Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 2 Lösungen der Aufgaben A 2.1 und A 2.

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 2 Lösungen der Aufgaben A 2.1 und A 2."

Carsten Hartmann
vor 6 Jahren
Abrufe

1 1 Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 2 Lösungen der Aufgaben A 2.1 und A 2.2 klaus_messner@web.de

2 2 Aufgabe A 2.1 An einem Stausee wird der Zu- und Abfluss künstlich geregelt. Dabei wird die momentane Zuflussrate beschrieben durch die Funktion z mit z t = 20 sin π t + 25 ; t 0 Die konstante Abflussrate wird beschrieben durch die Funktion a mit a t = 19 ; t 0 (t in Stunden seit Beobachtungsbeginn, z(t) und a(t) in 1000 m3 h ).

3 3 a) Zunächst werden die ersten 24 Stunden nach Beobachtungsbeginn betrachtet. Bestimmen Sie die minimale momentane Zuflussrate. In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Stausee ab? Bestimmen Sie die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge. (4 VP)

4 4 b) Zu Beobachtungsbeginn befinden sich m 3 Wasser im See. Bestimmen Sie die Wassermenge im Stausee Stunden nach Beobachtungsbeginn. Begründen Sie, dass die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um m 3 zunimmt. Welchen Wert müsste die konstante Abflussrate haben, damit nach Ablauf von 14 Tagen die Wassermenge im Stausee m 3 betragen würde? (5,5 VP)

5 5 Lösung 2.1 z t = 20 sin π t + 25 a) Minimale momentane Zuflussrate Geben Sie den Funktionsterm von z t bei Y 1 im GTR ein und lassen Sie sich den Graphen im x-intervall 0; 24 und im y-intervall [0; 50] zeichnen. (Modus = RADIAN). Mit 2ND CALC minimum findet man x = 18 und y = 5. Da in 1000 m3 h gemessen wird haben wir als Ergebnis: Die minimale momentane Zuflussrate beträgt m3 h.

6 6 Zeitraum, in dem die Wassermenge abnimmt Die Wassermenge im Stausee nimmt ab, wenn die Zuflussrate kleiner ist als die Abflussrate. Geben Sie hierfür zunächst den Wert 19 (also die Abflussrate) bei Y 2 im GTR ein und lassen Sie sich die beiden Graphen erneut zeichnen. Mit 2ND CALC intersect bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte bei t 1 13,16 und t 2 22,84. Zwischen t 1 und t 2 liegt die Zuflussrate unterhalb der Abflussrate. Ergebnis: Zwischen 13,16 und 22,84 Stunden nach Beobachtungsbeginn nimmt die Wassermenge im Stausee ab.

7 z t = 20 sin π t + 25 a t = 19 7 Maximale momentane Änderungsrate Die Änderungsrate ist gegeben durch Zufluss minus Abfluss also durch z t a t = 20 sin π t + 6. Geben Sie den entsprechenden Funktionsterm bei Y 3 im GTR ein und lassen Sie sich die Kurve zeichnen. Mit 2ND CALC maximum erhalten Sie die maximale Änderungsrate bei x = 6 mit y = 26. Ergebnis: Die maximale Änderungsrate wird 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn erreicht und beträgt dann m3 h.

8 8 b) Wassermenge Stunden nach Beobachtungsbeginn Die Änderungsrate ist wie in Teilaufgabe a) beschrieben gegeben durch z t a t = 20 sin gegeben durch π W t = Beachten Sie, dass die Änderungsrate in 1000 m3 t + 6. Die Wassermenge im Stausee ist folglich 0 20 sin π t + 6 dt h gemessen wird. Dementsprechend geben wir die Wassermenge in Einheiten zu 1000m 3 an. In der obigen Formel muss daher die anfängliche Wassermenge mit angegeben werden und nicht mit !

