Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung

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1 Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung A) Gegeben ist die Funktion: y = 2x 3 9x x. a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [ 0,5; 3] b) Diskutieren Sie die Funktion (Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkt, Wendetangente). [N: (0/0); H(1/5); T(2/4); W(1,5/4,5); t w : y = 1,5x + 6,75)] B) Gegeben ist die Funktion y = x 3 6x 2 + 9x. a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [ 0,5; 4] b) Diskutieren Sie die Funktion (Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkt, Wendetangente) [N: (0/0), (3/0); H(1/4), T(3/0); W(2/2); t: y = 3x + 8] C) Von einer Funktion der Form y = ax 3 + bx 2 + cx + d sind bekannt die Nullstelle (0/0), die Extremstelle (1/ 5) und der Punkt P( 1/ 1). a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung. [y = 4x 3 3x 2 6x] b) Zeichnen Sie die Funktion im Intervall [ 1; 2]. D) Eine Funktion der allgemeinen Form y = ax 3 + bx 2 + cx + d hat in (0/0) einen Hochpunkt, die Steigung der Wendetangente im Wendepunkt W(1/ 2) beträgt k = 3. a) Berechnen Sie die Gleichung der Funktion [y = x 3 3x 2 ] b) Berechnen Sie die fehlenden Elemente der Kurvendiskussion. [N(3/0); T(2/ 4); t w : y = 3x+1] c) Zeichnen Sie die Funktion im Intervall [ 1; 3,5] E) Gegeben ist die Funktion y = x 3 x 2 2x. a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [ 2; 3] b) Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve und die x-achse zwischen den beiden äußersten Nullstellen einschließt. [3,08 E 3 ] F) Der Graph einer Funktion f: y = ax 3 + bx 2 + cx +d geht durch den Punkt P (0/0) und hat im Punkt W (4/y) einen Wendepunkt mit der Wendetangente t: y = 3x a) Zeigen Sie, dass es sich um die Funktion y = x 3 /4 3x 2 + 9x handelt. b) Diskutieren Sie die Funktion (Nullstellen, Hoch/Tief-Punkte, Wendepunkte) und zeichnen Sie ihren Graphen im Intervall I = [0; 7] [N: (0/0), (6/0) = T; H(2/8); W(4/4)] c) Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der Funktion, der Wendetangente und der y-achse liegt? [A = 16 E 2 ] d) Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, der zwischen der Funktion f und der Geraden g: y = 3x/4 + 7 liegt? [ A = 10,1 E 2 ] G) Gegeben ist die Funktion f: y = x 3 x 2 6x. a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [ 2; 3]. b) Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve zwischen den beiden äußersten Nullstellen mit der x-achse einschließt. [21,08 E 2 ] c) Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn die Kurve zwischen den beiden äußersten Nullstellen um die x-achse rotiert. [374 E 3 ] H) Ein Gefäß hat eine Höhe von 12 cm und einen oberen Durchmesser von 20 cm sowie die Form eines Drehparaboloids, das entsteht, wenn eine Parabel mit der Gleichung y = ax 2 um die y-achse rotiert. a) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel. [y = 0,12x 2 ] b) Skizzieren Sie das Drehparaboloid. c) Wie viele Liter fasst das Gefäß? [0,6 π Liter] d) Wie hoch steht ein Liter Flüssigkeit in diesem Gefäß? [8,74 cm] I) Gegeben ist die Funktion y = x.sinx. a) Zeichnen Sie die Funktion im Intervall I = [0; 4]

