005 Prüfungsdauer: 09:00-1:00 Uhr Hilfsmittel: elektronischer,
MehrKlassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mo SG10D Gruppe A NAME: Lösungen
R. Brinkmann Seite 06..0 Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mo..0 SG0D Gruppe A NAME: Lösungen Hilfsmittel: Taschenrechner Rechnen Sie wo möglich mit Brüchen. Bei auftretenden Wurzeln genügt
MehrBestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: 1. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung:
Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Stichworte: lineare Gleichungen; quadratische Gleichungen; Gleichungen höherer Ordnung; Substitution; Exponentialgleichungen; trigonometrische
MehrErgänzungsheft Erfolg im Mathe-Abi
Ergänzungsheft Erfolg im Mathe-Abi Hessen Prüfungsaufgaben Grundkurs 2012 Grafikfähiger Taschenrechner (GTR), Computeralgebrasystem (CAS) Dieses Heft enthält Übungsaufgaben für GTR und CAS sowie die GTR-
MehrErgänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung)
Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 2006 Prüfungsfach: Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 22. Juni 2006 Prüfungsdauer: 09:00 12:00 Uhr Hilfsmittel:
MehrAnalysis. Kurvenuntersuchung ganzrationale Funktionen. Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen
Analysis Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen Allg. Gymnasien: ab J / Q Berufliche Gymnasien: ab Klasse Berufskolleg Alexander Schwarz August 08 Aufgabe : Untersuche
MehrFörderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 Abgabe Zeichne die Tangenten bei x=6 und bei x = 4 ein und bestimme die zugehörige Geradengleichung.
Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 Abgabe 20.1.15 1. Zeichne die Tangenten bei x=6 und bei x = 4 ein und bestimme die zugehörige Geradengleichung. 2. Bestimme f (x): a) f(x) = x 3 + 4x 2 x + 1 b) f(x) =
Mehr1.4 Schaubild von Schaubild von Schaubild von 1., /
Lösung A1 1.1 Das Integral ist größer als Null, da die Fläche die der Graph der - Funktion oberhalb der -Achse größer ist als die Fläche unterhalb der -Achse. 1.2 Aussagen über das Schaubild von sind:
MehrAbitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln
Mehrund geben Sie die Gleichungen und Art aller Asymptoten an. an, bestimmen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von G f auflösen x x 2 2 ( 2/ 0)
Abiturprüfung Berufliche Oberschule Mathematik Nichttechnik - A II - Lösung Teilaufgabe. x Gegeben ist die Funktion f( x) ( x ) in ihrer maximalen Definitionsmenge D f IR. Der zugehörige Graph heißt. Teilaufgabe.
MehrAnalysis: Klausur Analysis
Analysis Klausur zu Extrempunkten, Interpretation von Graphen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen, Extremwertaufgaben (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
MehrAbitur 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung II
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 217 Mathematik Infinitesimalrechnung II Die Abbildung zeigt den Graphen der in R definierten Funktion g : x p + q sin p, q, r N. ( π r x ) mit Gegeben
MehrAnalysis 7. f(x) = 4 x (x R)
Analysis 7 www.schulmathe.npage.de Aufgaben Gegeben ist die Funktion f durch fx) = 4 x R) a) Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte,
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
MehrAnalysis. Ganzrationale Funktionen: komplettes Stoffgebiet. Allg. Gymnasien: ab J1 / Q1 Berufliche Gymnasien: ab Klasse 12.
Anlysis Allg. Gymnsien: b J / Q Berufliche Gymnsien: b Klsse Alexnder Schwrz August 0 Aufgbe : 4 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) x 4x mit xr. Ihr Schubild sei K. ) Untersuche K uf Schnittpunkte mit
MehrNur für die Lehrkraft
Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Fach Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 05/6 (A) Nur für die Lehrkraft Prüfungstag 9. Mai 06 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel
MehrGemischte Aufgaben zur Differentialund Integralrechnung
Gemischte Aufgaben zur Differentialund Integralrechnung W. Kippels 0. Mai 04 Inhaltsverzeichnis Aufgaben. Aufgabe.................................... Aufgabe.................................... Aufgabe...................................