9 9 Wenn wie in Teilaufgabe a) bei Y 3 im GTR noch die momentane Änderungsrate steht, können Sie nun im Berechnungsmodus eingeben, was Sie in der Abbildung rechts sehen. Unter Beachtung, dass der Wert wieder in m³ umgerechnet werden muss, erhalten Sie folgendes Ergebnis: Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich etwa m 3 im See.

10 10 Wasserzunahme nach jedem 24-Stunden-Zeitraum Die Periode der Funktion sin π 2π t berechnet sich mit p = = 24. π/ Das bedeutet, dass auch die Änderungsrate in einem 24-Stunden-Rhythmus schwankt. Die tatsächliche Zunahme ergibt sich nun durch sin π t + 6 dt Beachte, dass die Wassermenge zu Beobachtungsbeginn hier natürlich keine Rolle spielt. Der GTR liefert den Wert 144. Ergebnis: In einem 24-Stunden-Rhythmus nimmt die Wassermenge im Stausee um m 3 zu.

11 11 Neuer Wert für Abflussrate, Variante 1 (schwierige, formale Variante) Wir bezeichnen den neuen Wert für die Abflussrate zunächst mit a. Die Wassermenge im Stausee nach T Stunden beträgt dann W t = Eine Stammfunktion für das Integral ist z.b. t 0 T π 20 cos F t = 20 sin π t + 25 a dt + 25t at π 14 Tage sind = 336 Stunden. Für die Wassermenge nach 14 Tagen muss also gelten W 336 = sin π t + 25 a dt = F 336 F 0

12 Wiederum unter Beachtung, dass wir in Einheiten zu 1000 m 3 rechnen folgt 4180 = F 336 F 0 = cos π 336 π = , a + 76,39 = a Aufgelöst nach a ergibt sich a = 20. Ergebnis: Die neue Abflussrate beträgt m a 20 π h

13 13 Neuer Wert für Abflussrate, Variante 2 (einfache Variante mit dem GTR) Die Wassermenge im Stausee nach 14 Tagen = 336 Stunden ist gegeben durch Anfangsmenge + Zuflussrate Abflussrate, also gilt 4180 = sin π t + 25 dt 336a Mit dem GTR ergibt sich 4180 = a Nach a aufgelöst folgt wiederum a = 20. Ergebnis: Die neue Abflussrate beträgt m3 h

14 14 Aufgabe A 2.2 Gegeben ist die Funktion f mit f x = x 3 9x x 14. a) Die Gerade g durch den Hochpunkt H und den Tiefpunkt T des Graphen von f schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten P und Q. Bestimmen Sie den prozentuellen Anteil der Strecke HT an der Strecke PQ. (4 VP) b) Begründen Sie, dass die Steigung des Graphen von f keine Werte kleiner als 3 annehmen kann. (2 VP)

15 15 c) Der Graph von f und die Gerade h mit der Gleichung y = 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert um die Gerade h. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. (2,5 VP) d) Eine Parallele zur x-achse schneidet aus dem Graphen von f ein Kurvenstück aus, das den Tiefpunkt enthält. Die Endpunkte dieses Kurvenstücks haben den Abstand 2,5 voneinander. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Parallelen. (2 VP)

16 f x = x 3 9x x Lösung 2.2 a) Bestimmung von Hochpunkt und Tiefpunkt Geben Sie den Funktionsterm bei Y 1 im GTR ein und lassen Sie sich den Graphen im x-intervall 5; 10 und im y-intervall [ 20; 20] zeichnen. Mit 2ND CALC maximum bzw. 2ND CALC minimum bestimmen Sie die Koordinaten des Hoch- bzw. Tiefpunktes. Sie erhalten H(2 6) bzw. T(4 2). Ergebnis: Der Hochpunkt liegt bei H(2 6) und der Tiefpunkt bei T(4 2).