2 b) Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion in diesem Intervall [(0/0); (π/0)] c) Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve mit der x-achse zwischen 0 und der ersten positiven Nullstelle einschließt. [π E 2 ] J) Gegeben ist das von den Parabeln y 2 = 4x und y 2 = 5 x sowie der x-achse begrenzte Flächenstück. a) Zeichnen Sie das Flächenstück im Intervall I = [0; 5]. b) Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn das Flächenstück um die x- Achse rotiert. [10π E 3 ] c) Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn das Flächenstück um die y- Achse rotiert. [88π/3 E 3 ] K) Eine Polynomfunktion f der Form y = ax 3 + bx 2 + cx + d berührt den Graphen der Funktion g: y = x 2 + 4x 8 im Hochpunkt von g. Weiters hat die Funktion f im Punkt H (0/0) einen Hochpunkt. a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung von f. [y = x 3 3x 2 ] b) Diskutieren Sie die Funktion f. [N: (0/0), (3/0); T(2/ 4); W(1/ 2); t: y = 3x + 1] c) Zeichnen Sie die Funktion im Intervall [ 2; 3] d) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen von f und g. L) Gegeben ist eine Parabel der Form y = ax 2 + bx + c, die durch den Punkt (2/2) geht und im Punkt (0/0) eine Extremstelle hat. a) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel. [y = 0,5x 2 ] b) Zeichnen Sie die Parabel im Intervall [ 3;3] c) Wenn die Parabel zwischen den Werten x = 1 und x = 3 um die y-achse rotiert, entsteht die Figur eines Trinkbechers. Berechnen Sie das Volumen des Bechers. [20π E 3 ] d) Wie hoch steht eine Flüssigkeit in dem Becher, wenn man ihn mit 10π E 3 davon füllt? [2,7 E] M) Der Graph eine Polynomfunktion dritten Grades f: y = ax 3 + bx 2 +cx +d hat im Punkt H (0/0) einen Hochpunkt und an der Stelle x = 6 eine weitere Nullstelle. Die Fläche, die von dem Kurvenstück und der x-achse zwischen den angegebenen Nullstellen begrenzt wird, hat den Wert 27. a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung. [y = x 3 /4 3x 2 /2] b) Diskutieren Sie die Funktion. [T(4/ 8), W(2/ 4), w: y = 3x +2] c) Berechnen Sie das Volumen jenes Rotationskörpers, der durch die Drehung der angegebenen Fläche um die x-achse entsteht. [166,6π E 3 ] N) Behälter haben die Form eines Drehzylinders mit aufgesetzter Halbkugel. [Extremwertaufgabe!] a) Berechnen Sie den minimalen Materialverbrauch (minimale Oberfläche) bei vorgegebenen Volumen V. [O = 3 45V 2 π ] b) Berechnen Sie die Oberfläche bei einem vorgegeben Volumen von 5 Liter. [O = 15,23] O) Im Punkt T (2/4) einer Parabel der Form y 2 = ax wird die Tangente t gelegt. a) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel. [y 2 = 8x] b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente t. [y = x + 2] c) Zeichnen Sie die Parabel und die Tangente. d) Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn das von der Tangente, der Parabel und der y-achse begrenzte Flächenstück um die y-achse rotiert. [8/15 π E 3 ] P) Gesucht ist die Polynomfunktion y = ax 3 + bx 2 +cx + d. Sie berührt die x-achse im Nullpunkt und schneidet sie an der Stelle x = 3. Die Steigung der Tangente an dieser Stelle ist k = 3. Der Wendepunkt liegt bei x = 1. a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung. [y = x 3 /3 + x 2 ] b) Diskutieren Sie die Funktion [N: (0/0), (3/0); T(0/0), H(2/1,33); W(1/0,67); t w : y = x 1/3)