MehrEigenschaften von Funktionen. Aufgabe 1. Führen Sie eine ausführliche Funktionsuntersuchung für folgende Funktion durch:
Aufgabe 1 Führen Sie eine ausführliche Funktionsuntersuchung für folgende Funktion durch: 1 4 2 f ( x) Ä Å x Ç 0,5x Ç 2 4 Aufgabe 2 Führen Sie eine ausführliche Funktionsuntersuchung für folgende Funktion
MehrÜbungsaufgaben für die schriftliche Prüfung in Mathematik
Übungsaufgaben für die schriftliche Prüfung in Mathematik Aufgabe 1) Bestimme den Scheitelpunkt der quadratischen Funktionen 1. Über die quadratische Ergänzung. Über die Ableitung der Funktion a) f(=x²
MehrHauptprüfung 2007 Aufgabe 3
Hauptprüfung 7 Aufgabe. Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f (x) = sin x g (x) = sin(x) +, x h(x) = sin x Ihre Schaubilder sind Beschreiben Sie, wie hervorgehen.. Skizzieren Sie K g. K f, K f,
MehrAufgabe A2 1.1 Die Funktion ist gegeben durch 3P 21 mit Berechne die Gleichung der Tangente an das Schaubild von im Schnittpunkt mit der -Achse. 1.2 E
Aufgabe A1 1.1 Erläutere anhand einer Skizze, ob das Integral 3P größer, kleiner oder gleich Null ist. 1.2 Für eine Funktion gilt: (1) 0 für 2 und 1 (2) 23 (3) 13 (4) 2 (5) 1 6 Welche Aussagen lassen sich
MehrAufgaben sind zum größten Teil ohne CAS zu lösen. Kontrolle mit CAS ist eine gute Übung
Aufgaben sind zum größten Teil ohne CAS zu lösen. Kontrolle mit CAS ist eine gute Übung Analysis Aufgabe 2 Bestimmen Sie jeweils die Gleichung einer Funktion f mit folgenden Eigenschaften: a) Die Funktion
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen
MehrAbschlussprüfung Mathematik 12 Nichttechnik A I - Lösung
GS.06.0 - m_nt-a_lsg_gs.pdf Abschlussprüfung 0 - Mathematik Nichttechnik A I - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f( x) D f = IR. x x x mit der Definitionsmenge Teilaufgabe. (7
MehrAbitur 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 217 Mathematik Infinitesimalrechnung I Gegeben ist die Funktion g : x 2 4 + x 1 mit maximaler Definitionsmenge D g. Der Graph von g wird mit G g bezeichnet.
MehrFlächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnungen mit Integralen
Flächenberechnungen mit Integralen Aufgabe 1: Gegeben sei die Funktion = 44. = 44 Aufgaben und Lösungen a) Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve mit den Koordinatenachsen einschließt. b) Berechnen Sie
MehrAbschlussprüfung Berufliche Oberschule 2015 Mathematik 12 Nichttechnik - A I - Lösung. y-achse 1
Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 0 Mathematik Nichttechnik - A I - Lösung Teilaufgabe Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz IR definierten ganzrationalen
MehrPflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 6 Übungsaufgaben: Ü: Gegeben ist
Mehr1. Fall: 2. Fall: Lösungsblatt zu: Differentialquotient. Tipp: Nullstellen. Tipp: Es reicht, wenn einer der Faktoren Null wird.
Lösungsblatt zu: Differentialquotient Aufgabe 1: Gegeben: f(x) = 0,5x 3 1,5x² a) Bestimmen Sie die Nullstellen: Nullstellen f(x) = 0 0,5x 3 1,5x 2 = 0 ( 0,5x 2 ausklammern) 0,5x 2 (x + 3) = 0 Es reicht,
Mehr4.1. Aufgaben zu linearen Funktionen
.. Aufgaben zu linearen Funktionen Aufgabe : Koordinatensystem a) Gib die Koordinaten der Punkte P - P 8 in dem rechts abgebildeten Koordinatensystem an. b) Markiere die Punkte A( ); B( ); C( ); D( );
MehrAbitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 213 Mathematik Infinitesimalrechnung II Teilaufgabe Teil 1 1 (5 BE) Geben Sie für die Funktion f mit f(x) = ln(213 x) den maximalen Definitionsbereich
MehrMathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema
Quadratische Funktionen 1 1.) Zeige, dass die Funktion in der Form f() = a 2 + b +c geschrieben werden kann und gebe a, b und c an. a) f() = ( -5) ( +7) b) f() = ( -1) ( +1) c) f() = 3 ( - 4) 2.) Wie heißen
MehrAbschlussprüfung Mathematik 12 Nichttechnik A II - Lösung
GS 9.6.7 - m7_nt-a_lsg_gs.pdf Abschlussprüfung 7 - Mathematik Nichttechnik A II - Lösung Teilaufgabe. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vierten Grades mit D f IR ist symmetrisch zur y-achse und
MehrFH- Kurs Mathematik. Übungsaufgaben zur Vorbereitung der 1. Klausur
. Leiten Sie die folgenden Funktionen f jeweils dreimal ab:. a) b) f ( x) = x x + 5x f ( x) = x ( x + 5) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit f ( x) = x x 5x + 6 mittels Polynomdivision. Die
MehrAnalysis Extremwertaufgaben mit funktionaler Nebenbedingung
Analysis Alexander Schwarz November 0 Aufgabe : Gegeben ist die Funktion mit f(x) x, x Die Abbildung zeigt ihr Schaubild. Dem Schaubild wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben, wobei der Punkt
MehrPflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz. Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016 1 Übungsaufgaben: Ü1: Die Abbildung zeigt
Mehrx 2 x 1.Untersuchen Sie die Schaubilder der Funktion auf ihre Symmetrieeigenschaften. (Achsensymmetrie/ Punktsymmetrie)
I. Grenzverhalten von Funktionen. Verhalten einer Funktion für bzw.. Bestimmen Sie den Grenzwert a) b) ) ( + ( ) c) ( + ) ( ) II. Symmetrie.Untersuchen Sie die Schaubilder der Funktion auf ihre Symmetrieeigenschaften.