17 H(2 6) T(4 2) 17 Gerade durch H und T In der allgemeinen Geradengleichung y = mx + c ist m die Steigung und c der Schnittpunkt mit der y-achse. Die Steigung ist in unserem Fall gegeben durch Differenz y Koordinaten m = Differenz x Koordinaten = = 2 Wir haben somit nun y = 2x + c. Durch Einsetzen der Koordinaten z.b. des Tiefpunkts erhält man 2 = c also c = 10. Folglich ist y = 2x + 10 die Gerade durch H und T. Der Schnittpunkt mit der y-achse ist Q Für den Schnittpunkt mit der x-achse setzen wir y = 0 und erhalten 0 = 2x = 2x also x = 5. Damit haben wir P 5 0.

18 H(2 6) T(4 2) P 5 0 Q Streckenanteil HT an PQ Die Länge der Strecke HT ist gegeben durch L HT = = 20 4,47 Für die Länge der Strecke PQ gilt entsprechend L PQ = = 5 11,18 Der Anteil der Strecke HT an PQ ist damit gegeben durch L HT L PQ = 4,47 11,18 = 0,3998. Ergebnis: Die Strecke HT beträgt etwa 40% der Strecke PQ.

19 19 b) Steigung des Graphen f Mit f x = x 3 9x x 14 folgt f x = 3x 2 18x Bekanntlich stellt f die Steigung von f dar und wir können nun mit dem GTR den kleinsten Wert von f herausfinden. Dieser liegt, wie in der Abbildung zu sehen für x = 3 exakt bei y = 3. Kleinere Steigungen gibt es also nicht!

20 f x = x 3 9x x c) Volumen des Rotationskörpers Wir verdeutlichen uns die Situation zunächst in einer Skizze, siehe rechts. Die Formel für das Volumen bei Rotation um die x-achse lautet V x = π a b f x 2 dx. Damit wir diese Formel anwenden können, müssen wir sowohl f und h um zwei Einheiten nach unten verschieben. Dadurch wird h zur x-achse und f wird zu g x = x 3 9x x 16.

21 21 Die Nullstellen von g sind dann die Grenzen a und b aus d er Volumenformel. Geben Sie g x im GTR bei Y 3 ein, lassen Sie sich den Graphen zeichnen und mit 2ND CALC zero erhalten Sie die beiden Nullstellen bei a = 1 und b = 4. Damit haben wir V x = π Der GTR liefert hierfür den Wert 65, x 3 9x x 16 2 dx Ergebnis: Das Volumen des Rotationskörpers beträgt etwa 65,43 LE 3.

22 22 d) Gleichung der Parallelen Wir bezeichnen die Schnittpunkte der Parallelen mit dem Graphen von f mit P und Q. P sei der linke Schnittpunkt und habe die noch unbekannte x-koordinate x 0. Q liegt 2,5 Einheiten rechts davon, hat also die x-koordinate x 1 = x 0 + 2,5. Da es sich um eine Parallele zur x-achse handeln soll, müssen die y- Koordinaten auf derselben Höhe liegen. Dadurch bekommen wir die Gleichung f(x 0 ) = f(x 0 + 2,5).

23 23 Geben Sie nun im GTR bei Y 2 den Ausdruck Y 1 (X+2.5) ein und lassen Sie sich die beiden Graphen zeichnen. Bestimmen Sie anschließend mit 2ND CALC intersect den rechten Schnittpunkt. Sie erhalten x 0 = 2,44 mit der y-koordinate y 0 5,5. Damit haben wir P 2,44 5,5 und Q 4,94 5,5 und der Tiefpunkt von f liegt wie gefordert zwischen den beiden x-koordinaten. Ergebnis: Die gesuchte Parallel hat die Gleichung y = 5,5.

Ähnliche Dokumente

Hauptprüfung Abiturprüfung 2017 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2017 (ohne CAS) Baden-Württemberg Hauptprüfung Abiturprüfung 217 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analysis A2 Hilfsmittel: GTR und Merkhilfe allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Mai 217 1 Aufgabe A