3 c) Berechnen Sie die Fläche zwischen der x-achse und der Funktion zwischen ihren beiden äußeren Nullstellen [9/4 = 2,25 E 2 ] d) Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn die Funktion im Intervall [0; 3] um die x-achse rotiert. [81/35π = 7,27 E 3 ] Q) Gegeben sind die beiden Funktionen f: y = ax 2 + b und g: y = kx + d. Die Graphen der beiden Funktionen berühren sich im Punkt A (2/8), g schneidet die x-achse an der Stelle x = 1. a) Berechnen Sie die Gleichungen der beiden Funktionen. [f: y = 2x 2 ; g: y = 8x 8] b) Zeichnen Sie die beiden Funktionen. c) Welche Fläche schließen die beiden Funktionen und die x-achse zwischen dem Nullpunkt und dem Berührungspunkt A ein? [4/3 E 2 ] d) Wie groß ist das Volumen jenes Drehkörpers, der entsteht, wenn die in b) angegeben Fläche um die x-achse rotiert? [64/15 π = 13,4 E 3 ] R) Ein Bottich hat innen die Form eines Drehparaboloids. Der obere innere Durchmesser beträgt 15 dm, der untere 10 dm, die Höhe 10 dm. a) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel der Form y = ax 2 + b, durch deren Drehung um die y-achse die innere Form des Bottichs entsteht. [y = 8/25x 2 8] b) Wie viele Liter fasst der volle Bottich? [1625/4 π E 3 ] c) Es stehen drei solche Bottiche zur Verfügung. In diese drei Bottiche werden 3000 Liter Wein gefüllt. Zwei Bottiche werden randvoll gefüllt. Wie hoch steht der Wein dann im letzten Bottich? [4,46 dm] S) Von einer Funktion der Form y = ax 3 + bx 2 + cx + d sind die Nullstelle (0/0), der Tiefpunkt (2/ 10) sowie der Punkt (1/ 6,5) bekannt. a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung. [y = x 3 1,5x 2 6x] b) Berechnen Sie die Fläche, die die Funktion und die x-achse zwischen den beiden Extremstellen einschließt. [14,25 E 2 ] c) Berechnen Sie das Volumen jenes Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Funktion zwischen der Nullstelle (0/0) und dem Tiefpunkt um die x-achse rotiert. [288,67 E 3 ] T) Der Graph der Funktion y = 0,5x 2 + 1, die Gerade y = 2x 1 und die positive x-achse begrenzen eine Flächenstück, das um die x-achse rotiert. a) Fertigen Sie eine Skizze an. b) Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers. [5,6 cm 3 ] c) Berechnen Sie das Gewicht des Körpers bei einer Materialdichte von ρ = 1,2 kg/dm 3 [6,7 kg] U) Gegeben ist die Funktion f: y = 2/x. a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion im Intervall ]0; 4] mit Hilfe einer Wertetabelle. b) Der Abschnitt des Graphen zwischen den Punkten P 1 (1/y 1 ) und P 2 (4/y 2 ) rotiert einmal um die x-achse, das andere Mal um die y-achse. In welchem Verhältnis stehen die Volumina der dabei entstehenden Drehkörper? [3π:6π = 1:2] V) Gegeben ist der Graph einer Funktion der Form: y = px 2 + q (siehe Zeichnung in cm). Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Funktion zwischen ihren Nullstellen um die x-achse rotiert. [8,53π = 26,8 cm 3 ] W) Die Umrisse eines Bechers ergeben sich durch die Rotation der Graphen der Funktionen f: y = ax 2 + bx + c (äußere Randkurve) und g: y 2 = px + q um die x-achse im Intervall [0; 2] (Zeichnung mit 1 E = 1 dm)