Mehr1 Kurvenuntersuchung /40
00 Herbst, (Mathematik) Aufgabenvorschlag B Kurvenuntersuchung /40 Die Tragflächen des berühmten Flugzeuges Junkers Ju-5 können an der Nahtstelle zum Flugzeugrumpf mithilfe der Funktionen f und g mit 8
MehrAbschlussprüfung Berufliche Oberschule 2013 Mathematik 12 Nichttechnik - A I - Lösung. = x x 2 2a x
Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 0 Mathematik Nichttechnik - A I - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f mit dem Funktionsterm f a ( x) wobei x, a IR und a 0. = x a x a x, Teilaufgabe.
MehrÜbungsaufgaben zur Kurvendiskussion
SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen
MehrBayern Teil 1. Aufgabe 1. Abitur Mathematik: Musterlösung. Der Term unter der Wurzel darf nicht negativ werden. Es muss also gelten:
Abitur Mathematik: Bayern 2013 Teil 1 Aufgabe 1 a) 1. SCHRITT: DEFINITIONSMENGE BESTIMMEN Der Term unter der Wurzel darf nicht negativ werden. Es muss also gelten: 3x + 9 0 x 3 2. SCHRITT: NULLSTELLEN
MehrGegeben ist die Funktion mit 2 4. Bestimme die Punkte des Graphen von, dessen Tangenten durch den Punkt 1 2 verlaufen.
Dokument mit 16 Aufgaben Aufgabe A1 Gegeben ist die Funktion mit 6. a) Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von im Punkt 1,21,2. b) Bestimme alle Tangenten an den Graphen, die zu parallel
Mehr(Quelle Abitur BW 2004) Gegeben sind die Schaubilder der Funktion mit, ihrer Ableitungsfunktion, einer Stammfunktion von und der Funktion mit.
Aufgabe A5/04 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion einer Funktion. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion sind wahr, falsch oder unentscheidbar? (1) ist streng monoton wachsend
MehrAbitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung II
Seite 1 Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung II Gegeben ist die Funktion g : x ln(2x + 3) mit maximaler Definitionsmenge D und Wertemenge W. Der Graph von g wird mit G g bezeichnet. Teilaufgabe
MehrMathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila
Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)
MehrPflichtteil Aufgabe 5 Funktionenkompetenz
Pflichtteil Aufgabe 5 Funktionenkompetenz 2016 (5VP) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begru nden Sie
MehrAbschlussprüfung Berufliche Oberschule 2017 Mathematik 12 Technik - A II - Lösung mit CAS. e 2x mit der maximalen Definitionsmenge D f = IR.
Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 07 Mathematik Technik - A II - Lösung mit Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f( ) e mit der maimalen Definitionsmenge D f IR. Teilaufgabe. ( BE)
MehrIII. Integralrechnung 7. Übungen für die Klausur Teil 1 - Integralrechnung
III. Integralrechnung 7. Übungen für die Klausur Teil - Integralrechnung Beachten Sie auch die Materialien aus dem Unterricht. Hier finden Sie viele Übungen, die Sie entweder noch nicht gemacht haben oder
MehrKurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen
Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................
MehrAnalysis 5.
Analysis 5 www.schulmathe.npage.de Aufgaben Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = 2 e 2 x 2 (x D f ) a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion
Mehr