4 a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen [f: y = x 2 /2 + x + 1; g: y 2 = x 1] b) Berechnen Sie die Masse des Bechers, wenn die Dichte des Materials ρ = 3 g/cm 3 beträgt. [29,2 kg] c) Wie groß ist die maximale Füllmenge des Bechers? [π/2 l = 1,57 l] d) Wie hoch steht die Flüssigkeit, wenn ein Liter eingefüllt wird? [0,8 dm] X) Zwischen den Geraden x = 0 und x = 3 wird die äußere Randkurve eines Pokals durch die Funktion f: y = ax 3 + bx 2 +cx + d dargestellt, die innere Randkurve durch die Funktion g: y 2 = px + q (siehe Zeichnung mit 1 E = 1 dm). Der Pokal entsteht durch die Rotation der beiden Kurven um die x- Achse. a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen für f und g! [f: y = 1/8x 3 + 3/4x 2 9/8x + 1; g: y 2 = x 2] b) Berechnen Sie die Masse des Pokals, wenn die Dichte des Materials ρ = 3 g/cm 3 beträgt. [10,95 kg] c) Wieviel Liter Flüssigkeit können maximal in den Pokal gefüllt werden? [π/2 l = 1,57 l] d) Wie hoch steht die Flüssigkeit im Pokal, wenn ein halber Liter eingefüllt wird? [0,56 dm] Y) Gegeben sind die beiden Funktionen f: y = 0,5x und g: y 2 = 4x 2 16, die zwischen den Grenzen y = 3 und y = 9 um die y-achse rotieren. Durch die Rotation von g entsteht die äußere Form einer Vase, die 12 cm hoch ist. Die innere Form entsteht durch die Rotation von f. a) Fertigen Sie eine Zeichnung an. b) Berechnen Sie die Masse (Gewicht) m der Vase, wenn das Material, aus dem die Vase gefertigt ist, die Dichte von ρ = 1,2 g/cm 3 hat. [V = 47π cm 3 ; m = 177,2 g] b) Wie dick ist die Vase am oberen Rand? [0,9 cm] Z) Gegeben sie die Funktionen f: y = ax 2 + bx + c und g: y = dx 3 + ex 2. Von der Funktion g ist bekannt, dass ihre zweite Ableitung y = 3/5x + 3/2 lautet. Beide Funktionen haben im Nullpunkt einen Tiefpunkt und sie schneiden einander an der Stelle x = 5. a) Berechnen Sie die Funktionsgleichungen von f und g [y = 1/4x 2 und y = 1/10x 3 + 3/4x 2 ] b) Diskutieren Sie die beiden Kurven und zeichnen Sie die Grafen. [f: N(0/0), TP(0/0); g: N 1 (0/0), N 2 (7,5/0), TP(0/0), HP(5/6,25), WP(2,5/3,125)] c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der von f und g eingeschlossenen Fläche. [5,2] A1) Die Funktion f sei eine Polynomfunktion 3. Grades. Der Graph von f enthält den Punkt N(2/0) und hat den Wendepunkt W(x/2) mit der dazugehörigen Wendetangente 3x + 2y = 4. a) Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion f. [y = x 3 /8 3x/2 + 2] b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des von f und der x-achse begrenzten Flächenstücks. [13,5 E 2 ] c) Gegeben ist die Funktion h(x) = x 2 / Die von der Funktion h und den positiven Koordinatenachsen eingeschlossene Fläche rotiert um die y-achse. Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers. [12,6 E 3 ] 3 B1) Gegeben ist die Funktion x 3x y = a) Bestimmen Sie die Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte dieser Funktion und zeichnen Sie ihren Graphen im Intervall [-4; 7]. [N(6/0) TP(-2,45/6,55) HP(2,45/11,45) WP(0/9)] b) Eine quadratische Funktion 1 2 y = x + ax + b berührt die x-achse an der Stelle x = 6. Berechnen Sie a und b und zeichnen Sie den Graphen 4 der Funktion g(x) in dasselbe Koordinatensystem wie die Funktion f. [y = ¼x² - 3x + 9] c) Der Graph von f(x) und die Normale zur Kurve in Q(0/9) begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche. Berechnen Sie ihren Inhalt! [14,0833 E 2 ]

5 3 2 C1) Der Graph der Funktion f ( x) = ax + bx + cx + d hat an der Stelle x = 2 einen Extremwert, besitzt in A(1/2) einen Wendepunkt und geht durch den Punkt B(3/0). a) Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f [y = x 3 + 3x 2 ] b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch A und B geht. [x + y = 3] c) Zeichnen Sie den Graphen der beiden Funktionen. d) Welche Fläche schließen die Funktion f und die Gerade g miteinander ein? [8 E 2 ]